次が4分の1で、その次が8分の1だ。次は、ええと8つの項があって最初が9分の1だから、ええと、16分の1。へえ、きれいに2分の1倍になっている。この規則性が何を意味しているのか......「先生、わかりました」巧がマーカーを置いて老先生に向き直った。次にいくとしよう」老先生はマーカーを握った。正解が出たら未解答の子がいても次に進むのが老先生式だ。ついていくには理解するしかない。「書いてみればわかるが、この先もずっと法則に従って括弧をつけていけば、つねに項数と最後の項の積は2分の1になる。ところで、最後の項は常に括弧の中で一番小さい。括弧内の項をすべて最後の項に変換してしまうと、次の不等式が成り立つ。1+[1/2]+[1/3+1/4]+[1/5+1/6+1/7+1/8]+[1/9+...]+...>1+[1/2]+[1/4+1/4]+[1/8+1/8+1/8+1/8]+[1/16+...]+...「さほど難しくないな。この発想には数学的センスを要求される。いった閃きを体得できない者が、数学を嫌って敬遠し、自分たちを文系と呼ぶ」むかし、母さんが似たようなことを言っていたのを思い出した。「括弧内の項はすべて同一のものなので、さらに式の簡易化が可能だ。計算するとこうなる」1+[1/2]+[1/2]+[1/2]+[1/2]+...「じつに簡単な式になった。1に2分の1を無限に足し合わせただけだ。ここで先ほどの不等式を思い出そう。もとの式は、この無限に増える――正確には正の無限大に発散するというが、この式よりも解が大きくなることを表している。そんなもの定義できるんだろうか。「ええと、どんな数よりも大きな数を無限大といいます」有里はちょっと自信なさげに答えた。たしかに一見矛盾しているように思える。こんな話をしよう」老先生はマーカーを置いて、僕たちに床に座るよう手で促した。「二十世紀を生きた偉大な数学者にダーフィト・ヒルベルトという人物がいた。コメントするしおりをつける101「ヒルベルト・ホテル」には0号室、1号室、2号室......と整数の番号のついた部屋が無限にある。ある晩、ホテルは満員になった。夜も更けて草木も寝静まるころ、ひとりの旅人が宿を求めて訪れてきた。「あいにく満室でございます」フロント係は申し訳なさそうに言った。「しかし時間も遅く、ほかに行くところもないんだ。「......」フロント係は困った顔をした。そこにホテルを預かるマネージャがやってきた。「お客様、お泊りですか?」マネージャは笑みを浮かべて言った。「ああ、でも満室だそうだね。「少々お待ちください。お部屋をご用意いたします」そう言うとマネージャはフロントの電話を取ってどこかに電話しはじめた。旅人はマネージャが何を話しているのか気になって、聞き耳を立ててみたところ、どうやら各部屋の客に電話しているようだ。「はい、はい、申し訳ございません」と何度も謝る声が聞こえてくる。何かを頼んでいるのだろうか。「お待たせしました」しばらくしてマネージャは電話を置き、旅人に話しかけた。「しかし先ほど満室だと」旅人は疑問に思ったことをたずねてみた。「当ホテルの自慢は部屋が無限にあることです。お泊りいただいているお客様にお電話して、部屋をひとつずつ番号の大きな部屋へ移っていただいたのです。して、0号室が空きました」こうして、旅人は無事ホテルに泊まり身体を休めることができた。メールで受取りますか?(読者登録について)読者になる。