bun_1$を考える。n_2$の公倍数であると考えられる。n_1n_2$である。n_1n_2$と書ける。n_1n_2$は上の連立剰余方程式を満たす。解が一意的であることを示す。n_1n_2$が成り立つ。y$は$n_1n_2$を法として合同である。y$は一意的に定まる。これは、補助定理と呼ばれる定理で、これを一般化することで中国人剰余定理が得られる。n_i$の範囲に一意的に存在する。Gaussによる証明がわかりやすい。簡略化した証明を示す。\frac{M}{n_i}$とする。n_i$となるような$u_i$を探すことができる。n_i$を計算することで、解$x$を求められる。一意性については補助定理とほぼ同じなので省略する。n_k$はどの2つをとっても互いに素という条件があった。この条件は実は外すことができる。実際には任意の$k$について同様のことが言える。