space)とは、ベクトル空間の構造(線型演算)とその構造に両立する位相構造を持ったもののことである。位相体であり、ベクトルの加法やスカラー倍などの演算が連続写像になっていることが要請される。線型位相空間においては、通常のベクトル空間におけるような代数的な操作に加えて、興味のあるベクトルを他のベクトルで近似することが可能になり、関数解析学における基本的な枠組みが与えられる。ベクトル空間の代数的な構造はその次元のみによって完全に分類されるが、特に無限次元のベクトル空間に対してその上に考えられる位相には様々なものがある。有限次元の実・複素ベクトル空間上の、意義のある位相はそれぞれの空間に対して一意的に決まってしまうことから、この多様性は無限次元に特徴的なものといえる。線型空間としてのベクトル和とスカラー積が連続写像になっているものは線型位相空間とよばれる。rv}が2変数の写像として連続になっている。K-線型空間などと呼ぶこともある。ある線型位相空間を複素線型位相空間という。名称Edit線型位相空間には下にあげるように様々な呼び方がある。space)が用いられている。ソボレフ空間などがあげられる。operator)とよばれる。K(y,x)f(x)dx}はしばしば有界作用素と見なすことができる。様々な位相をもち、そのうちいくつかは位相環の構造を与えている。不連続な線型写像Edit連続線型写像が基本的な写像のクラスを与える一方で、非有界作用素とよばれる、稠密な部分線型空間上で定義された、連続とは限らない線型写像の考察もしばしば問題になる。扱いやすい非有界作用素のクラスに閉作用素がある。上、微分可能な関数からなる部分空間で定義された微分写像が挙げられる。自身への連続線型写像は連続線型汎関数あるいは単に汎関数(はんかんすう、functional)とよばれる。(連続的)双対空間とよばれる。部分線型空間になっている。このノルムに関して完備になる)。異なったものになる(双対をとった方が大きい)。reflexive)であるといわれる。回帰的な空間の例としてヒルベルト空間が挙げられる。f}として定められる。これは双対空間上の妥当な位相に関して連続になる。上で始めに考えていた位相は弱位相との区別のために強位相ともよばれる。弱位相の定義から、強位相は弱位相よりも細かい位相になる。この例に見られるように、無限次元の空間ではしばしば強位相と弱位相は異なったものになる。定まる弱位相とよばれる。元によって定められる汎関数に限られている。*-位相ともよばれる。|_{F}=0\}}によって定められる。[0,1]\}}を含むようなものは凸集合とよばれる。