今日は首都大学東京の整数問題です。理系では出題されなかったようですが、良い問題です。数列$\{a_n\}$を次の条件によって定める。(n=1,2,3,\cdots)$以下の問いに答えよ。(1)$a_3、a_4、a_5$を求めなさい。整数解をすべて求めなさい。(3)すべての自然数$n$に対して、$a_{n+1}$と$a_n$が互いに素であることを示しなさい。前期文系第4問)《考え方》(1)は特に言うことはありません。「$ax+by=1$」が解を持つことと、係数$a、b$が互いに素であることが同値であるという関係をモチーフにしている問題ですが、そんな事は知らなくても大丈夫です。整数解をすべて求めればよいことになります。頑張って解の一つ$(x,y)=(5,-12)$を見つければこっちのもの。29(x-5)=-12(y+12)$$となります。$29$と$12$は互いに素であり$x-5$、$y+12$は任意の整数値をとるので、ある整数$m、n$を用いて$$x-5=12m、y+12=29n$$と表せます。n$ですから、$n=-m$です。\mathbb{Z})$$が求めるすべての整数解となります。続いて(3)ですが、これは帰納法の出番です。$a_{n+1}$と$a_n$の最大公約数を$d$と置きます。左辺は$d$の倍数ですから$a_n$も$d$の倍数となります。故に$a_{n+1}$と$a_n$が互いに素であることが示されました。(コメント)(2)を当てずっぽうで解こうとすると大変です。いう時に活躍するのが置き換えです。新しい整数に置き換えると、$$12s+5x=1$$と大分簡単になります。これをさらに簡単にしましょう。新しい整数に置き換えると、$$2s+5t=1$$となり、もっと簡単になりました。\end{cases}$$を解いて、結局$(x,y)=(5,-12)$を得ることができます。変形の途中で式の係数が数列$\{a_n\}$の第$1$~$3$項になっているのは偶然ではありません。y=1$というふうに変形しているだけです)。これらの計算を解答用紙に書く必要は無いですが、1次不定方程式を解く際に何かと便利な方法なので覚えておきましょう。今年の東大にも本問の類題がありましたね。来年以降も同様の問題が出題される可能性は大なので、受験生の方は是非とも対策をしておくべきでしょう。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。