有理数でないことを示せ。基本的に前頁と同じです。$\sqrt{2}$が無理数であること既知としなければ2乗操作を二回行えばOKです。(p>q)$と表すことができる。$\sqrt{2}$を移項し、両辺正なので2乗すると$$3=\dfrac{p^2}{q^2}-2\sqrt{2}\dfrac{q}{p}+2$$となる。・・・・・・(*)となる。$p^2-q^2$も$2pq$も整数だから右辺は有理数である。ところがこれは$\sqrt{2}$が無理数であることに矛盾し不合理である。したがって$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は無理数である。\sqrt{2}=p^2-q^2$となる。(10q^2-p^2)p^2=q^4$$となるが左辺が$p$の倍数となっており$p、q$が互いに素な2つの自然数であることに矛盾する。したがって$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は有理数でない。故に$\sqrt{2}+\sqrt{3}$は無理数である。受験数学の範囲ですね。難しい操作は必要ありません。解答例では$\sqrt{2}$を主役にしましたが、2乗の際に$\sqrt{3}$を残しても同様の議論が可能です。