アホの順の密度で記事が構成されます。JavaScriptっぽい。地球上にロープを一周させたあと、地球の半径が1メートル大きくなっても、ロープは、予想に反して、6メートル(2πメートル)しか伸びない。ロープの長さの変化は、元の大きさに依存せず、空き缶でも太陽でも一定である。これを考えていた大学時代の同期が、次のようなことを言いました。「元の大きさどころか、その形状にも依存せず、1メートル引き上げたとき、ロープの変化は、2πなんじゃないか。確かに、正四角形に一周しているロープを想像してみると、ロープは引き上げ方によっては、角に四分の一円を4つ作ります。な〜んとなく正ほにゃらら角形では、うまく行きそうですが、その角の部分の定式化が可能なのかが、怪しいですってな話を、腹囲と腹の厚み、でしました。この記事では、次のアプローチでこれを考えます。ある図形があるとき、その上で球をゴロゴロころがし、その球の中心の軌跡がどうなるかを求め、そして、ゴロゴロころがった距離は、いくらかを求めます。これで、任意の曲線に対し、ロープを引き上げたときの曲線の方程式と、そのロープの長さが分かるはずです。記事の最後に楕円図形で例題を出しています。※これ以降、いきなり内容が難しくなるので、数学恐怖症の人は、読まないで下さい。用いて、次のように表現されるものとする。関係について、ベクトルを用いれば、次のように表すことができる。以下に示す関係がある。・・・(2)よって、この接線の傾きをもつベクトルの一つは、以下である。・・・(3)さらに、(3)のベクトルに垂直なベクトルの一つは、「直交するベクトル同士の内積は0」の関係を用いれば、以下となる。長さ、について考える。ついて、以下が成り立つ。・・・(10)ここから、(10)を求めるため、ひたすら、(8)を計算する。用いて以下のように表されるxy平面上の楕円がある。軌跡の長さの差を求めよ。※複合同順となり、円が楕円に外接するためには、符号は+をとれば良いことが分かる。したときの4倍の値である。よって、(最後の極限操作は、かなり怪しいですが、)結果を見る限り、Rは、ロープの引き上げ量ですから、楕円については、2π説が成り立つことが分かります。つぶやき:・久し振りに飯も食わずに、24時間ぶっ通しで、数学やった。途中で異常な頭痛に襲われた(コワス・一般的に楕円の弧長が求められないことを知った。積分範囲が間違っていたのを修正。でかさは関係ないんだね。直感はたよりにならんというのもわかった。最後の式を見る限り、大きさではなく、離心率(aとbの比)に依存している模様。差だけど、精々4πが上限と思われる。読み返してたら、積分区間にもの凄い間違いがあることに気付いた;一旦忘れてください。積分区間を見直し、記事を修正しました。楕円で、2π説が成立した!コメントするname:email:url:comments:Cookieに登録トラックバックこの記事のトラックバックURLトラックバック機能は終了しました。