高校生もテスト期間です。高2までは、やっぱり定期テストが忙しいですね。高2までは辛抱強く基礎固めです。その高校2年生の今の時期と言えば、数学で苦労する生徒が続出します。数列の後半で扱う「群数列」で気持ちが打ち砕かれるようです。そこで今回は群数列について解説します。群数列とは?数列を、ある規則に従ってグループ「群」に分けたものです。先頭から第n番目の群を「第n群」と言います。説明をしても「なんのこっちゃ?」となるので、まずは下の例題を見た方が速いです。「群に分ける前の数列」に戻して考える!「先頭から何番目?」で考える!!例題を解いた後で「なるほど!」となりますから、例題と解いた後で、もう一度ここを読んでみてください。例題1で始まる自然数を1個、2個、4個となるように区切って群に分ける。$2^{n-1}$個となるようにする。このとき第n群に含まれる数の総和を求めよ。1000は第何群の何番目か。$$第4群の先頭8と末尾15を考えれば$$S_{4}=\sum_{k=8}^{15}k$$である。番目であったとすると、$$i=\sum_{k=1}^{n-1}2^{k-1}+1$$である。$$j=i+2^{n-1}-1$$である。以上から、題意は$$\begin{eqnarray}S_{n}&=&\sum_{k=i}^{j}k\\&=&\sum_{k=i}^{i+2^{n-1}-1}k\\&=&\sum_{k=1}^{i+2^{n-1}-1}k-\sum_{k=1}^{i-1}k\end{eqnarray}$$を求めることである。次にそれを上の式にあてはめて計算する。$$を思い出そう!だから第n群の先頭は、数列全体の先頭から数えて$$\begin{eqnarray}i&=&2^{n-1}-1+1\\&=&2^{n-1}\end{eqnarray}$$番目である。第何群にあるかを考える。2^{n}-1$$なるnを考えればよい。2^{n}-1$$である。$$であることから、この不等式を満たすのはn=10のとき。1000は第10群だとわかる。第10群の489番目さて、今回は1つの例題を通じて、群数列の解法の流れを解説しました。ここまで理解できたら、再び冒頭に戻って「群数列とは?」の部分を読み返してみてください。それで頭の中が整理できれば幸いです。他にも次のような例題をよく見ます。他の例題は?問2で始まる偶数数を1個、2個、3個となるように区切って群に分ける。第n群の個数がn個となるようにする。$$第n群の先頭の項をnの式で表せ問1で始まる奇数を1個、3個、5個となるように区切って群に分ける。第n群の個数が2n-1個となるようにする。$$第n群の末尾の項をnの式で表せなどです。群数列をマスターして、定期テストを無事に乗り切ってください。TweetSNSでもご購読できます。「基礎」の意味を間違えないで!インフルエンザから復帰しました愛知県で良かった。