約1/59この結果を見ると、流し満貫を狙うなら西家または北家の時の方が断然お得ですね。上の計算式を応用すると、2人同時成立の確率なども求められます。約1/23兆となります。3人成立は、東家+西家+北家、南家+西家+北家のどちらかで、この場合3人で全ての幺九牌を捨てることになります。4人は幺九牌が足りないのであり得ません。全員が毎回流し満貫を狙うと、半荘2回に1回近く出ると考えると、結構確率が高いですね。ちなみに、3人成立だけは(84!×52!×31!×30!2×2)÷(136!×18!×17!2×13!3)という簡単な式(爆)で表せます。真似満の確率[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。鳴き、和了はないものとします。誰か特定の1人の真似をするものとします。真似される人は、ランダムに捨て牌を行うものとします。[計算式]単純な式であらわすことは出来ません。計算過程を説明するにしても複雑過ぎるので、省略します。[計算結果]真似出来る枚数と確率の関係は次のようになります。1/4300000※備考欄の値は概数です。真似満を役として採用するなら、4〜5枚程度が妥当なところでしょうね。1色の数牌14枚が和了形である確率[解説]1色の数牌すなわち1〜9の牌4枚ずつ計36枚から適当に14枚取った時に、それが和了形となっている確率です。局の最初から清一色に走って、1色の数牌が14枚たまった時に和っている確率とも言えます。[計算式]1色の数牌14枚の全パターン数は、重複分を含めて(つまり同じ牌4枚を1枚1枚区別して)考えると36C14となります。重複分を含めない場合のパターン数は「配牌の形は何通りあるか」で使用した計算式で計算出来ます(ただし、k=a=t=0のような場合を除外しなければなりませんので、少し注意が必要です)が、和了形を数えるついでに全パターン数も数えることにします。四暗刻や七対子のような特別な和了形は、簡単な計算式で表せます。約1/380和了形の確率が11.7%というのは、思ったより高い確率ですね。四暗刻のパターン数が七対子のパターン数の17.5倍もあるのに、確率では七対子の方が10倍以上高いというのも面白いですね。天和の確率[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。通常聴牌と認められない形の特殊役はないものとします。[計算方法]簡単な計算式では表せません。細かく場合分けをすれば計算出来ないことはありませんが、プログラムで数えて計算した方がはるかに楽です。単純に全部の牌の組合せについて和了形であるかどうかを判断するのは、天文学的な時間がかかってしまい無理ですので、次のような手順で計算します。枚数は、0枚、2枚、3枚、5枚、6枚、8枚、9枚、11枚、12枚、14枚のうちのいずれかです。字牌及び数牌のそれぞれについて、上記の枚数毎に(n個の面子+最大1個の雀頭)となっている組合せの数を調べます。この時、全ての牌が対子となっている組合せ数も数えておきます。4種類の牌の合計が14枚になる全ての組合せについて、組合せ数を調べます。雀頭は1つに限りますので、字牌5枚、萬子5枚・筒子2枚・索子2枚のような組合せは数えないようにします。上記の結果から、七対子形となっていたものを除きます。七対子の和了形の組合せ数を計算します。七対子の和了形のパターン数は34C7通り組合せ数は34C7×67通りです。国士無双の和了形の組合せ数を計算します。国士無双の和了形のパターン数は13通り組合せ数は13×6×412通りです。(4)〜(6)の合計を総組合せ数で割ることにより、確率が計算出来ます。総組合せ数は136C14通りです。プログラム上は、大して時間もかかりませんので、プログラムが正常に動いていることの確認も兼ねて、(1)〜(3)と同様にして総組合せ数を求めています。この場合は、字牌と数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚全てについての組合せ数を調べて、4種類の牌の合計が14枚になる全組合せについて組合せ数を計算しています。[計算結果]まず、(2)の結果は次のようになります。5038848上記の表の値を使用して計算した結果が、次の通りです。(約1/330530)となります。「配牌の形は何通りあるか」で算出した値と一致していますので、双方のプログラムの計算結果が正しいことの確認にもなっています。異なっていますが、これは七対子の扱いの違いによるものです。親の第1捨て牌を誰かがポン出来る確率[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。親の第1捨て牌は単独牌とします。最初から対子落としや暗刻落としは行わないものとします。親は第1捨て牌前に暗槓をしないものとします。親の第1捨て牌で子の栄和となる確率は除外して考えます。「ポン出来る確率」は、「親の第1捨て牌と同じ牌を2枚持っている確率」とします。3枚持っている場合は除外します。[計算式]計算には、次の式を使用します。【一般形】あるものがn個あり、そのうち特定の条件を満たすものがr個であるものとします。いま、n個のものの中から任意のm個をとった場合、そのm個の中に条件を満たすもの(全部でr個あるもの)がk個入っている確率は、(rCk×n-rCm-k)÷nCmという式で表せます。前提条件により、親が第1捨て牌を行った後、親の手牌の中には第1捨て牌と同じ牌はありません。従って、残る3枚の牌は136-14=122枚の中にあります。最初に、特定の子について考えます。k=2ですので、(3C2×122-3C13-2)÷122C13により確率が計算できます。子は3人いますが、2枚持っている人が2人以上いることはないので、上式の結果を単純に3倍したものが求める確率となります。(約1/344)となります。四風子連打の確率[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。親あるいは子が最初に単独の風牌を持っていても、それを捨てる確率は計算出来ませんので、3人の子全員が親の第1捨て牌と同じ牌を捨てることが出来る確率(=配牌+第1自摸の中に親の第1捨て牌と同じ牌がある確率)を計算します。親の第1捨て牌(風牌)は単独牌とします。最初から対子落としや暗刻落としは行わないものとします。1巡の間、鳴きや和了はないものとします。[計算式]計算には、「親の第1捨て牌を誰かがポン出来る確率」で使った計算式を用います。前提条件により、親が第1捨て牌を行った後、親の手牌の中には第1捨て牌と同じ牌はありません。従って、残る3枚の牌は136-14=122枚の中にあります。この3枚が3枚とも子の配牌+第1自摸(14×3=42枚)の中にある確率を、次の式によって計算します。(3C3×122-3C42-3)÷122C42そして、それぞれの子が持っている枚数別の確率を、次の式を元に計算します。(3Cn×42-3C14-n)÷42C14最後に、最初に求めた確率と子が1枚ずつ持っている確率を掛ければ、結果が得られます。(約1/108)となります。親が不用意に風牌を捨てたとしても、子が四風子連打で流せる確率はとても低いので、あまり気にすることはないでしょう。十三不搭の確率[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。子の十三不搭の場合は、それ以前に鳴きや和了がないものとします。[計算方法]簡単な計算式では表せません。場合分けをすれば手計算でも算出出来ますが、天和の確率を求めるプログラムを少し手直しするだけで計算出来ますので、プログラムで数えて計算することにします。基本的な手順は天和の場合と同じです。具体的な手順は、次の通りです。最初に、雀頭の1枚を除いた13枚がバラバラである組合せ数を計算します。字牌と数牌のそれぞれについて、十三不搭を構成出来る各枚数毎の組合せの数を求めます。プログラム上は、天和の場合と同様に字牌、数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚の場合全てについて数えていますが、実際は字牌は4枚〜7枚、数牌は0枚〜3枚の場合しかあり得ません。数える時に、国士無双の聴牌形を除外するために、全部が幺九牌の組合せも数えておきます。字牌と数牌のそれぞれの組合せ数を数えた後、3種類の牌の合計が13枚になる全ての組合せについて、組合せ数を調べます。上記の結果から、国士無双の聴牌形となっていたものを除きます。国士無双の聴牌形は、13枚の牌が全て異なる場合の1通りだけですので、重複を考えた組合せ数は413となります。雀頭を追加した場合の組合せ数を計算します。重複を考えた組合せ数は13×4C2÷4C1倍=19.5倍すれば計算できます。(7)の結果を総組合せ数で割ることにより、確率が計算できます。総組合せ数は、天和の時と同様、136C14通りです。[計算結果]まず、(3)〜(4)の結果は次のようになります。0上記の表の値を使用して計算した結果が、次の通りです。全組合せのパターン数及び組合せ数は、「天和の確率」で算出した値です。(約1/10837)となります。1色の数牌13枚が聴牌形である確率[解説]1色の数牌すなわち1〜9の牌4枚ずつ計36枚から適当に13枚取った時に、それが聴牌形となっている確率です。局の最初から清一色に走って、1色の数牌が13枚たまった時に聴牌している確率とも言えます。[計算方法]1色の数牌13枚のパターン数と重複分を含めた総組合せ数は、「天和の確率」の【数牌】の表にある93600と2310789600です。聴牌形のパターン数は、「1色の数牌14枚が和了形である確率」で調べた13277通りの和了形パターンを使って以下のように計算します。13277通りの和了形パターンそれぞれについて、牌を1枚ずつ取り除いて聴牌形を作り、重複するパターンを削除します。(1)で得られた全てのパターンについて、重複分を乗じて合計し、総組合せ数を計算します。(2)の結果を全パターンの総組合せ数で割ることにより、確率が計算出来ます。約1/214枚の時に和了形の確率が約1/9であったことも予想外でしたが、13枚の場合は約半分が聴牌形というのも驚きですね。[参考]「1色の数牌14枚が和了形である確率」と「1色の数牌13枚が聴牌形である確率」に関連して、1色の数牌が13枚または14枚の場合の向聴数別のパターン数を調べましたので、以下にまとめます。三向聴以上となることはありません。二向聴もめったにありません。13枚で二向聴の時、同種の牌を1枚自摸って不要牌を切れば、必ず一向聴になります。1巡目で清一色聴牌の確率[解説]親の場合は14枚の配牌、子の場合は第1自摸を加えた14枚から1枚切って清一色聴牌となる確率です。子の場合は、第1自摸より前に鳴き・和了がないことが前提条件です。最初の14枚で和っている場合は含めないことにします。[計算式]今までに計算済みの値を利用して、場合分けをすることにより計算出来ます。切る牌が同一種類の牌の場合と異なる種類の牌の場合に分けて考えます。同一種類の場合は、「1色の数牌13枚が聴牌形である確率」の[参考]の、【14枚の場合】の「1枚切って聴牌」の総組合せ数(3052344932)となります。異なる種類の場合は、同【13枚の場合】の「聴牌形」の総組合せ数(1122505864)に他種の牌(25種×4枚)を1枚追加した組合せ数を計算します。(2)と(3)の合計を14枚の牌の総組合せ数(136C14)で割り、それを3倍(数牌の種類)すれば求める確率となります。(約1/1229万)この確率は聴牌だけの確率で、和れない確率も含んでいるわけですが、それでも天和の約37倍珍しいということになりますね。配牌における聴牌確率及び平均向聴数[解説]配牌で聴牌している確率、一向聴の確率、二向聴の確率、...と、その確率から算出出来る平均向聴数の計算です。親の場合は、上記に加えて「和了形の確率」がありますが、これは天和の確率と同じです。[計算方法]簡単な計算式で計算するというわけにはいきません。天和の確率の計算と同様の方法で計算します。字牌及び数牌のそれぞれについて、0枚〜14枚の各枚数毎の全てのパターンについて、向聴数の計算の元となるパラメータを調べ、パラメータ毎に分類します。向聴数の計算の元となるパラメータは、一般形のための「牌をあと何枚追加すれば(雀頭+)N個の面子になるか」と、七対子のための「対子(以上)の数及び単独牌の数」、そして国士無双のための「幺九牌の種類の数及び雀頭となる幺九牌があるかどうかのフラグ」です。上記の分類毎に、パターン数及び総組合せ数を求めておきます。4種類の牌の合計が13枚または14枚となる全ての組合せについて、組合せ数及び向聴数を求め、向聴数毎に集計します。(4)で求めた結果を総組合せ数の合計(136C13または136C14)で割ることにより、それぞれの確率が計算出来ます。向聴数を乗じて合計したものを総組合せ数の合計で割れば、平均向聴数となります。平均向聴数を求めるにあたって、「聴牌形」は「0向聴」とみなすのが合理的ですが、14枚の場合の「和了形」は扱いに困りますので、(分母からも)除外して考えることにします。実際は和了形の割合が極めて小さいので、もし「和了形」を「0向聴」や「-1向聴」とみなして計算したとしても、値は小数第4位まで変わりません。向聴数で、一般形(雀頭+4面子)以外を除外して考えることもありますので、一般形のみの場合についても計算しました。総組合せ数=136C13※平均向聴数=1731757846767061316÷483774556165488000=約3.580※確率欄の値は概数です。総組合せ数=136C14※平均向聴数=13413711220546219200÷4250292170090008326=約3.156※確率欄の値は概数です。100%※平均向聴数=1831476779756155204÷483774556165488000=約3.786※確率欄の値は概数です。100%※平均向聴数=14092221711682799808÷4250293676040074502=約3.316※確率欄の値は概数です。配牌における聴牌確率及び平均向聴数」の三人麻雀版です。親の場合の「和了形の確率」がそのまま天和の確率となっています。[前提条件]牌は、四人麻雀で使用する通常の34種類から2萬〜8萬を除いた27種類×4枚=108枚とします。三人麻雀の場合は特有のルールが付加されることが多いようですが、いろいろなルールの場合について計算しているときりがありませんので、ここでは確率計算に影響するローカルルールは一切ないものとして計算します。[計算方法]四人麻雀の場合と同様、簡単な計算式で計算するというわけにはいきません。配牌における聴牌確率及び平均向聴数」と同様ですので、ここでは省略します。総組合せ数=108C13※平均向聴数=69892859321960160÷20592957740312160=約3.394※確率欄の値は概数です。総組合せ数=108C14※平均向聴数=413466081838216752÷139736605636149152=約2.959※確率欄の値は概数です。絶対に和れない確率[解説]流局した時、自分の手牌と捨て牌からどの14枚を選んでも和了形にならない確率です。14枚で和了形にならない場合でも、13枚を選んで聴牌形になれば栄和出来る可能性があったことになりますが、栄和は計算出来ませんので除外します。「どう摸打しても門前清自摸和では和れない確率」ということになります。[前提条件]牌は通常の34種類×4枚=136枚とします。計算に影響する特殊な牌(花牌・白ポッチなど)は含まないものとします。誰も鳴かないものとします。配牌における聴牌確率及び平均向聴数」と同じです。東家と南家は流局時の捨て牌が18枚ですので手牌と合わせて31枚、西家と北家は流局時の捨て牌が17枚ですので手牌と合わせて30枚となります。配牌における聴牌確率及び平均向聴数」では「13枚」または「14枚」の場合を計算しましたが、これを「30枚」または「31枚」に変えるだけで計算出来ます。枚数の増加に対して組合せ数は指数関数的に増加するため、素直に枚数を増やすだけでは計算に膨大な時間がかかりますので、ある程度の工夫が必要となります。[計算結果]「和れない確率」は30枚及び31枚の場合だけ計算すれば良いのですが、途中及びそれ以上の枚数に対する和了形比率の変化も見るため、13枚〜38枚について計算しました。−※平均向聴数の計算において、和了形の組合せ数は除外しています。※38枚以上で和了形確率100%となります。136枚から任意の38枚を取ると、その中に必ず和了形が含まれているということです。※表内の値は概数です。上表からわかるように、31枚の和了形比率は97.7%ですから、東家及び南家が「絶対に和れない確率」は2.3%、同様に西家及び北家は5.9%となります。上表の「和了形比率」の数値を「うまい人ならこの確率で和れる」と勘違いしないようにして下さい。これはあくまでも全部の牌が明らかになった結果の確率、言い換えれば「透視能力があって自摸予定牌が全部わかっている場合に和れる確率」です(従って、現実に役立つ数値ではありません)。参考までに、「(鳴きがない場合に)絶対に聴牌出来ない確率」は、東家及び南家では1/7239、西家及び北家では1/855となります。