今から部屋の電気を消して体操座りして東京大学2016年度文系第4問、整数問題の解説をしたいと思います。[問題]以下の問いに答えよ。(1)については、結論のみを書けばよい。(1)nを正の整数とし、3^nを10で割った余りをa_nとする。(2)nを正の整数とし、3^nを4で割った余りをb_nとする。(3)数列{x_n}を次のように定める。(n=1,2,3,...)x_10を10で割った余りを求めよ。[解答と解説](1)典型的な問題やから、やったことある人は多いかもしれんけどとりあえずn=1,2,3,...って実験していくのがお決まりの処理やな。10で割った余りと言うことは1の位の数字のことで、1の位の数字に3をかけていったらええわ。3×3=9...で周期4で繰り返しやな。この問題はいつか同じのが出るから、絶対周期があるねんけどな。(nは4で割り切れる)って書いたオッケーやな。a_n=5-3cos(kπ/2)-3/2・sin(kπ/2)-cos(3kπ/2)+1/2・sin(3kπ/2)と答えろと言うわけではないからな。そんなん答え方するやつおらへんわ!わざわざ、こんなネタを書くために関数考えるなって言う話やな。ちなみにもしちゃんと証明するって言うことになると合同式を使うと便利やな。合同式については知らない人は昔書いた合同式≡と剰余類の説明と応用問題を読んでくれ。なることが出来てこの最小のnが周期になるねん。10で考えると(10で割った余りで考える)3^1≡33^2=9≡93^3=27≡73^4=7×3=21≡1で1が出てきたから3^(n+4)=3^n・3^4≡3^n・1=3^nって4つごとに同じ値って言えるからこれでa_1=3とa_2=9とa_3=7とa_4=1でa_(n+4)=a_nが言えるとa_5=a_1=3a_6=a_2=9a_7=a_3=7a_8=a_4=1って全部決まっていくねん。a_1とa_(n+1)=f(a_n)と言う漸化式があれば全部値が決まるのと同じやと思ってください。(2)さっきの証明と同じようにやればええわ。b_(n+2)=b_nこれで決まりやな。(n=2k)(3)ようわからんから、まずは実験してみよか。ドニュサフアクバイア?って転生することになります。そこで(2)を使うはずやからな。(1)しか使ってないやろ。3^27って3の奇数乗やからな(2)から4で割った余りは3やろ。したら3^(3^27)は指数のところが4で割った余りは3と言うことでこれで(1)から10で割った余りは7になるねん。解答はこういう感じでええし、そうするべきやと思うねんけどな。x_nは3^kの形で奇数やからx_(n+1)=3^x_nは4で割った余りは3x_(n+2)=3^x_(n+1)は指数のとこが4で割った余りは3より10で割った余りは7になるとかな。必要はないねんけど、そこを一般的に書くとx_n=3^x_(n-1)よりa_(x_(n-1))=a_(3^(x_(n-2)))=a_(b_x(n-2))(n≧2)って言うことになるからx_8=3^x_7よりx_8は奇数でx_10=3^x_9を10で割った余りa_(x_9)はa_(x_9)=a_(3^(x_8))=a_(b_(x_8))=a_3=7やな。これも整数問題勉強するのに良さそうな問題やな。かずスクールで数学を教えてます。詳しいプロフィールメッセージはこちらへメール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。一言メールくれれば相互リンクします。読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。水と空気と街並とからだ中学時代からの親友てつろうのブログ。今年、滋賀医科に合格した医学生です。リンク集リンク集はこっちです。このブログは携帯でも見られます。Reserved.リサーチ。