クロネッカーのデルタ平面に付随するベクトル空間のノルムと内積について述べる。ベクトル空間のノルム平面に付随するベクトル空間V2のノルムはベクトルの長さとして自然に定義することができます。V2は平面上に二点P,Qをとって、a=[PQ]と表わすことができます。平面に付随するベクトル空間V2は次のノルムとしての性質を満たす。命題I-20「任意の三角形において、任意の二辺の和は、残りの辺より大きい。e2と座標表現することができます。e2=[QP]と表すことができ、三角形OPQは角OQPを直角とする直角三角形になります。正規直交座標系のノルム命題I-47「直角三角形において、直角に対する辺上の正方形は、直角を挟む辺上の正方形の和に等しい。ν2という非負の実数値関数となり、この関数もノルムの性質を満たします。[PQ]によって定義されていましたから、距離はノルムによって表わすことができます。平面上の二点P,Qの距離について、次が成り立つ。平面幾何においてはさまざまな状況で二つのベクトルの関係性について考えることが求められますが、内積はそのための計量技法の一つです。[OQ]と表すことができます。∠POQが直角であるか(命題I-47)、鈍角であるか(命題II-12)、鋭角であるか(命題II-13)の三つの場合に分け、次のようにピュタゴラスの定理における面積補正を行っています。θa⊗bを引くこの補正量が内積に他なりません。ここで、1.10節における余弦の定義を次のように拡張しておきます。-1これによりピュタゴラスの定理の拡張を次のように表現できます。θ=∠POQとおくと次が成り立つ。=01によって、二つのベクトルa,bが次のように座標表現されているとします。=λ2μ2このとき余弦定理は次のように表現されます。θに関して整理すると次の公式が導かれます。productを次のように定義する。u)と書くことができます。uを合成すると次のようになります。⋯〉と書くことにします。平面に付随するベクトル空間V2上の内積は双線形かつ対称、正値である。内積とノルム(I)平面上の任意のベクトルaについて、次が成り立つ。=a⊗aは一辺の長さがaであるような正方形の面積量であるから、これを正方化すればその一辺の長さaになる。内積とノルム(II)平面上の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。平面上の任意のベクトルa,bについて、次が成り立つ。平面に付随するベクトル空間V2上の正規直交座標系(O;e1,e2)について、次が成り立つ。