一般には、\(N\)を自然数とし、実数空間\(\mathbb{R}^N\)を考えます。これはユークリッド空間、数ベクトル空間、\(N\)次元空間とも呼ばれる、線形代数学の基本的な考察対象です。実数空間には、「空間」と呼ばれるに値する、代数的な法則が定まっています。=y_2\)とき、等しい\(x=y\)と考えます。このような数の組\((x_1,x_2)\)は、数が並ぶ順序を考慮に入れているので、一般に順序組と呼ばれるのでした。2つの点は、足し合わせたり、定数倍(スカラー倍)することができます(ベクトル加法とスカラー乗法)。(cx_1,cx_2)\]こうした計算規則によって、点\(x=(x_1,x_2)\)は原点\(o=(0,0)\)を基準とした向きを持った量、すなわちベクトルとみなすことができます。ベクトルの和はベクトルをつなぎ合わせることで、スカラー倍は引き伸ばすことです。space)と言います。実数空間\(\mathbb{R}^N\)は線形空間です。対象を知ることで、より明解に理解できるでしょう。線形結合:ベクトルのコンビネーション線形空間におけるベクトルの基本的な操作は、和とスカラー倍である、という話をしました。\(\mathbb{R}^N\)におけるベクトルが2つ\(x,y\)あったとして、それを組み合わせることで多くのベクトルを生み出すことができます。\(2x\)は\(x\)を2倍に引き伸ばしたベクトル、\(-y\)は\(y\)を反対方向へ伸ばしたベクトル。\(2x-y\)はそれらを組み合わせたものです。\(2x,-y,2x-y\)は、ベクトル\(x,y\)の線形結合であると呼ばれます。combination)と呼びます。線形的な組み合わせとも言えますね。v_k\)で表されるベクトルのことです。何か基準となるベクトルをいくつか決める。これが、線形代数学の基本的な考え方です。線形代数学で最初に扱うことの多い「行列」は、ある意味で線形結合を略記したものです。c_2\end{pmatrix}\end{eqnarray}と表せます。この性質から、ベクトルは列ベクトル(縦ベクトル)を標準とすることが多いです。\end{pmatrix}\)と行列をベクトルを並べた対象として表記できます。x+c_2y\)へ写すものです。行列は、1次方程式(線形方程式)の定式化\(Ax=b\)にも使われます。その左辺\(Ax\)は、係数からなるベクトルの線形結合にほかなりません。このように、線形結合は線形代数学において基本的な対象なのです。線形結合によって表されるベクトルの集まりは、どんな対象になるのでしょうか?例えば、\(\mathbb{R}^2\)において、\(x=(1,0),y=(2,0)\)とします。+c_2y\)は、倍率\(c_1,c_2\)が変化したとき、どんなベクトルになりうるか。一般に、ベクトルの有限個の集まり\(S\)の線形結合によって表されるベクトルの集合を、\(S\)の張る(span)空間、または\(S\)が生成する(generate)空間と言い、\(\mathrm{span}(S)\)と書きます。\mathbb{R}^N\)のときは、次のように定義されます。+c_2y=(c_1+2c_2,0)\)なので、第2成分がすべて0の直線となります。\mathbb{R}\}\)です。別の例をあげてみましょう。\(S_2=\{(1,0),(2,2)\}\)とします。線形結合は\((c_1+2c_2,2c_2)\)です。これは\(\mathbb{R}^2\)のすべてのベクトルを表すと言えます。\mathbb{R}^2\)を取ると、\[(x_1,x_2)=(x_1-x_2)(1,0)+\frac{x_2}{2}(2,2)\]と表せるので。よって、\(\mathrm{span}(S_2)=\mathbb{R}^2\)です。2つのベクトルによって張られる空間でも、一方は1次元的、もう一方は2次元的という違いが生まれましたね。そのどちらも、閉じた空間と呼ばれるに足る性質を持っています。subspace)と言います。その要素を使って線形結合を作るという操作について閉じた集合が、部分空間です。\mathbb{R}\}\)は、\(\mathbb{R}^2\)の部分空間です。その任意の要素は、\(v=(v_1,0),w=(w_1,0)\)と表せます。\mathrm{span}(S_1)\)が成立するので。同様にして、\(\mathrm{span}(S_2)=\mathbb{R}^2\)は、\(\mathbb{R}^2\)の部分空間です。一般に、\(\mathbb{R}^N\)自身は\(\mathbb{R}^N\)の部分空間です。ベクトルの張る空間\(\mathrm{span}(S)\)は、\(S\)が何であっても、線型部分空間となります(確かめてみてください)。\(\mathrm{span}(S)\)を張る空間と呼んだわけです。\(\mathrm{span}(S)\)は\(S\)を含む最小の部分空間です。すべての部分集合が、線形部分空間となるわけではありません。\mathbb{R}^2\}\)、つまり\(f(x)=x^2\)のグラフとしてみましょう。\mathbb{R}^2\)ではありますが、線形部分空間ではありません。この\(W\)は「非線形」な集合と言えます。W\)は、そこに属するベクトルを足し合わせたり伸ばしたりしても「外側」に出ないことを意味します。線型部分空間は、直線や平面、立体といった直線的な形を持っているわけです。行列は線形部分空間を線型部分空間へと移します。一般に、行列はその定義から、「線形結合を線形結合へ写す」性質を持っています。transformation)、一次変換と呼びます。行列\(A\)によって線型部分空間\(W\)から移されるベクトルの集合を、\(A\)の像(image)、または値域(range)と言い、\(A(W)\)と書きます。v=Aw\}\)です。A(W)\)は、必ず線型部分空間です(確かめてみてください)。\mathbb{R}\}\)で、部分空間ですね(さきほどの\(\mathrm{span}(S_1)\)に等しい)。(この\(A\)は2次元的な空間を、1次元へ潰しています。これはフルランク2ではなく、ランクが1つ落ちていることを表すものです。これまで見てきたように、線形部分空間にはその広がり方の違いがあることがあります。\(S_1=\{(1,0),(2,0)\}\)の張る空間\(\mathrm{span}(S_1)\)は直線で、\(S_2=\{(1,0),(2,2)\}\)の張る空間\(\mathrm{span}(S_2)\)は平面です。これらを区別するのが、線形空間の次元という考え方です。共に2つのベクトルで張られる空間ですが、これらは何が違うのでしょうか?\(\mathrm{span}(S_1)\)は2つのベクトルにより張られていますが、機能しているのは実質一種類であることに気づきます。\((2,0)=2(1,0)\)と、\((2,0)\)は\((1,0)\)のスカラー倍で表せているのです。2つのベクトルの線形結合であっても、1つにまとめられてしまうわけですね。dependent)、一次従属と言います。一般に、\(S=\{v_1,\dots,v_k\}\)が線形従属であるとは、あるベクトル\(v_i\)が他のベクトルの線形結合で表せることです。v_k=0\)なるものが存在するとも言い換えられますね(\(v_i\)以外を移項し、\(c_i\)で割る)。一方で、\(S_2=\{(1,0),(2,2)\}\)は2つのベクトルが空間の生成に機能しています。これらは線形従属ではありません。\(c_1(1,0)+c_2(2,2)=0\)と仮定すると、必然的に\(c_1=c_2=0\)となり、あるベクトルを他のベクトルの線形結合で表せません。independent)、一次独立と言います。一般に、\(S=\{v_1,\dots,v_k\}\)が線形独立であるとは、そのすべてのベクトル\(v_i\)が他のベクトルの線形結合で表せないことです。v_k=0\)ならば、\(c_1=\cdots=c_k=0\)となる、とも言い換えられます。ここまで来ると、もう次元の定義はわかるでしょうか。重要なのは、線形独立なベクトルの個数です。線形空間\(V\)において、線形独立であり、\(V\)を生成するような\(S=\{v_1,\dots,v_k\}\)を、\(V\)の基底(basis)と言います。(次元は、線形空間に応じて一意に定まります)例えば、\(\mathrm{span}(S_1)=1\)です。基底としては、\((1,0)\)が選べます。1個のベクトルは線形独立であり、また、\(\mathrm{span}(S_1)\)の任意の要素は\((x_1,0)=x_1(1,0)\)と表せます。基底そのものは一意的に定まるわけではありません。\((4,0)\)も基底ですね。どのような基底を選んでも、その個数(=次元)はきちんと定まっています。\mathbb{R}^2=2\)です。線形独立であることは確かめましたし、空間を生成してもいます。いくつかのベクトルによって、空間全体を張ることを考える。そのとき、余分なベクトル(線形従属)を排除し、線形独立なベクトルのみをカウントすることによって、次元を測ることができます。して見ても、次元というアイデアの根底にあるのは、線形結合であることは感じ取れるでしょうか。行列(線形写像)は、線形空間の次元を落とさないことも、落とすこともあります。A(\mathbb{R}^2)=1\)です。\(A\)の列ベクトルは線形従属になっています。このようなとき、\(A\)は正則ではないと言います。逆に、行列が正則なときは、像によって次元は保たれますし、またその列ベクトルが線形独立になります。なんとなく、行列の変換としての側面、幾何学的なイメージが見られます。線形結合、そして次元というアイデアがあれば、行列は単なる数を並べたものではないことがわかりますね。線形代数学では、線形結合や行列によって線形的な関係を表し、その関係によって表される線形空間の広がり(次元)を調べます。今回は2次元の例を紹介しましたが、3次元、4次元、\(n\)次元でも同様に議論できるでしょう。単純なケースから操作やイメージを身に着け、スムーズに議論できるようになってみてください。行列や固有値などについて学ぶときも、こうした幾何学的な、「線形的な」イメージを伴わせると、有機的に理解できると思います。木村すらいむ(@kimu3_slime)でした。木村すらいむ(木村一輝)趣味で数学をしています。1992年・群馬生まれ、茨城在住。ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。木村すらいむ(木村一輝)趣味で数学をしています。1992年・群馬生まれ、茨城在住。ご連絡はTwitter(@kimu3_slime)のDMへお願いします。