バックアップTweet追加された行はこの色です。削除された行はこの色です。[#c521db29]-自然数全体は、[[数直線]]上にポツポツと離散しているが、規則正しく等間隔に並んでいる。-自然数に関する定理や公式を証明するとき、自然数の持つこの特徴を活かした[[数学的帰納法]]が有効である場合がある。自然数の全体{1,2,...}は数直線に離散的に並んでいるが、この自然数の中から任意に有限個または無限個の元を選んで集合Aを作ると、Aには必ず最小数mが存在する。#divid(s,thorem)[定理]自然数の整列性~自然数の、空でない任意の集合Aには最小数が存在する。これは自然数の集合が持つ'''著しい'''特徴である。有理数の集合Q、整数の集合Z、実数の集合Rにはこのような特徴を持っていない。#divid(s,notice)[例]A={x|x∈R∧0<x<1}とおいた場合、Aは開区間(0,1)と一致する。(0,1)は下限0、上限1を持つが、最小数は持たない。どのような小さい正数を取っても、それよりさらに小さい正数が存在するからである。[#z2a98c18]-[[最小公倍数]]--2つの自然数a,bに共通な倍数の中で、正で最小な値をa,bの最小公倍数という。この最小公倍数の存在は、自然数の整列性によって保証される。-[[最小多項式]]--複素数αを根とする多項式f(x)の中で、最高次の係数が1の既約多項式で、次数が最小のものをαの最小多項式という。この大正多項式は、自然数の整列性によって保証される。この自然数の整列と[[数学的帰納法]]の原理は同値である。原理#divid(e,thorem)#divid(s,proof)[証明][1]←を示すNの空でない部分集合A(≠φ)が与えられたとき、Aに最小数が存在することを示す。そこで、∀a∈Aに対して、S:={x|x≦a∧x∈N}(これはAの下界である)とする。明らかに1∈Sである。~なぜならば、もしすべての自然数kに対して、「k∈Aならば、k+1∈S」であるとすれば、数学的帰納法の原理からS=Nとなり、Aが空ではないという仮定に矛盾する。よって、m∈Aである。~なぜならば、もしそうでないとすれば、すべてのa∈Aに対して、m<aである。S");に矛盾するからである。して、すべてのa∈Aに対して、m≦aとなり、mはAの最小数となる。したがって、Aは最小数を含む。[2]⇒を示す数学的帰納法の条件(1)(2)を満たす自然数の集合Sが与えられたとき、自然数の整列性が成り立つと仮定して、S=Nとなることを示す。NにおけるSの補集合をAとする。Aが空でないならば、自然数の整列性より、Aは最小数mを含んでいる。1∈Sより、m≠1である。すると、m-1∈Sとなり、帰納法の条件より、m∈Sとなる。~これはm∈Aに矛盾する。よって、S=Nでなければならない。[#m57d60ac]-『読んで楽しむ。