pencil創作整数問題#51解法&創作整数問題#522次試験に向けてスパートが掛かる時期となりました。インフルエンザが猛威を奮っていますが、受験生の皆さんは体調管理に十分気を付けて頑張って下さい!前回は「メルセンヌ数」に関する問題でした。今回はまた方程式に戻ってみます。満たす整数の組$(a,\,b)$は無数に存在することを示せ。b=a^3+2b^2$$という方程式の整数解を求める問題でした。これに対して本問は少し毛色が違い、問題#50より難しくなっています。解が無数に存在することは無数の解を構成する方法を見つけさえすれば証明できます。問題はどうやってそれを見つけるかですが・・・?証明問題につき、解答は次回掲載します。互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$はいくつ存在するか。タネに気が付けばあっさり解けます。表し、整数$x$、$y$の最大公約数を$\text{GCD}(x,y)$と表すことにする。\text{GCD}(M_m,M_n-M_m)$$が成り立つ。\end{align}$$と式変形できる。(★)$$が成り立つ。\text{GCD}(M_m,M_{r_{1}})$$を得る。あり、$m$を$r_1$で割ったときの余りを$r_2$とすれば、同様の操作により$$\text{GCD}(M_m,M_{r_{1}})=\text{GCD}(M_{r_{1}},M_{r_{2}})$$を得る。なり、$$\text{GCD}(M_n,M_m)=\text{GCD}(M_{r_{j}},0)$$となる。ここで$$\text{GCD}(n,m)=r_{j}$$であるが、仮定より$$d=r_{j}$$である。したがって$$\text{GCD}(M_n,M_m)=\text{GCD}(M_{d},0)=M_{d}$$を得る。(了)これより、$M_{n}$と$M_{2019}$が互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$は、$2019$と互いに素であるような$2019$未満の自然数$n$の個数に等しいことが言える。673$$となるから、$2019$未満の自然数から$3$の倍数と$673$の倍数を除いた個数を調べればよく、そのようなものは$$2018-672-2=1344$$だけ存在する。(コメント)お手頃な問題だったのではないでしょうか(笑)。余談ですが$M_{2019}$は$608$桁の数であり、素因数分解は容易ではありません。「$n$が$m$で割り切れる⇔$a_n$が$a_m$で割り切れる」という性質をもつ数列$a_n$はメルセンヌ数の他に、フィボナッチ数列やレピュニット数列などが知られています(多分他にも沢山あると思います)。どのような数列がこの性質を持つのでしょうか?メルセンヌ数列$M_{n}$の漸化式は$$M_{n+1}=2M_{n}+1$$で、フィボナッチ数列$F_{n}$の漸化式は$$F_{n+2}=F_{n+1}+F_{n}$$で、レピュニット数列$R_{n}$の漸化式は$$R_{n+1}=10R_{n}+1$$でそれぞれ与えられますが、何かヒントが隠されているでしょうか?また、解答例の中で示した補題から、$M_n$がメルセンヌ素数ならば$n$が素数であることが示されます。現在発見されているメルセンヌ素数は51個ですが、メルセンヌ素数が無限に存在するか否かについてや、どのような$n$に対して$M_n$がメルセンヌ素数となるかについてはほとんど何も分かっていません。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。