結び目に対して同じ値をとるものを不変量という。大量の結び目不変量が発見された。不変量はそれらの中で最強の不変量である。ループ展開の2ループの項を表示する2ループ多項式について筆者の最近の結果を述べる。predicate)とは単純型付ラムダ計算の部分モデルを型に関して再帰的に構成する方法である。metalanguage)に拡張することを考える。述語を計算する方法を与えなければならない。呼ばれる計算方法の意味論的な定式化について述べる予定である。白頭絡の補空間には実又曲構造が入ることが知られている。3次元又曲空間のある離散群による商が3次元球面か白頭絡を除いた物に同相と言う訳である。複素3次元カラビヤウ多様体のグロモフ・ウィッテン不変量に関してゴパクマール・ヴァッファ予想と呼ばれる予想がある。これは弦理論の考察によって導かれた。と2次のホモロジー類を添え字にもつような数の系列を定義する。この数はしばしばゴパクマール・ヴァッファ(GV)不変量と呼ばれる。予想の主張は次の2つに分けて考えることができる。大きいところではゼロになる。2.GV不変量はカラビヤウ多様体にコンパクト化したM理論のBPS状態の数に等しい。(数学的定式化は細野-齋藤-高橋によるものがある。カラビヤウ多様体がトーリック多様体の場合にはグロモフ・ウィッテン不変量の生成関数を具体的に書くことが可能になった。生成関数は(変数を特殊化した)対称関数をトーリック扇の形にしたがって組み合わせることで得られる。この生成関数を用いるとGV予想の主張1を組み合わせ論的に証明することができる。主張1の証明を紹介したい。代数的なモジュライをなします。幾何学的不変式論によって構成されます。Giesekerによるものがあります。曲線の退化によって解くために、階数2の場合に考えました。一般階数の場合に構成されました。