前回までの記事では、P制御、PI制御、PD制御を用いて2次系システムをフィードバック制御する際に、システムを安定に制御することが出来るゲインの範囲を算出する方法を紹介しました。今回は、PID制御を用いて安定な2次系システムのフィードバック制御を行う際に、システムの安定性を保てる制御系内の各ゲインの範囲を算出する方法を紹介します。まとめPID制御とはPID制御とは、フィードバックを用いた古典制御の中の一つです。y(t)$$に対して、比例ゲイン\(K_p\)、積分ゲイン\(K_i\)、微分ゲイン\(K_d\)を用いて偏差\(e(t)\)を小さくする、つまり出力値\(y\)を目標値\(r\)に近づけようとするフィードバック制御を行います。$$と表すことが出来ます。このPID制御内の各ゲイン(\(K_p\)と\(K_i\)と\(K_d\))が大きいほど目標に近づく時間が短くなりますが、安定であったシステムが不安定になる可能性も生じます。制御システムが安定性を保てる範囲でPID制御の各ゲインを選択するために、ラウス・フルビッツの安定判別法を用いて、制御系内の比例ゲイン\(K_p\)と積分ゲイン\(K_i\)、微分ゲイン\(K_d\)が選択可能な範囲を算出していきます。今回は、図のようなフィードバックシステムを用いて、比例ゲイン\(K_p\)と積分ゲイン\(K_i\)、微分ゲイン\(K_d\)を用いたPID制御を行います。フィードフォワード制御とフィードバック制御でロボットを自由に制御しようロボットなどを思い通りに動かすために、フィードフォワード制御とフィードバック制御があります。$$という2次系のシステムを用います。ここで、\(\omega_n\)は固有角周波数、\(\zeta\)は減衰比を表しています。\(K\)は制御対象内のゲインを示しています。$$と表すことが出来ます。ゲインとシステムの安定性フィードバックシステム全体の伝達関数\(T(s)\)からラウス・フルビッツの安定判別法を用いるために特性方程式\(D(s)\)を求めます。システムの安定性:ラウス・フルビッツの安定判別法(その2)ロボットなどを制御する際に重要な制御システムの安定性を判別する方法として、ラウス・フルビッツの安定判別法があります。$$で表すことが出来ます。この変換した特性方程式\(D(s)\)に対して、ラウス配列を求めて、ラウス・フルビッツの安定判別法を用いて各ゲインに対するシステムの安定性を確認していきます。$$の数列を抽出します。$$であればシステムは安定性を保つことが出来ると言えます。$$である必要が分かります。$$と正(\(+\))の値である必要が分かります。\frac{1}{K}$$と積分ゲイン\(K_i\)と微分ゲイン\(K_d\)から表される関係式を満たす必要が分かります。$$であれば、システムは安定であると言えます。この3つの関係式内の範囲で各ゲインを選択することで、今回の2次系フィードバックシステムの制御系を安定に保つことが出来て、システムが不安定になって出力が発散する事はありません。まとめ今回は、ロボットなどのシステムを安定性を保ったままフィードバック制御するために、PID制御内の比例ゲインと積分ゲイン、微分ゲインを選択出来る範囲を求める方法を紹介しました。今回のような2次系のシステムの場合、元のシステムが安定であれば制御系内の各ゲインの値を高くしてもシステムが不安定になるケースがあまり発生しませんでした。制御対象が複雑になると、制御対象単体が安定であってもフィードバック制御系内のゲインが高すぎると出力が発振してしまいシステムが不安定になることがあります。次回は、2次系よりも少し複雑な例として、3次系フィードバックシステムを用いてPID制御を用いた際の安定性を確認していきたいと思います。実際に伝達関数からボード線図を漸近線近似で書いてみよう(その3)システムの伝達関数を構成する要素ごとのボード線図を足し合わせることで、システム全体のボード線図を求めることが出来ます。今回は、求めた要素ごとのボード線図を足し合わせ、実際にシステム全体のボード線図を求める方法を紹介します。複雑な線形動的システムの微分方程式を簡単に解くために、固有値と固有ベクトルを用いて取り扱う座標を変換して解析する方法を紹介します。記事を読む複雑なフィードバックシステムの根軌跡を詳細に描く根軌跡は、複雑なフィードバックシステムを制御する際に適切なゲインを調整するために有効な方法です。本記事では、今まで記事で紹介した知識を基に、フィードバックシステムの伝達関数から詳細な根軌跡を実際に書く方法を紹介します。線形システムの可制御性について紹介します。与えられた線形システムが可制御性である場合、システムの応答性を調整したり、システムを任意の状態に到達させることが出来ます。今回からの記事では、システムの可制御性とフィードバックシステム、そして与えられた線形システムの可制御性を判定する方法を紹介します。与えられたシステムの伝達関数からボード線図の概略を書く方法として、定数ゲインのみの伝達関数が与えられた場合のボード線図の書き方を紹介します。複雑なフィードバックシステムの挙動を可視化し、理解し易くすることが出来る根軌跡を詳細に書くために、実際にシステムの伝達関数から複素極を始点とした軌跡の角度を求める方法を紹介します。記事を読む台車型倒立振子の運動方程式をラグランジュ方程式で求める(その2)台車型倒立振子の運動エネルギーと位置エネルギーをラグランジュ方程式に代入することで、実際に運動方程式を求める方法を紹介しました。記事を読む1次遅れ系システムのステップ応答ロボットなどの動的システムを表した1次遅れ系システムの伝達関数について、システムのステップ入力に対する出力、ステップ応答の特性として、立ち上がり時間や静定時間を伝達関数から算出する方法を紹介します。記事を読むシステムの安定性:ラウス配列の特別な例(その2)ラウスの安定判別法を用いることで、ロボットなどの制御システムが安定か不安定かを判断することが出来ます。その際に作成するラウス配列の特別な例として、全ての要素が0になる場合についての対処法を紹介します。記事を読む伝達関数からボード線図を書く方法:積分要素の場合システムの伝達関数が与えられた際にボード線図を書く方法として、積分要素が伝達関数として与えられた場合についてボード線図の書き方を紹介します。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。