次の問題へ問題1.4.1次の値を求めよ。数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$が各々$\alpha$、$\beta$に収束するならば、数列$\{a_n+b_n\}$は$\alpha+\beta$に収束することを$\varepsilon$論法で示せ。本問は珍しく教科書にもちゃんと解答が書いてあります。a_n=\alpha$と表せる、というものでした。直感的な理解としては、$n$を非常に大きくすれば、ごく小さな$\varepsilon$によって$|a_n-\alpha|<\varepsilon$を成立させることで$a_n$と$\alpha$の間隔をどんどん狭められる、という程度で良いでしょう。教科書の例題の解答例を見てもよく分からない人は、まず数式を日本語で解読する作業から始めましょう。$\varepsilon$論法では絶対不等式の一つである「三角不等式」がよく用いられます。三角不等式とは次のようなものです。三角不等式は絶対値記号との相性が良いので、$\varepsilon$論法に頻繁に登場します。$\varepsilon$論法は数列だけでなく関数にも適用できます。)$$が成り立つことを証明するためには、$N$の代わりに$|x-\alpha|<\delta$(デルタ)ならば$|f(x)-f(\alpha)|<\varepsilon$となるような実数$\delta$の存在を示せば良いことになります。$\varepsilon$論法は関数の連続性を厳密に証明するときにも必要となります。a_n=\alpha$であることから、$n>N_1$ならば$|a_n-\alpha|<\varepsilon_1$、が成り立つようなある自然数$N_1$が存在している。\infty}b_n=\beta$であることから、$n>N_2$ならば$|b_n-\beta|<\varepsilon_2$が成り立つようなある自然数$N_2$が存在している。)-(\alpha+\beta)|<\varepsilon$が成り立つようなある自然数$N$が存在していることが言える。\}$は$\alpha+\beta$に収束する。《コメント》やっていることは教科書の模範解答と同じですが、別に帳尻を合わせようとして$\dfrac{\varepsilon}{2}$を唐突に登場させる必要は無いということを示すために敢えて$\varepsilon_1$、$\varepsilon_2$と置きました。文字は何でも良いということですね。復習例題は設定していません。