この面積は先ほどの長方形たちによって完全に覆われるから、長方形の面積の合計も同様に無限大となる。{dx}{x}}=\ln(k+1)}が示されたということになる。このような手法を一般に積分判定法という。これは部分和が対数的増加(英語版)であることによる。_{k}}が成り立つ。この結果はオイラーによる。これは以下の性質を持つ。相異なる番号の調和数同士の差は決して整数にはならない。除いてどの調和数も整数でない。関連のある級数Edit交代調和級数Edit交代調和級数の最初の14個の部分和(黒線分)。自然対数(赤線)に近づく様子が見られる。この級数の収束性はライプニッツの収束判定法からわかる。