)・翻訳・出版も行っています。このブログでは、何でも簡潔に分かりやすく解説します。記事が多数あるので、カテゴリやブログ内検索を活用してご覧ください。大学受験ランキング最近の記事(03/31)2020年の生徒募集概要(02/25)本日配信のメルマガ。対数の関係」(02/24)本日配信のメルマガ。考え方(31)【高校物理】読むだけでわかる!物理基礎・物理の考え方(10)【中学5科】高校入試の重要ポイント(22)更新記録(61)書き換え英作文(197)新聞記事(3)リンク集プロ家庭教師の江間です。男子4人、女子3人が1列に並ぶとき、女子3人が連続して並ぶ場合の数を求めよ。「連続して」という場合は、その連続している部分を「1人」「1つ」として考えます。解説はこのページ下この書籍も参考にしてください。女子3人を1人とみなして、男子4人とあわせて合計5人を並べる場合の数を考えます。5人を一列に並べるので、5!(5の階乗)ですね。1人とみなした女子3人はもちろん本当は3人なので、その3人の並べ方も考慮しなければいけません。3人の並べ方は3!です。5!の並べ方のそれぞれの女子は3!の並べ方があるので、5!と3!は同時に起こることです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。3乗」x^3+125を因数分解せよ。x^3はもちろんxの3乗です。125は・・・5の3乗ですね!ということは、a^3+b^3の形になっています。3乗の公式のページでも解説しているように、この形ならば、a^3+b^3=(a+b)(a^2−ab+b^2)という公式で因数分解することができます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。2次式」x^4+x^2+1を因数分解せよ。xの4次式になっています。そんなときはたいてい、xの2乗をひとかたまりと見なして、X=x^2とおけば解決!ですね!置き換えてみると、x^4+x^2+1=X^2+X+1あとは普通に因数分解すれば・・・と考えてみても、この場合は、合う数字の組み合わせがありません。掛けて1,足して1の数は、普通に思いつく数では存在しません。「もしX^2+2X+1なら因数分解できるのにな〜」と思った人もいると思います。その通りです!X^2+2X+1ならできるなら、そうしてしまえばいいのです(笑)・・・とは言っても、もちろん、勝手に数を変えてしまってはいけません。式の値が変化しないように、Xを2Xに変えたならば、その増えた分を差し引かないといけないのです。=X^2+2X+1−Xとします。すれば、因数分解して=(X+1)^2−Xとなりますね。ここでXをx^2に戻してみると、=(x^2+1)^2−x^2今度はかっこの中身をA=x^2+1とおけば、=A^2−x^2これは「2乗ひく2乗」の公式で因数分解できますね。=(A+x)(A−x)Aをもとに戻して、=(x^2+1+x)(x^2+1−x)一応これで完成です。これで特に問題ありませんが、順番を直して、=(x^2+x+1)(x^2−x+1)このようにすれば、式の見た目的にもよいです。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。なる2つの負の解」�D2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。ここまでの記事で、�@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、�A軸よりk<0であり、�B境界線よりx>−3であることがわかりました。あとはこれらの範囲の共通範囲を答えれば、それが正解です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。なる2つの負の解」�C2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。ここまでの記事で、�@判別式より、D>0のときk<−2,k>6であり、�A軸よりk<0であることがわかりました。境界線f(0)>0について考えます。(なぜf(0)>0なのかはこちら)f(0)=0−0+k+3=k+3>0k>−32次関数のグラフが原点の上を通るときはk>−3というわけですね。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。なる2つの負の解」�B2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。前回の記事で、D>0のときk<−2,k>6であることがわかりました。�A軸x<0について考えます。(なぜ軸<0なのかはこちら)軸の方程式は、頂点を通るy軸に平行な直線です。x=−b/2aで求めることができます。なる2つの負の解」�A2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。�@判別式D>0�A軸x<0�B境界線f(0)>0の3つの条件を満たす必要があることがわかりました。実際にこの問題を解いていきましょう!まずは判別式を用いて、「異なる2つの実数解をもつ」ときのkの値を調べます。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。なる2つの負の解」2次方程式x^2−kx+k+3=0が異なる2つの負の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。�@判別式D>0�A軸x>0�B境界線f(0)>0でしたが、今回は「異なる2つの負の解」です。負の解であることから、少し条件が変わります。正だろうが負だろうが、「異なる2つの解」であることには変わりないので、まず�@は変わらず、判別式D>0です。負の解であるためには、グラフが全体としてマイナス側になければいけないので、軸x<0である必要があります。2つの解が同符号であるためには、グラフが原点より上を通るので、f(0)>0です。今回の問題では�@判別式D>0�A軸x<0�B境界線f(0)>0を満たすkの値の範囲を求めればOK!です。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。C2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。�@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。�Aの記事で、軸>0であるときのkの値の範囲が「k<0」であることを求めました。条件を限定するために、�Bの記事で、原点より上を通る。いう条件から、k>−6を求めました。これら3つの範囲を全て満たしているとき、「異なる2つの正の解をもつ」ということができます。�@判別式D>0�A軸x>0�B境界線f(0)>0以上3つの条件を全て満たせばよい。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。B2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。�@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。�Aの記事で、軸>0であるときのkの値の範囲が「k<0」であることを求めました。ここまでの条件だけでは、まだ、「異なる2つの正の解」でない場合を含んでいます。この記事では、残り一つの条件について解説します。「異なる2つの解」をもち、「頂点または軸>0」を満たしても、解が2つとも正の数の場合と片方違う場合があります。「原点より上を通るか?」「原点より下を通るか?」です。原点より下を通れば、2つの解は異符号となります。この問題では、2つの解は正の数なので、「原点より上」という条件で式を作ります。原点より上ならば、「x=0のときy>0」ですね。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。A2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。�@の記事で、判別式を用いて、異なる2つの解を持つときのkの値の範囲は「k<−2,k>3」であることを求めました。この記事では、「異なる2つの正の解」の範囲となるように、この範囲を限定していくことを考えます。2次方程式が「正の解」を持つためには、y=x^2+2kx+k+6を考えた場合、この放物線が全体としてプラス側になければいけません。「頂点はプラス側にある」すなわち、「軸>0」ですね!グラフをイメージして、D>0ならば頂点がプラス側にある場合は、必ずx軸の正の部分と交わることを理解しておいてください。軸の方程式はx=−b/2aなので、これにa=1,b=2kを代入すると、x=−2k/2・1=−kつまり、軸の方程式はx=−kです。「軸がプラス側」だから、x=−k>0よって、k<0・・・これで完成!といきたいところですが、軸がプラスというだけでは、解が2個とも正の数になるとは限りません。一つ満たす必要がある条件があります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。@2次方程式x^2+2kx+k+6=0が異なる2つの正の解をもつような定数kの値の範囲を求めよ。「異なる2つの解」と考えて、判別式D=b^2−4acを用います。D>0のとき、2次方程式は異なる2つの解を持ちます。この条件を満たすkの値の範囲を求めてみましょう!D=b^2−4acに、a=1,b=2k,c=k+6を代入して、D=(2k)^2−4×1×(k+6)=4k^2−4k−24>0k^2−k−6>0(k+2)(k−3)>0よって、k<−2,k>3これが、異なる2つの解を持つときのkの範囲です。これだけではもちろん、「異なる2つの正の解」にはなりませんね。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。次の式を因数分解せよ。3x^2+y^2−4xy−x+3y−4この場合、慣れてない人は、「共通する文字や数字もなく、いろいろな種類の項があるので何もできることがない!」と思いがちですが、そんなときはまずはxについて項べきの順に整理するとよいです。整理すると、3x^2−4xy−x+y^2+3y−4となります。与式を項べきの順に整理すると=3x^2−4xy−x+y^2+3y−4となりました。ここからxの次数が等しいもの同士をまとめていきます。xの2乗の項は3x^2だけ、xの項は−4xyと−x、残りは定数と考えて、=3x^2+(−4y−1)x+(y^2+3y−4)まずは定数部分を普通に因数分解します。=3x^2+(−4y−1)x+(y−1)(y+4)xの2乗の項に係数があるので、今度はこの式をxの2次式とみなして、たすきがけをします。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。展開」(2x−y+1)^2を計算せよ。項は3つだし2乗だから、「とにかくがんばる」でも大丈夫ですが、公式を使えるようにした方が後々役立ちます。(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2caですね。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。問題ページはこちらこの記事では、点と直線の距離の公式を使って解いた場合を解説します。ax+by+c=0の形の1次関数と点(x1,y1)との距離はd=|ax1+by1+c|/√(a^2+b^2)で表されます。直線と円の中心との距離が、円の半径に等しいとき、円と直線は接する。いうことができますね。円の式は、x^2+y^2=15なので、中心は原点(0,0)です。(半径は√15)直線の式はy=2x+kなので、移項して、2x−y+k=0とします。この形で、(点と直線の距離)=(半径)で方程式を解けば、kの値が出る。±k/√5=√15±k=√15×√5±k=√75k=±5√3ということで、接するときのkの値は±5√3です。接線の方程式は、y=2x±5√3であることがわかりました。あとは円との共有点を求めれば完成です。k=5√3のとき、y=2x+5√3これが円と共有点を持つので、連立方程式で解きます。x^2+(2x+5√3)^2=15x^2+4x^2+20√3x+75=155x^2+20√3x+60=0x^2+4√3x+12=0(x+2√3)^2=0よって、x=−2√3y=2x+5√3に代入すると、y=√3k=−5√3のときも同様にすると、x=2√3,y=−√3が得られます。よって、k=5√3のとき、接点(−2√3,√3)k=−5√3のとき、接点(2√3,−√3)判別式を使った場合は、別の記事で解説します。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。問題ページはこちらこの記事では、判別式を使って解いた場合を解説します。「円と直線が接する」場合、円と直線の式を合成して、判別式D=0で解くことでkの値を求めることができます。2次関数と直線の位置関係を考えるときに、判別式を使えたのと同じイメージですね。合成してみましょう!直線の式を円の式に代入して、x^2+(2x+k)^2=15x^2+4x^2+4kx+k^2=155x^2+4kx+k^2−15=0kを定数とみなして、xの2次方程式ができました。これを判別式に代入して、「接する」条件のD=0で解けば求めるkの値が出るというわけです。D=(4k)^2−4・5・(k^2−15)=16k^2−20k^2+300=−4k^2+300=0−4k^2=−300k^2=75k=±√75=±5√3ということで、接するときのkの値は±5√3です。5x^2+4kx+k^2−15=0にk=5√3を代入すると、5x^2+4・5√3・x+75−155x^2+20√3・x+60=0x^2+4√3+12=0(x+2√3)^2=0よって、x=−2√3y=2x+kに、k=5√3,x=−2√3を代入すると、y=2・(−2√3)+5√3=−4√3+5√3=√3つまり、k=5√3のとき、x=−2√3,y=√3であることがわかりました。k=−5√3のときも同様にすると、5x^2−2x√3・x+60=0より(x−2√3)^2=0だからx=2√3。y=2x+kにk=−5√3,x=2√3を入れるとy=−√3が得られます。いうことで、k=5√3のとき、接点(−2√3,√3)k=−5√3のとき、接点(2√3,−√3)点と直線の距離を使った場合は、別の記事で解説します。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。x^2+y^2=15と直線y=2x+kが接するとき、定数kの値と接点の座標を求めよ。円と直線の位置関係に関する問題です。「円と直線が接する」条件は、2通りあります。一つは点と直線の距離。どっちを使っても、もちろん同じ答えになるので、まずは自分が得意な方でやってみてください。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。続き次の不等式を解け。(1/9)^x−(1/3)^x−6<0前回の記事で、t=(1/3)^xとすれば、(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2などと表せることを述べました。この記事ではその続きをやってみます。tで置き換えると、与式はt^2−t−6<0と書き換えることができます。これは普通に2次不等式ですね。普通に解けばOKです。(t+2)(t−3)<0(t+2)(t−3)=0のとき、t=−2,3で、不等号は<0なので、放物線を描いた場合の横軸の下側が求める範囲となります。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。(1/9)^x−(1/3)^x−6<0このような場合は指数方程式と同様に、式の一部を文字でおくとわかりやすくなります。t=(1/3)^xとすれば、(1/9)^x={(1/3)^2}^x={(1/3)^x}^2=t^2ですね。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。4^x−3・2^(x+1)−16=0問題ページはこちらでは解説です。式をよく見てみると、4^xや2^xなどがあります。ここから、「2^xについての方程式と考えればいいかも?」と推測します。4^x=(2^2)^x=(2^x)^2なので、2^x=tとおけば、tについての2次方程式になりそうです。ついでに書いておくと、2^(x+1)=(2^x)・(2^1)=2・2^x=2tですね。いうことは・・・4^x−3・2^(x+1)−16=0t^2−3・2t−16=0t^2−6t−16=0(t+2)(t−8)=0t=−2,8よって、2^x=−2,82は何乗しても正の数なので、−2になることはありません。最高級の指導を提供します!メール添削も好評です!プロ家庭教師の江間です。年齢:41職業:プロ家庭教師、AE個別学習室(えまじゅく)代表、翻訳者ウェブサイトURL:http://www.a-ema.com/メールアドレス:j@a-ema.com一言:アプリ、メルマガ、電子書籍提供中です。http://amzn.to/2m9LTvNSeesaaブログ。