b_n\}$は常に収束し、その極限は$\{a_n\}$、$\{b_n\}$の取り方によらないことを示せ。定理1.1.1(教科書)の積の極限に関する証明です。数列の取り方によらないことを示すのがこの問題の肝です。そこで1.4で扱う$\epsilon$-$\delta$論法を利用するため、やや難しい問題と言えます。a_n=\alpha$より、$n>N_1$ならば$|a_n-\alpha|<\epsilon_1$($\epsilon_1$:任意の実数)となるような自然数$N_1$が存在する。b_n=\beta$より、$n>N_2$ならば$|b_n-\beta|<\epsilon_2$($\epsilon_2$:任意の実数)となるような自然数$N_2$が存在する。\end{align}$と変形できる。\epsilon_2$をとることが可能だから$(*)<\epsilon$となる。\beta|<\epsilon$となるような自然数$m$が存在する。以上の議論は$a_n、b_n$の取り方に依っていない。《コメント》$\epsilon$-$\delta$論法は上記のような極限を扱う抽象的な証明で重宝します。何を根拠にどんな変形や置き換えをしているのか、しっかり理解しましょう。教科書にも数列の積の極限を与える証明がありますが、上の解答はそれをもっと詳しく書いたものです。b_n=\beta$を満たす有理数列$\{a_n\}$、$\{b_n\}$を用いて定義される数列$\{\dfrac{a_n}{b_n}\}$は常に収束し、その極限は$\{a_n\}$、$\{b_n\}$の取り方によらないことを示せ。