前回、前々回で言っていますがこの問題、私は大好きです。開成中学が算数の問題を解くにおいて求めていることを凝縮したような問題だと思います。解いたことのないような問題を、習ったことを基礎として、何らかの事実に気づき、論理で解く、というのが開成中学の算数の問題に多いように見受けられます。したらSAPIX近辺では超優秀な教師あたりがこんな問題を出題してトレーニングしているのかもしれませんが。いえ、開成中学の先生がたはとても優しく大問3のメインディッシュともいえる(3)を解くために必要なことを(1)、(2)で問題として出題し、受験生に解かせることでヒントを提供しています。難しい問題を解くためのヒントを問題として出題するという傾向も開成中学では見られますね。多少手心を加えているのでしょう。それでは解いていきましょう。条件を整理する図の正五角形は直線lに関して線対称です。いま、点Aが正五角形の頂点1、2、3、4、5を、操作1、操作2、操作3のいずれかに従い移動します。操作1:時計回りに2つ移動する操作2:時計回りの反対の方向に1つ移動する操作3:直線lに関して線対称な頂点に移動するたとえば2からスタートして、操作1、操作2、操作3、操作3、操作1の5回の操作による点Aの移動は、次の例のように表記します。操作3、操作2、操作3、操作3、操作1による移動も同じ表記になります。4以下の問いに答えなさい(答えのみでよい)。(3)点Aが2からスタートして5回の操作の直後に4にいる移動の表記は全部で何通りありますか。その表記を上の例にならってすべて書き上げなさい。問題文から提供されている条件は以下の通りです。操作1:時計回りに2つ移動する操作2:時計回りの反対の方向に1つ移動する操作3:直線lに関して線対称な頂点に移動する・操作手順ではなく頂点の移動経路を問う。隠れた条件を発見する(1)、(2)の問題を解くことによって得られる答えは隠れた条件です。前々回の大問3の(1)の解説で以下のようなパターンを書き出しました。2、5、2この問題で求められているのは操作のパターンではなく、移動のパターンです。上記より重複した移動のパターンを除くと、2を出発した点Aが2回の操作により移動するパターンは以下の5つです。前回の大問3の(2)の解説で以下のように求めました。1と3が1回の操作で点Aが4にいられるような頂点である。解答の方向性を決める関連性に気づくここまでで明示された条件と隠れた条件を挙げていきました。以下の問題と(1)、(2)に関連性があることに気づくと方向性が定まります。(3)点Aが2からスタートして5回の操作の直後に4にいる移動の表記は全部で何通りありますか。その表記を上の例にならってすべて書き上げなさい。なんと、(3)の問題で問われている「最後に4がいる」ためにはその直前の操作の直後には、(2)で明らかにされた隠れた条件より、1か3にいないといけないではないですか!つまり、表記としては、「2→*1→*2→*3→1か3→4」になるのです。(1)で明らかにされた隠れた条件から、2をスタートしたあとの*1と*2のパターンはすでに求められているではないですか!すなわち、こうなります。253251252231234ということは上記の2回の操作による移動地点のパターン「3、1、2、4」から、「1か3に移動するパターン」を求めれば、5回の操作によって4に到達するパターンが割り出せるのです。してそんなことに気づける?こういうことに気づけば解けるよ、と言うのは易し行うは難し。「(3)の問題を解くのには(1)と(2)の問題の解答が役に立ちそうだな。どれどれ、見てみよう。ほらやはりだ」などと普通は考えつくわけがありません。簡単に気づく方法があるんですよ。それは、開成中学の算数は前の問題をヒントとして次の問題が解けることが多い、という知識をもってすると気づけるんです。これめちゃくちゃ大事ですよ。開成中学に受かりたかったらこの傾向は絶対に知識として抑えておいてください。この知識をもとにして私が解いたときの思考を辿ると、なんだこれ5回も操作があるのか。やけに前の問題との難易度に差があるな。↓5回の操作が時計回り方向に「操作1:+2」と「操作2:ー1」みたいな定型的な形だったらパターンの算出で求められるが、操作3は+2も+1も0-1もー2もあり得る。膨大な操作パターンを洗い出して移動の表記に変換するのには時間がかかりすぎる。↓これ多分、別のやり方がある。前の問題を条件にするんだろ。↓ほら、(2)は4に至る前の移動地点のパターンを求めてる。この問題の最終地点は4だ。条件として使えそうだ。前の操作は1か3になる。↓(1)は2からスタートした2回の操作のパターンを求めてる。この問題も2からスタートしてる。「(1)と(2)の問題で求めた解が隠れた条件として使える」これが気づきです。「(1)の解は操作の始まりからのパターンを明らかにしている。(2)の解は最後の操作の一つ前のパターンを明らかにしている。いうことはその間のパターンを求めれば(3)の解は得られる」これが論理的思考です。解答の道筋を決める(1)の解の最終地点のパターン、つまり2回目の操作の直後の移動地点のパターンは「3、1、2、4」です。(2)の解の最終地点のパターン、つまり、4回目の操作の直後の移動地点のパターンは「1、3」です。2回目の操作直後の「3、1、2、4」から4回目の操作直後の「1、3」に移動できる操作3の移動地点を求めれば良いのです。これを場合の数として列挙します。3→*3→13→*3→31→*3→11→*3→32→*3→12→*3→34→*3→14→*3→3さあこの*3を検討していけば解答を得られます。