pencil創作整数問題#49解法&創作整数問題#50明けましておめでとうございます。今年の4月1日には平成に替わる新たな元号が公表される運びです。次の元号は248番目の元号となりますが、巷では昨年から元号の予想合戦が繰り広げられています。頭文字はM、T、S、H以外だろうという予想が大勢を占めていますが、実際のところは関係者しか分かりませんね・・・。満たす整数の組$(a,\,b)$をすべて求めよ。(創作問題)新年一発目、しかも#50というキリ番ということもあり、何となくシンプルながらも本格的なディオファントス方程式にしてみました(笑)大学入試レベルだとさすがに誘導設問を付けないと試験にならない気がしますが、数学コンテストでは易問扱いされてしまいそうです・・・。は$2$以上の任意の整数$n$に対して整数にならないことを示せ。series)と呼ばれ、古くから和声学や建築学などの分野で研究されてきた数列です。$0$に収束するにもかかわらず、和が無限大に発散するという直感に反する数列としても知られています。用いた追い出しの原理によっても証明することができます。調和数列$H_n$の有名な性質の一つとして$1$より大きいどんな$n$についても整数値をとらないことが知られており、本問はこの事実を証明しようというものです。ここではよく知られた証明法をご紹介します。\dfrac{1}{n}=k$$(ただし$k$は整数)と仮定する。=k2^{M-1}-\dfrac{1}{2}$$ここで、右辺を通分したときの分母は$2$である。左辺の各項を約分すれば分母は奇数となるので、これらすべてを通分したときの分母は奇数となり、$2$になることはない。したがって左辺と右辺の分母が一致しないので、これは不合理である。\dfrac{1}{k}$は$2$以上の任意の$n$に対して整数にならないことが示された。前回のおまけ問題は以下のようなものでした。は$2$以上の任意の整数$n$に対して整数にならないことを示せ。解答に移る前に、本問の背景(?)について触れておきましょう。\cdots$$の厳密な極限値を求めるというもので、1735年に数学者レオンハルト・オイラーによって解決されました。当時、この級数が収束することは知られていましたが、オイラーによる証明が与えられるまで、何と100年近くも未解決のままでした。実はこの級数は$\dfrac{\pi^2}{6}$という値に収束するのですが、一見すると級数の形からは想像しにくい極限値です。当のオイラーも厳密値を求めるのには大変苦労したようで、解析学の知識を駆使して級数の値を小数点以下20桁程度まで計算し、それから数年後にようやく$\dfrac{\pi^2}{6}$に収束しそうだと見当を付けたそうです。x}{x}$を「因数分解」するという天才的な発想で極限値$\dfrac{\pi^2}{6}$を導くことに成功しました。ときは問題#49の解答の通り、整数になり得ません。\dfrac{1}{k^p}$が$2$より小さい数にしかならないので、決して整数にはならないことが分かります。\dfrac{1}{k^p}<2$$が成り立つため、これが整数になることはありません。\dfrac{1}{k(k-1)}$$が成り立ちます。\dfrac{1}{k^2}<2-\dfrac{1}{n}<2$$が示されます。\dfrac{1}{k^2}<2$$が言えるので、題意が成り立つことが示されます。\dfrac{1}{k^p}$が整数でないことは、問題#49の解答において「両辺に$2^{M-1}$を乗じる」という部分を「両辺に$2^{pM-1}$を乗じること」とすれば一般の$p$について代数的に証明可能です。さんよりご指摘を頂きました)(コメント)本問は割と有名な部類の問題ですが、分母の偶奇で場合を絞り込むという方法は初等的でありながら盲点であったりします。今回の問題では左辺と右辺の分母の比較でしたが、「分子が奇数で分母が偶数であるような有理数は整数にならない」というこれもまた当たり前に思えるような事実が解答の突破口になることもしばしばあります。これに関して、例えば2018年の東大理系数学では$\dfrac{_{2n+1}\mathrm{C}_n}{n!}$(文科では$\dfrac{_{2n}\mathrm{C}_n}{n!}$)が整数になるような$n$を求めさせる問題が出題されています。この問題には分子と分母の形に着目させる誘導設問が付いているので、東大の整数問題としてはかなり易しめのレベルになっていますが・・・。分数絡みの整数問題では他にも「分母≦分子」などの必要条件が考えられるので、どの攻略法が適切か、その都度見極める必要があります。今年からはページの見た目に拘ってみようかと思い、今回はカラーの囲み枠を使ってみました。記事の内容にメリハリが付くのは良いことですが、デコレーションが派手にならないように注意したいと思います(笑)あと、スマホだとよくTeXの長い数式が画面からはみ出してしまいダサいのですが、せっかく付けた枠線を突き抜けてしまうのでより一層ダサく見えますね(笑)。PCやタブレットではちゃんと収まるように表示されるので、スマホ画面の場合に限ってスクロールバーを付ける、といった対応はできますが、それも何となく格好悪く見えてしまいます。さんコメントありがとうございます。今年もどうぞ宜しくお願いします。おまけ問題に関して、記事中では解析的なアプローチのみを紹介していましたが、仰る通り問題#49と全く同様の代数的な方法で証明することもできますね。ご指摘に感謝致します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。