$Y$を見つけることが出来る。n_1$を考えることにより補題と同様の議論によって解$x$が計算できる。n_2)$の範囲内に存在する。これは途中の操作から明らか。n_k$の形の剰余連立方程式は常に解を持つことがわかる。抽象化この定理は任意の環上のイデアルへと抽象化できるため、環論での応用が可能だ。本筋ではないため証明については参考文献を見られたい。このとき、以下の事実が成り立つ。A/I_n$その系として、以下を得られる。$$応用例このように非常に応用に富む中国人剰余定理だが、実際の応用としてはどのようなものがあるか、暗号の視点から見てみる。RSA-CRTRSA暗号はEulerの定理を応用した公開鍵暗号だが、実際の速度的な問題が存在する。いうように非常に計算しやすいものを比較的自由に選ぶことが出来るが、秘密鍵$d$については殆どの場合$e$から計算されるためにそのような計算しやすさは考慮されない。Attackのような攻撃の脅威に晒されやすくなってしまう。)つまり、復号時の計算量は非常に多くなってしまうのだ。ここで、RSA暗号は$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$つまり$\mathbb{Z}/pq\mathbb{Z}$の上で計算されることを考える。\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$と書くことができる。$\mathbb{Z}/q\mathbb{Z}$)の上での計算に帰着させられることを示している。この場合の計算は次のようにされる。q-1$を計算しておく。