数II「式と証明」2次方程式の解の範囲。アクティブラーニング的に。前回は、2次方程式の解の範囲に関して、数Iで学習した解き方を解説して終わりました。前回の問題は、数Iの解き方が適していたのです。数IIで学習する「解と係数の関係」を用いると、もっと簡単に解くことができる問題も多いです。今回は、こんな問題を見てみましょう。異なる2つの正の解をもつような定数aの範囲を定めよ。このタイプの問題の中では、一番易しいと思います。一度、数Iの解き方で解いてみましょう。いう放物線をイメージします。実際に、x軸と放物線との概形を描いて具体的にイメージすると、この解き方は理解しやすいです。すれば、x軸と放物線との交点は2つともx軸の正の位置にくるか?条件は3つあります。これにより、放物線は、x軸と2つの交点をもつことになりますので、大前提です。(2)放物線の軸が、y軸より右にあること。放物線の軸が、y軸より左にあったら、x軸との交点の少なくとも1つは負の数になってしまいます。放物線がx軸と2つの交点をもつことと、軸がy軸よりも右側にあることがクリアできても、そのままでは、放物線は横にだらしなく広がり、1つの交点のx座標は負の数になってしまう可能性があります。y軸との交点、すなわちy切片が正の数であれば、放物線はスッとすぼまり、問題の条件通り、x軸との交点は2つともx軸の正の部分となります。納得できない場合、この3つの条件を満たすが、x軸との交点は負の数になる放物線を描いてみようとしてください。描いても、放物線はx軸の正の部分と2か所で交わるようになります。この3つの条件を満たせば、必ず、放物線はx軸の正の部分と2か所で交わるのです。ここのところは、「解き方」として丸暗記するだけでは忘れるのも早いので、心の底から納得できるまで理解を深めてほしいと思います。この問題だけ急に理解を深めようとしても、それ以前の学習を「まあよくわからないけど、そういうものなんだろう」と流してきた人には難しいかもしれません。