2015年度理系、第1問二次関数と軌跡の問題の解説オナラの風圧が強すぎて肛門が損傷したところで東京大学2015年度理系第1問、二次関数と軌跡の問題を解説したいと思います。[問題]正の実数aに対して、座標平面上で次の放物線を考える。C:y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)aが正の実数全体を動くとき、Cの通過する領域を図示せよ。[解答と解説]これはだから僕は独立変数と従属変数に分けて同値変形するです。世間では逆象法とか逆手流って呼ばれてるやつやな。この問題、多変数処理の問題でいい練習になるとこやな。y=ax^2+(1-4a^2)/(4a)a>0の式において、文字がx,y,aの三つやろ。これでCの通過する領域やから、aを消去してx,yを残したいねん。aを消去するって言うことは、aについて解くつまりイメージとしてa=(x,yの式)x,yの定義域って言う感じに同値変形をしたらええねん。x,yを独立変数にして、aをx,yの従属変数に持っていくわけやな。aについて解くって言うことは、更に言うとaについて整理したらええねん。4(x^2-1)a^2-4ya+1=0これは解いたとしたらa=[2y±√{4y^2-4(x^2-1)}]/{4(x^2-1)}ってなるやん。aについて整理するって言うのは、解くようなもんやねん。それでこれがa>0になるようなx,yの定義域を考えてあげると、x,yがその範囲を自由に動いてもaはこの式にx,yを入れると決まっていくわけやな。したらもうこれはあれやな。4(x^2-1)a^2-4ya+1=0がa>0で実数解を持てばええって言う、解の配置問題の論法に持っていったらええねん。f(a)=4(x^2-1)a^2-4ya+1と置いてa^2の係数が0か正負で場合わけしたらええねん。(i)x^2-1=0⇔x=±1のとき-4ya+1=0がa>0で解を持つにはy=0とすると、左辺=1、右辺=0で矛盾するからy≠0でa=1/(4y)やから1/(4y)>0つまりy>0になればいいですね。(ii)x^2-1>0⇔x<-1,1<xa>0で解を持つってだけの条件やと結構場合わけが必要やん。そこで定点通過する場合は、それを利用すると一気に場合分けが減るねん。この問題ではf(0)=1>0やなそしたら、a>0のところで2点を共有するまた接するのパターンしかないねんな。言うことで軸y/(2(x^2-1))>0頂点-y^2/(x^2-1)+1≦0(またはD≧0でもオッケー)を解いてy>0y^2≧x^2-1になります。(iii)x^2-1<0⇔-1<x<1のときこれはもうf(0)=1>0やから、すでにa>0で交わるねん。定点通過でめっちゃ楽なるな。後はこれをまとめて図をかいてくれ。かずスクールで数学を教えてます。詳しいプロフィールメッセージはこちらへメール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。一言メールくれれば相互リンクします。読者に受けが良かった記事を集めてたり、今までの記事をカテゴリー別にまとめてます。水と空気と街並とからだ中学時代からの親友てつろうのブログ。今年、滋賀医科に合格した医学生です。リンク集リンク集はこっちです。このブログは携帯でも見られます。Reserved.リサーチ。