係数となるような多項式を考えてみます。(通常型)母関数(ぼかんすう)と言います。通常型以外にも色々ありまして、その内、今回の記事で出てくる予定なのは指数型母関数です。ここで、無限の長さを持つ数列の(通常型)母関数について考えてみることにします。ちなみに、無限に続く多項式は、べき級数と言います。数学では、無限を考えると慎重にならないといけません。有限で成り立つと思われる当然のことが、無限では成り立たなくても不思議ではないです。この記事はそんなことを思いっきり無視するので数学的厳密性がガバガバです。有限数列で考えた(通常型)母関数があったのですから、無限数列にも(通常型)母関数という概念を導入しようと考えるとき、その(通常型)母関数は無限の長さのべき級数になります。実はこれは、加減乗除において、普通の有限の長さのべき級数とも同じ扱いができる!ので、このような母関数の書き方をひとまず認めて、それに名前を与えます。その名前こそが、「形式的べき級数」です。対して定めた(通常型)母関数です。形式的べき級数と数え上げの関連性を解き明かします。形式的べき級数での表現方法のルールは、表現したいものが増えるにつれて、どんどんその都度追加します。1のマスですが、今回はイレギュラーということもあり割愛します。個の箱に対して、それぞれ入れるor入れないをするときの場合の数です。これを形式的べき級数から導いてみます。次の式ついて着目してください。これを、このように意味付けします。1つの箱についての操作は、玉を1ついれるかいれないかの二択である。x^i]にかかる係数とする。回行う、つまり掛け合わせると上の式になる。いくつか集めた和とする。あることは、二項定理で展開することで正しいことが把握できますね。個の箱に対して、それぞれ任意にいれたときの場合の数です。これは、先ほどの考え方と似てます。乗することになってました。乗すると考えられます。いくつか集めた和とする。その結果、ユニットごとに形式的べき級数となってもよい。具体的な計算方法は、重複組み合わせとみなせばいいです。(投げやり)次のページの「分割数と形式的べき級数」の章の最後らへんに書かれてます。個の箱に対して、それぞれ任意にいれたときの場合の数です。次回このように、玉を区別するとどう書けばいいのでしょう?ヒントは、「同じものを含む順列」です。この問題では、次のように考えます。個選ぶ...ということは、上の式のように重複組み合わせと考えられる。