クイズの問題文中に画像を添付できるようになりました。投稿キーの受付を再開しました。17:15●はじめに《マス目問題》へのリスペクトです。《マス目問題》については以下をあらかじめ御参照ください。)※マス目を市松模様で考えて与えられた図形では敷き詰めが不可能であることを示す、クイズファン、パズルファンには有名な問題です。以上を踏まえまして、以下の問いにお答えください。10×10のマス目を、下記のL字型のテトロミノないし逆L字型のテトロミノを適宜おりまぜて使っても、敷きつめることができないことをスッキリとシンプルに示して下さい。テトロミノは回転させて使ってもよいですが、互いに重なったり、正方形からはみ出したりしてはいけないものとします。なにかアイデアがおりてくれば、すんなりといきます。No.7にヒントになりそうな投稿を致しました。<br>11/28昼追記。皆様の解答の囁きをゆっくりと順次開きつつ最後にちょっと面白いL型についての別解をご紹介したいと存じます。ろろさんからの解がありますのでご参照のほど御願い申し上げます。変わり種の証明がNo.13にございます。今回の出題者のモチベーションとなりました。御解答者の皆さんの力作もまた、おおいに刺激的であることかと存じます。回答募集は終了しました。19:21これも有名だよな・・・Iの敷き詰め不可能の証明もシンプルs_hskzヽ(^○^)ノご存知でしたか。>Iの敷き詰め不可能の証明もシンプル素晴らしい知見のご紹介をありがとうございました。No.210×10のマス目の奇数列目を黒で塗る。黒マスが50個出来上がる。一つのLテトロミノをマス目に沿って置く場合、どのように回転させても、覆われる黒マスの数は奇数個である。10×10の正方形をテトロミノを重なり合わずに敷き詰めるためには、100÷4=25個のテトロミノが必要であるがLテトロミノ25個を互いに重ならないように置くと、覆われる黒マスの合計は奇数個になるので、ちょうど50個の黒マスを覆うことはできない。したがって、Lテトロミノだけで10×10のマス目を敷き詰めることは不可能である。21:46出題が1年早ければ、敷き詰める対象は「2014×2014のマス目」になっていたのだろうか。s_hskz>出題が1年早ければ、敷き詰める対象は「2014×2014のマス目」になっていたのだろうか。(^皿^)ええと...次の年賀状チャンスは2018年でしょうか。結果、盤面が各25箇所×4色に塗り分けられる。<大雑把な回答>テトロミノ一枚当たり全ての色を平均ちょうど一回ずつカバーする必要がある。テトロミノを一個どう配置しても、ひとつの色(例:赤)が二回塗られ、その斜め隣の色(例:桃)が塗られない。これを回復する方法は、桃が二回塗られ、赤が塗られないようにテトロミノをおく以外に方法が無い。同様に、偶数個のテトロミノの配置であれば平均ちょうど一回ずつ4色がカバーされる配置が可能になるが、この盤面におかれるテトロミノの数は奇数(25個)であるので、最後の一個で必ずバランスが崩れる。∴不可能<数学の試験と思って回答>テトロミノの配置は、次の4パターンのいずれかになる。あ、これは私もこう解きました。スジとしてはそんなに悪くはないと自負しております。したら、某女史から『こうするんだよーん』と言われてアゴが外れました。こんな顔しました解答公開時追記:偶奇の2ビットの市松模様を多重化して4ビットにするアイデアは私は好きです。たっくん4さんの囁きの解法をひとひねりすると出てくるんですよね......これが最もシンプルかどうかは私には未知なのですけれど。ある意味においてもっと単純なのがみつかりました。No.5Iは1*4マスなので、同じ行(列に)縦(横)置きタイルのブロック(=1マス)が奇数入ると10マスぴったり埋める事が出来ません;;つまり縦(横)置きともに偶数枚使う必要があります。)・・・理屈はえらく簡単なんですが、言葉(や文字)で説明するのは難しいこの囁きも果たして説明になっているかどうかs_hskzおお......なかなかに凝った論証ですね。言われてみれば(そして良く考えれば)まさしくおっしゃる通りです。別解とさせて頂きます。解答公開時追記:この、塗り分けないやりかたには度肝を抜かれました。別解ですが目からウロコでもあります。I字型でも、確かに、ひねる必要はなかったですね。......そして、もっともっと要素を減らしてシンプルにできるようです。11:40I字型テトロミノの10×10の正方形への敷き詰め不可能の証明の一例を投稿いたします。したらL字型テトロミノのほうのヒントとなるかもしれません。I字型テトロミノを1個、この模様のどこにおいても白のマスを2つ、黒のマスを2つ、覆います。I字型テトロミノを何個どのように置いても、必ず白黒のマスを同数覆います。10×10の正方形において黒のマスは52個、白のマスは48個あります。白黒同数ではありません。よって、10×10の正方形をI字型テトロミノで覆い尽くすことはできません。10×10の正方形を上手に白黒で塗り分けることにより、L字型テトロミノ、逆L字型テトロミノを織り混ぜても、10×10の正方形を覆いつくせないことを、簡単に示すことが出来ます。塗り分けかたを是非探してみて下さい。対角、赤緑が対角になるように配置してあります。一例は↑で、白×2+赤+緑、となっていますが、ペントミノをどのように置いたとしても、必ず、i)白黒のいずれか片方をふたつと、赤緑をひとつずつまたは、ii)赤緑のいずれか片方をふたつと、白黒をひとつずつ覆うように置くことになります。以下同様に、黒:bp、緑:gp、赤:rpを定義します。ペントミノが覆った白、黒、赤、緑のマス目のトータル数を、W,B,R,Gとおくと、W=2wp+rp+gpB=2bp+rp+gpG=2gp+wp+bpR=grp+wp+bpと、なります。(∵トータルのペントミノの数)です。同時に奇数になることはできない。与えられたペントミノを用いて、10×10のマス目を全て埋めることは不可能。囁きは色が塗れないのでやりづらい・・・s_hskz(^○^)ノ正解です。たっくん4さんの解と同系統ですし、私も最初にこう考えました。こちらの方向に考えるのは自然な成り行きなのかなあと考えてはおります。20:06jさんの方法はこれ?s_hskzI字型のほうの正解です。s_hskzが『ひねる』という形容をしていた解ですね。jさんのNo.5のI字型への解は、塗り分けを必要としません。最初に拝見したときにはカナリびっくりいたしました。20:15私が知っているのはこの方法です>>9は形が崩れてしまったので削除しました。