size)>http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32398-measures-of-effect-size-toolbox]]がありますが,このMESも反復測定要因を含む効果量については非心分布アプローチに基づく信頼区間を算出しません。その代わり,反復測定効果についてはブートストラップに基づく信頼区間を指定するオプションが選べるようになっています。intervalオプション)。少なくともひとつの効果量の指標を指定していない場合には何も起こらないので注意してください。効果量を指定している場合,分散分析表の後に以下のような効果量の信頼区間の表が追加されます。-----------------------------------------------------------この表の“Estimate”は,分散分析表にあるのと同じ,効果量の点推定値です。“CI_L”,“CI_U”は,それぞれ,信頼区間の下限と上限を表しています。その次の“ncp_L”と“ncp_U”はF値に基づいて推定した(そして,効果量の信頼区間のもとになった)非心パラメータの信頼限界です。非心パラメータが推定できなかった場合,この列には“NA”が表示されます。反復測定を含む効果については,信頼区間はすべて“NA”と表示されます。[#qad88090]分散分析の標準化効果量の信頼区間を算出するためのもうひとつの方法は,ブートストラップ法を用いることです。ブートストラップ法は,標本からのデータの無作為抽出をくりかえすことによって疑似的に新たな標本を作成し,この再抽出した標本に基づいて母集団の性質を推測する方法です。具体的な例を使って説明してみましょう。いま,実験に基づいて1~10までの10個の標本が得られたとします。説明を簡単にするため,ここでは,平均値を求めることにしましょう。標本に基づく平均値は5.5です。ブートストラップを実行するために,10個の標本から無作為に10個のデータを選ぶことにします。1,2,3,3,4,5,6,7,9,10です。この例からわかるように,ブートストラップ法では,値の重複を許す形で再抽出を行うやり方がよく用いられます(復元抽出)。このようにして作成したデータをブートストラップ標本と呼びます。ここで,標本に対して行ったのと同じように,ブートストラップ標本に基づいて新たに平均値を計算することができます(平均は5.0)。この手続きを一回行っただけではたいして意味はありませんが,100回くりかえしたらどうでしょうか。100個のブートストラップ標本に基づく,100個の平均値が得られます。この100個の平均値は少しずつ値が違いますが,もともとの標本の(そして,母集団の)特徴をそれぞれが反映しています。この100個の平均値を使うことで平均値の分布を描くことができます。もとの平均よりも小さな値もあれば大きな値もあるでしょうが,もとの平均値に近い値の頻度が最も高くなるはずです。このブートストラップ平均の分布を用いることで,真の平均値の信頼区間を推測しようというのがブートストラップ法のめざすところです。素朴な直感的にもわかりやすい方法は,ブートストラップ平均の分布の上側から2.5%と下側から2.5%のところにある値を求めることです。これらの値がそれぞれ,平均値の上側と下側の95%信頼区間の値になります。ブートストラップ法の強みは,統計量に対する理論的な仮定をあまり必要としないことにあります。統計量の分布について正規分布であるとか,等分散であるといった仮定を設けずに信頼区間を算出することができます。ブートストラップ標本に基づいて計算できる統計量であれば,それ以上に特別な工夫は要求されず,ブートストラップ法の手順にしたがって計算をくりかえすだけです。おかげで,非心分布アプローチの場合のように効果量の種類ごとにλからの変換方法に頭を悩ませる必要もなく,一般化効果量を含むさまざまな指標の信頼区間を簡単に計算できます。被験者間計画のデータであったとしても,正規性や等分散性の仮定を必要としないという点でブートストラップを使うメリットはあります。してみるとブートストラップ法はいいこと尽くめのようですが,弱点もあります。ひとつには,計算のためのコストが大きいということです。先ほどの例では100回のくりかえしを行うことにしていました。くりかえしの適切な回数については統計量の性質によって経験的に決まってきます。標準誤差の場合には100~200回で十分とされていますが,信頼区間の場合には2,000回くらいは必要であろうといわれています。すると,ブートストラップ標本を作成し統計量を計算するという作業を2,000回くりかえし行うだけの計算コストがかかることになります。このコストはPCによる実行時間に反映されます。次に,サンプルサイズが少ないことによる影響があります。ブートストラップ計算を何回くりかえしたとしても,もともとのサンプルサイズの小ささによる影響を除くことはできません。サンプルサイズが小さい場合には,よい精度で信頼区間を計算することができなくなります。Gerlanc(2013)は,各グループにつき20以上を推奨しています。シミュレーション研究の結果によるとn=5ではかなりエラーが多くなるようなので,これほどの小さいサンプルサイズでブートストラップを用いるのは避けたほうがよいでしょう。n=15でよい結果が得られたとの報告もあるようですが,n<20のときには特に慎重になったほうがよいかもしれません。最後に,ブートストラップ法に基づく信頼区間は,その性質上,ひとつの値に定まりません。基本的に無作為抽出に基づいて再抽出した結果をまとめる方法なので,実行するたびに微妙に違う値が算出されます。この点に不満を感じる方もおられるかもしれません。逆に考えれば,実行のたびにずれる程度の幅は誤差であるということになるのかもしれません。intervalオプション)。ひとつ以上の効果量の指標を同時に指定していない場合には何も起こらないので注意してください。効果量を指定してあれば,分散分析表の後に,以下のような効果量の信頼区間の表が追加されます。-----------------------------------------------------------この表の“Estimate”は,分散分析表と同じ,効果量の点推定値です。“CI_L”,“CI_U”は,それぞれ,信頼区間の下限と上限を表しています。“Bias”はブートストラップ標本に基づく効果量の平均から効果量の点推定値を引いた値を示しています。“S.E.”はブートストラップ標本に基づく標準誤差です。Biasが大きすぎる場合,BiasがS.E.よりも大きい場合には,ブートストラップ法による推定がうまくいっていない可能性があります。その場合は,サンプルサイズが小さい,データが正規性から極めて大きく逸脱しているなどの理由が考えられます。上の説明では,簡単さのために,ブートストラップ統計量の上側と下側2.5%のところの値を調べるという方法を紹介しました。このような方法は,パーセンタイル法と呼ばれます。現在では,単純にパーセンタイル法を適用したのでは精度が高くないことがわかっており,これを改良したBCa法が用いられることが多くなっています。ANOVA君でも,このBCa法を用いてブートストラップ信頼区間を計算しています。ブートストラップ標本に基づいて信頼区間を構成する方法には他にもいろいろなものがあり,代表的なものにはブートストラップt法などがあります。ANOVA君では,反復測定データからブートストラップ標本を作る際には,同一個人内の複数の水準のデータは固定し,どの人からデータを抽出するかをランダムにしています。このような方法は,ペアドブートストラップ,クラスターブートストラップなど,さまざまな名称で呼ばれています。反復測定データなどの相関関係のあるデータからブートストラップ標本を作成する方法については,他にいろいろなものが提案されています。ここで採用している方法だけが妥当であるというわけではなく,さまざまに考えられる代案のひとつであるという点に留意してください。besciオプションの実行には,相応の計算コストがかかるので注意してください。具体的には,ANOVA君では,デフォルトの反復回数は2,000回に設定してありますので,2,000回の分散分析(+単純主効果の検定)を実行して効果量を計算するのに相当する処理を要求します。実際の所要時間は実行環境やデータそのものの性質にも依存するので予測は難しいですが,完了までに数分を要することはめずらしくないと思います。ブートストラップなしで出力の量(要因効果の数と単純主効果の検定の回数)を確認したうえでブートストラップを実行するかどうかを判断し,必要であればnopostオプション(下位検定なし)を併用することをお勧めします。ブートストラップの途中で計算を停止したい場合にはエスケープキー(escキー)を押してください。WindowsよりもMacかLinuxのほうが実行時間が安定して短くなるかもしれません。