代数的トポロジー、微分トポロジーの勃興期に重要な役割を果たした。Riemann-Roch-Hirzebruchの定理の証明に用いられた。PT構成は、(co)homotopy論における一種の双対性として理解することもできる。PT構成は、最も基本的な場合には、球面のホモトピー群と枠付き同境群との間の同型を与える。2個の要素が存在することがわかる。PT構成に現れる同境群を、二つの方向に少し拡張することができる。多様体が特異性をもつ場合にも、同境群の要素と考えることができる。ここで特異性としては滑らかな写像の零点集合のもつ特異性を考える。局所係数付の枠付き同境群。与えられたベクトル束の制限との安定同型によって与えられる。これらの拡張は群作用がある場合にPT構成を考察するために必要となる。適当な条件のもとでPT構成を考えることができる。同境群の要素にあたる対象のほうが、直接扱いやすい。このようなPT構成によって理解できることを説明したい。上記2方向に拡張して定式化したものである。Donaldson理論における類似の試みについても、ひとこと言及したい。代数幾何学における類似物である。高次の絡み数、Massey積を導入した。Legendre記号のMilnor-Massey版も知られている(Redei-筆者)。symbolの高次化(多重化)のMilnor-Masseyタイプの構成を与える。作用素のスペクトルの性質を考察する。評価が成立することを示す。散乱理論においても重要な役割を果たす評価である。その系の荷電粒子の個数は複数である。その辺りの事情をこの講演で見ていきたいと考えている。W代数と呼ばれる頂点代数になります。Virasoro代数の一般化ととも捉えることができます。それを保証するのが1992年のFrenkel-Kac-Wakimoto予想でありました。この興味深い頂点代数の表現論を中心にお話しする予定です。これまでに多くの研究が従順離散群に対してなされてきた。バウム・コンヌ予想や群フォン・ノイマン環の分類などの重要な問題が既に解決している。従順でない多くの離散群が従順な境界作用を持つことを示せる。従順作用の概説とそのバウム・コンヌ予想や群フォン・ノイマン環の分類に対する応用を述べる。次の二つの点に絞ってお話ししようと思います。共同研究で現在進行中である理論の方からお話しします。