pencil創作整数問題#50解法&創作整数問題#51センター試験が一段落し、いよいよ2次試験に向けてスパートが掛かる時期となりました。互いに素となるような$2019$未満の自然数$n$はいくつ存在するか。表される整数は「メルセンヌ数」と呼ばれます。Search)と呼ばれるプロジェクトが大きく貢献してきました。この計画は世界中のコンピュータを並列してメルセンヌ素数の探索を行うというコンセプトで1996年に発足し、インターネットを介して大規模計算を並列処理するというものでは最も古いと言われています。GIMPSはコンピュータを持つ人であれば誰でも参加することができます。現在のところ日本人は発見者のリストにいないようです。満たす整数の組$(a,\,b)$をすべて求めよ。\end{cases}$(連立方程式型)などに大別できます。分数型の方程式の分母を払ったり、連立方程式型を代入法で解こうとすれば結局は多項式型に帰着しますので、この分け方は厳密なものではありません。この区分けの中で言うと本問は多項式型の問題と言えますが、多項式型の問題の中にも色々な種類があり、1次不定方程式や因数分解のできる2次式または2元1次式などの「軽め」の問題から、素数の絡んだ高次方程式や、(「整数である」という条件以外は)特に仮定の無い多元高次方程式などの「重たい」問題まで様々です。本問は数学コンテストなどでよく出題される「特に仮定の無い2元高次方程式」に分類できます。初手で因数分解を考えた方がいるかもしれませんが、ここではあまり役に立たなさそうです。いう時に重宝するのが「文字の最大公約数を置く」という方法です。シンプルではありますがなかなか強力な武器です。求める解であり、整数$a$、$b$の一方を$0$とすると他方も$0$となるから、$a$、$b$はいずれも$0$でないとする。A^2(B-A)g=2B^2$$を得る。これより$A^2$は$2B^2$を割り切るが、整数$A$、$B$は互いに素であるから$A^2$は$2$を割り切る。A=\pm1$$となる。よって$b$は$a$で割り切れるから、$0$でない整数$c$を用いて$$b=ac$$と置ける。a=2c+2+\dfrac{2}{c-1}$$を得る。それぞれの場合について$(a,\,b)$を求めると、$$(a,\,b)=(-1,\,1),(8,\,16),(9,\,27)$$を得る。合わせて求める解は$$\color{red}{(a,\,b)=(-1,\,1),(0,\,0),(8,\,16),(9,\,27)}$$となる。(コメント)本文のように定数項を含まない多項式タイプの問題は最大公約数を置く方法が特に有効です。「互いに素」な$A$、$B$による議論に持ち込むことで絞り込みが可能となるのです。カラクリさえ理解できればこうした問題はほとんどワンパターンで処理できるようになります。おまけ問題を掲載しましょう。満たす整数の組$(a,\,b)$をすべて求めよ。このおまけ問題でも最大公約数を設定する解法が有効です。最終的には最大公約数について「分母≦分子」の関係から2次不等式によって解の候補を絞り込むことができます。b^2=4a^5+b^3$$を満たす整数の組をすべて求めさせる問題が出題されています。この数オリの問題は場合分けもあるので今回の問題#50よりも難しいと思いますが、ここでも最大公約数を設定する解法が威力を発揮します。さんコメントありがとうございます。「証明」となっていた部分は直させて頂きました。別解をお寄せ頂きありがとうございます。本問の場合は$b$について2次方程式になっているので判別式部分から絞り込むのが有効(というより正攻法?)ですね。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。