ある学力テストのAさんとBさんの結果から、二人の学力を評価してみましょう。Aさんの結果は90点、Bさんは60点でした。どちらがよくできたでしょう?新太郎くんそれはAさんじゃないですか。明らかに点数が上ですから。同じテストとはひと言も言ってないわ。違うテストならば基準を揃えることが重要ね。基準を揃えてみましょう。Aさんは100点中45点、Bさんは100点中60点だとしたら?新太郎くんBさんのほうが良い成績のような気がしますが...。(またひっかけかも...)違うテストならば難しさが違うかも。素の値で評価しても、テストの難しさが考慮されないわ。平均点を明示してみましょう。Aさん:100点満点中45点(平均40点)Bさん:100点満点中60点(平均70点)新太郎くんなるほど。今度はAさんのほうが平均を上回っているから良い成績のように見えますね。基準を揃えて、平均からの差で評価することが大切なんですね。実はもう一つだけ考えなくてはならない要素があるの。次のような場合、AさんとBさんどちらの成績が良いかしら?Aさん:100点満点中70点(平均60点)Bさん:100点満点中70点(平均60点)新太郎くんAさん、Bさんとも平均+10点だから、同じではないでしょうか?計子先生どちらも同じに見えるわよね?でもさっき言ったとおり、もう一つ考慮しなくてはならない要素があるわ。それが「ばらつき」よ。ばらつきが違う中で、平均からの差を単純に求めてもうまくいかないわ。ばらつきを加味して判定することが重要ね。解説【3-1】Aさんが受けたテストはばらつきが小さい。Bさんが受けたテストはばらつきが大きい。くんさきほど説明いただいた「ばらつき」ですが、ばらつきの大小をどうやって評価するんでしょうか?計子先生まず、この表を見て。この表の中でそれぞれのデータ(一人一人の点数)が平均から大きくずれていれば「ばらつきが大きい」、平均の近くに収まっていれば「ばらつきが小さい」となるわね。73-60=13新太郎くんなるほど、一人一人の点数の平均からのずれを足し合わせればいいんですね!計子先生では、実際に計算してみて。新太郎くんの考え方で基本的には良いのですが、実は「個々のデータの平均からのずれ」は、どんな場合でも単純に足し算するとプラスマイナスで相殺されて必ずゼロになってしまうのよ。新太郎くんそうか...。絶対値をとるか、2乗すればどうでしょう?計子先生そのとおり!ただ、絶対値だと後でさまざまな計算をするのが厄介になるわね。プラスの値とマイナスの値が混在していて、間違えないように後から元の値に戻すのは大変でしょ?だから、「個々のデータの平均からのズレ」を2乗して足し算するのが一般的なのよ。データ数が多くなるほど足し算の値は大きくなってしまうので、足し算の合計をデータ数(テストを受けた人数)で割るの。この値がばらつきの指標「分散(Variance)」よ。分散=400÷16=25計子先生そうね。ここでまたもう一つちょっとした問題が出てくるの。平均点の単位は「点」。ここでは「60点」よね。分散の単位はどうかしら?新太郎くんうーん、「25点2」でしょうか?なんか違和感ありますね。単位が違うと少し扱いづらくなるので、「点2」を「点」に戻す必要があるのよ。元に戻すために平方根をとるの。deviation)」よ。記号は分散はσ2、標準偏差がσ(シグマ)、平均はμ(ミュー)で表すことが多いのよ。分散はσ2、標準偏差がσ(シグマ)、平均はμ(ミュー)で表すことが多い。計子先生では、ばらつきの評価の話に戻るけど、ばらつきが大きいと分散や標準偏差の値はどうなるかしら?新太郎くん平均からのズレを測っていますから、ばらつきが大きいと分散や標準偏差も大きくなりますよね?計子先生そうね。分散も標準偏差も「分散が5以上ならばらつきが大きい、5未満なら小さい」などの明確な基準はないの。「中間テストの標準偏差が10。期末テストの標準偏差は5。中間テストのほうがばらつきが大きい」、という相対的な評価になるのよ。さっきの例にもどりましょう。分散や標準偏差が大きいのはどちらのテストでしょうか?Aさんが受けたテストはばらつきが小さい。Bさんが受けたテストはばらつきが大きい。新太郎くんばらつきが大きい、Bさんのテストのほうです。計子先生そういうことね。AさんもBさんも「平均から何点離れている?」と考えると、どちらも同じ「平均点+10点」となってしまうので、「平均から何σ(標準偏差)離れているか?」をものさしにして評価するのよ。「Bさんの点数は平均から(イ)σ離れている」(ウ)のほうが良くできた新太郎くん(ア)2、(イ)は1、(ウ)はAさん!ですね。正しい比較とは...基準を揃えて素の値でなく平均値との差をとってそのままの差ではなく、「標準偏差でいくつ分離れているか?」を評価する。きれいな分布とは?計子先生さっきのAさんのテストの点数、平均+2σだったわよね。惜しい!実は上位2〜3%程度に入っているのよ。新太郎くんテストを受けた人数もわからないのに...それ、どうやって計算するんですか?計子先生この計算をする際に必要な前提条件があるのよ。それは、得点の分布が絵で示したような、「きれいな」分布になっていることが条件なのよ。解説【3-4】きれいな分布1のように山が1つだけで、左右同じように裾が伸びている。これは数学的にはさらに色々条件がつくが、正規分布という。統計の授業では、必ず出てくる言葉よ。点数とその頻度をプロットしてみたら、正規分布に近いグラフができた...ことを「点数はほぼ正規分布に従う」(ノート1)とも表現するのよ。新太郎くん「従う」って、ちょっと不思議な表現ですね。この正規分布と標準偏差と、どんな関係があるんでしょう?計子先生データが正規分布に近いときには、「平均から標準偏差(σ)でいくつ分離れているか」で、だいたいの順位を計算できるのよ。Aさんの平均+2σは「上位何%にあるか?」を考えたわよね。これを絵で示すと下記のようになるわ。ある点からの右側の面積が、全体の何%になるか考えればいいわけ。新太郎くんプラス2σ以上の面積を計算するんですね。特別な正規分布について、「上位何%?」を簡単に計算できる表があるのよ!ノート2を見てみましょうか。この表の使い方を教えるわね。表の縦方向は1の位と小数第1位、横方向は小数第2位を表しているの。プラス2σ、すなわち2.00σのところの値はいくつ?新太郎くん縦方向が2.0の行と、横方向が0.00の列がクロスするところですね。この0.9772は、「2.00以下の部分(図の左側の色つきの部分)は、全体の97.72%」ということを示しているの。新太郎くん2.00以下が97.72%...。いうことは、2.00以上は100-97.72=2.28%ですね!計子先生そのとおり!だから、平均+2σの人は上位2.3%程度に入っている、ということになります。」は同じ面積になるのよ。「平均+2σ」の割合と、「平均-2σ」の割合は、全く同じ2.3%になるのよ。新太郎くんところで、この表(ノート2)で見ると、1や2の数字しか載っていないですが、「標準偏差(σ)をものさしにして測る」のσはどこに行ってしまったんでしょうか?計子先生さっき言ったことを思い出してみて。「特別な正規分布」と言ったけど、この数表の元になっている正規分布は、平均がゼロ、標準偏差(σ)が1の正規分布なのよ。2.00のときは2σ、1.50のときは1.5σ...と考えて問題ないわ。ちなみに、平均ゼロ、標準偏差1の正規分布を「標準正規分布」と呼ぶのよ。最後にくどいけど、大事だから念押ししておくことが一つあるわ。標準偏差と数表を使って「上位●%以内」の議論ができるのは、散らばり方のグラフが正規分布に近いときだけよ。あまりにも違うグラフになったら意味をもたなくなるから注意してね。元々のデータが正規分布に近いときのみ、数表の値によって全体の順位を評価できる。ノート1身長やテストの点数などを含め、自然界にあるデータで正規分布でちらばるものは多い。.9999997表の数値をkとおくと、kは「aσ以下の数値をとる確率Q(aσ)」に等しいKK-16-10-16156インデックスへ戻るアクセスランキング各領域でもっともアクセス数の多いコンテンツをご紹介します。がん・血液ジーラスタ投与ガイドブック免疫・アレルギーFOCUS-乾癬治療の地域連携の試み-中枢神経てんかん診療Q&Aおすすめ情報{{list.title}}おすすめ情報は、協和キリンのウェブサイトにおける個人情報の取扱い方針に基づき、お客様が閲覧したページのアクセス情報を取得し、一定の条件に基づき自動的に表示しています。そのため、現在ご覧いただいているページの情報との関連性を示唆するものではございません。提唱するくすり相談窓口の役割・使命に則り、くすりの適正使用情報をご提供しています。弊社医薬品に関するお問い合わせは、下記の電話窓口で承っております。9:00~17:30(土・日・祝日および弊社休日を除く)※お電話の内容を正確に承るため、また、対応品質の維持・向上等のため通話を録音させていただいております。