なることをいうものである。二つの演算はその順序に関して単調である。b_{2}}がともに成り立つ。このとき、帰納的に、束の任意の空でない有限集合に対して、その結び(上限)および交わり(下限)の存在が示せる。仮定を増やせば、もっといろいろなことが言える場合もある。(順序集合論)(英語版)等を参照。いった文脈では、上記の定義をもっと別の方法、例えば適当なガロワ接続(英語版)の存在によって定義することもできる(これは束に対するある種のガロワ理論的な手法である)[要出典]。任意の束は最大元と最小元を付加することにより有界束とすることができる。空でない任意の有限束は有界である(全ての元の結びおよび交わりが最大元及び最小元を与える)。a_{n})\end{aligned}}}が成り立つ。半順序集合が束となる必要十分条件は、任意の有限部分集合(零元集合としての空集合を含む意味で言う)が結びおよび交わりを持つことである。ここで、空集合に関する結びは最小元、空集合に関する交わりは最大元となるものと約束する。=1.}この規約は、結びおよび交わりの結合性および可換性に整合性を持たせるためのものである。有限集合の族の和集合の結びはそれらの集合の結びの結びに一致し、双対的に、有限集合の族の和集合の交わりがそれらの集合の交わりの交わりとなる。B\right)\end{aligned}}}がともに成り立つという意味である。あるという事実と整合する。ともに半束となることを要請するものである。吸収律は(公理のうちこれだけが条件式に結びと交わりの両方が現れているので)、これによって束が、単にかってな半束の対ということではなく、対となる二つの半束のあいだに適切な相互関係があることを仮定するものとなっている。互いの半束の間に双対性が見て取れる。関する単位元となるものをいう。さらなる詳細は半束の項に譲る。束はある種の群に似た代数的構造と関連がある。実際、交わりも結びも結合的かつ可換なので、束を台を共有するふたつの可換半群の対と看做すことができる。有界束ならば、この二つの半群は実際には可換モノイドになる。吸収律だけが、束論に特有の定義式である。可換性と結合性により、結びや交わりを二項ではなく空でない任意の有限集合上の演算として考えることもできる。して定義することができる。このことは、有界束がある意味で一般の束よりも自然であるという見方を与えるものであって、しばしば、単に束といえば有界束のことを意味するという文献があるので注意が必要である。このような束の代数的な解釈は普遍代数学において本質的な役割を果たす。代数的な意味での束を定めることを確かめることは難しくない。このとき、もとの順序関係は、こうしてえられた代数的構造からすぐに回復することができる。もとの束の順序関係に一致する。b}で定めれば順序集合論的な意味の束が得られる。吸収律はいずれの定義に関しても同値である。一致することも確かめられる。このように束の二つの定義は同値であるから、必要と目的に応じて束の二つの側面を自由に選んで使うことができる。冪集合)は包含関係の定める順序に関して束となる。自身を最大元、空集合を最小元とする有界束である。交わりおよび結びは共通部分および和集合によってそれぞれ与えられる。有限部分集合全体の成す族に包含関係で順序を入れたものはやはり束になる。自身が有限であるときであり、かつそのときに限る。分割全体の成す族に分割の細分によって順序を入れれば束となる。最小元だが、最大元は存在しない。最小元で最大元は無い。考えれば、やはり束が得られる。任意の完備束(後述)は特殊な有界束である。実際に現れる束のかなり広範な部分が、このクラスに属する束となっている。完備算術束のコンパクト元全体の成す集合は、最小元を持つ束となる。束演算はもとの算術束の各演算を制限することにより得られる。これは算術束を代数束と区別する特別な性質である(代数束ならばコンパクト元の全体は結び半束にしかならない)。これらの束は領域理論において研究される。ほとんどの半順序集合は束を成さない。なるような半順序集合が束となるのは、それが高々ひとつしか元を持たないときであり、かつそのときに限る。二元からなる離散的半順序集合は束ではない。同じ順序をいれたものは束にならない。整除関係で順序を入れたものも束にはならない。互いに他方を割り切らない)。互いに他を割り切らない)。更なる例については、追加の条件ごとに分けて後述する。束準同型[編集]二つの束の間の射(あるいは準同型)としてどのようなものを考えるべきかは、代数的構造としての定義を使えば容易にわかる。_{M}f(b)}をともに満たすものを言う。下敷きとなる二つの半束の双方に関して準同型写像となるものである。束に対してさらに追加の構造を考えている場合には、準同型としてそれらの付加構造に関しても整合的であるようなものを考えるのが普通である。f(1_{L})=1_{M}}も同時に満たすべき条件であるとみなされる。これを順序集合論的に定式化するならば、これらの条件は単に、束準同型というのは二元の交わりと結びを保つ写像であると言っているに過ぎない。有界束の場合に最大元と最小元も保つことは、空集合に関する結びと交わりを保つことで言える。任意の束準同型は付随する順序関係に関して単調である必要があるが、逆は真ではない。単調性は結びや交わりを保存することを保証しない[2]。順序を保つ全単射が束準同型となるのは、その逆写像がやはり向きを保つときである。同型写像に関して、それが可逆な準同型であるという意味の標準的な定義に従えば、束同型は単に全単射な束準同型を考えればよく、同様に、束自己準同型は束からその束自身への束準同型であり、また束自己同型は全単射な束自己準同型である。束の全体を対象とし、束準同型を射としてひとつの圏が定まる。束のクラス[編集]以下、いくつか意味のある束のクラスを定めるさまざまに重要な束の性質について述べる。そのうちの一つ、有界性についてはすでに述べてあることを注記する。あるとは、その任意の部分集合が交わりと結びを持つときに言う。任意の完備束は有界束である。有限束の準同型は有限な交わりおよび結びしか保存しないが、完備束の準同型では任意濃度の交わりと結びを保つことを要請する。任意の半順序集合はそれが完備半束であるならば完備束となる。この事実に関する面白い現象として、このクラスの半順序集合に対しては、いくつもの準同型を同時並行的に考えることができるということが挙げられる(つまり、それを完備束とみるか、完備結び半束とみるか、完備交わり半束とみるか、結び完備束とみるか交わり完備束とみるか、それぞれの意味での準同型を考えうる)。任意の空でない上に有界な部分集合が結び(最小上界)を持つことをいう。このような束は実数全体の集合に対する完備性公理を最も直接に一般化するものである。除いたものか、あるいは完備束から最大元と最小元の両方を取り除いたものかのいずれかである。束には二項演算がふたつあることから、一方が他方に対して分配的かということを考えるのは自然な問いである。c).が成り立つかということを考える。a)が成り立つこととも同値である[3]。(右図)と同型な部分束を含まないことである[4][5]。sets)は分配的であり、逆に任意の分配束は集合束と同型である(Birkhoffの表現定理[6])。完備束に対して相性のよい分配性の狭義の概念というものを考えれば、完備ハイティング代数や完備分配束といったもっと特別のクラスを定義することができる。応用に際して、分配性条件は強すぎる制約となることがあり、次のようなより弱い性質を考えると便利なことがよくある。cが成立するときにいう。この条件は次の条件と同値である。N5(右図)と同型な部分束を含まないことである[7][8]。分配束はモジュラーだが、分配束とは限らないモジュラー束の例として、加群の部分加群全体の成す束や、群の正規部分群全体の成す束が挙げられる。詳細は「半モジュラー束(英語版)」を参照モジュラー性でも強すぎるときに(上)半モジュラーと呼ばれる次のような性質を課すことがある。