Angels前途は遠かった。道こそが人生だからだ。今年の柿は不作だった。第一の原因は、夏場に雨天が続いて十分な日照時間が確保できなかったことである。追い打ちをかけたのが台風19号である。熟した実が暴風雨を受けて一夜でたくさん振り落とされてしまった。それでもけなげに耐え抜いてくれたのが彼らである。これを積上げてみると一辺の長さ4の三角錐がきれいに出来上がった。数学の話になって恐縮だが、d次元の三角錐を考える。一辺の長さをnとしたときに、三角錐を構成する柿の実の数を、と表す。柿はこのように積み上げられ、長さnの柿の実の数は、で与えられることは有名である。幼少のガウスがこれを発見したという話もある。次に3次元を考えると長さが1~nの三角形を積み上げていくことになる。この操作を一般のd次元に拡張すると、柿の実の数に関する漸化式は、となる。3次元の場合でこれを計算すると、となる。今回、収穫した20個の柿については、と記述される。4次元以上の場合も同様の漸化式で計算することになるが、その計算は次元数が増えるに従って複雑化してしまう。わかりやすい計算方法はないだろうか。いうことで、2次元、3次元の式を並べてみる。これらはどこかに見覚えがある。それは分子の掛け算の順序を入れ替えるとわかりやすい。これから次の定理が予想される。これを数学的帰納法で証明する。d=1の場合、三角錐を想像するのは難しいが、と考えれば、であり、確かに成り立つ。d=k次元で成立すると仮定する。d=k+1次元について漸化式を用いて計算する。k+1次元でも成立する。以上より、すべてのd次元について成立することが証明された。この過程で、下記の恒等式を使用した。この恒等式はパスカルの三角形において、斜めに並んだ数の総和がすぐ斜め下に登場するという原理を示している。三角錐に関する定理が同じく三角形の原理から導き出されることは決して偶然ではない。今回の1,2,3次元のnに対応した柿の数の列を書き出してみる。これらの数列は、パスカルの三角形の上にきちんと並んでいる。今回の柿の数である20もすでにここに登場していた。してみると、パスカルの三角形が柿の個数を数えるために存在していたような気がしてくるから不思議である。前回、n種類のフィギュアをランダムにr個購入したときの順列の中でn種類がすべて含まれる順列の数は、であることを説明した。これのn=2,3,4の場合の具体的な式は、であり、大変分かりにくい。これを数表として書いてみると、これを眺めて、何らかの法則を導き出すのが本稿の目的である。定義から次の1が予想される。分母はn種類をr回購入したときの順列の総数なのでこれはr個購入したときにn個がすべて揃う確率を表している。それが1に収束するということは、rがnを超えて大きくなればいつかはn個が揃うのは時間の問題である、ということを示している。これを数学的に証明すると、となる。n、rが1の場合については、直接計算すると次の公式群が成り立つ。ここまではあまり面白くないが、特徴的なのは次の公式である。前者は数表の右上半分が0であることに対応し、後者は斜めの数、1,2,6,24,・・・がn!になっていることに対応する。これらは直感的に理解しやすい。前者はn種類そろえるのにnより小さいr回では揃うはずがないことを表している。後者はrとnが等しい場合であり、このときn種類が1個ずつきれいに選ばれる。なると求める数列はn個の単純な並べかえの順列に等しい、ということである。数学的に導くには次のような解析的な方法がある。いう2項級数の式に対して、1xで微分する、2x=1を代入する、3両辺にxを掛ける。一般的に、が得られる。後者の延長で「ではrがn+1の場合はどうなるか?」という疑問がわく。この場合は、という何とも言えない式となる。n+2以降はさらに複雑化して書き下せない。S(n,r)については漸化式として次が成立する。この式の直観的な説明は次のようになる。r回目をひいてn種類揃っているということからその1回前はどうだったということを考えると、すでにn種類揃っていたか、あと一種類足りなかったかのどちらかである。n回目はn通りあるのでこの式が成り立つ。数表の上で見てみると、どこでもいいので左右で隣り合う2つの数字を足し合わせる。それをn倍化したものが、右側の数字の下の数字に等しい。この漸化式は数表を作っていく上で非常に重要である。以上が基本的な性質となるが、他にはどのようなものがあるか。計算の支障となっているのはSの式の複雑さである。そこでSに変わって次のS’を導入する。これを用いると、数表は次のようになる。この表を眺めながら規則を探してみる。横一列をすべて足すと0になることはすぐに気が付く。同様にして他の法則を探し続けた。その結果、次のような公式群を発見した。8以降はもともとの問題の枠をはみ出してrが0や負の数の場合も扱っている。これらは計算上は成り立つのだが、みちのくフィギュアみやげの問題にどのように絡んでくるかは不明である。前回記事でn個そろえるのに必要な回数の期待値E(n)を計算してそれが、であることを示したが、今回の結論を使うと、と書き表せる。rがー1と負数なのがポイントである。これがはたして偶然なのか、なんらかの意味を持つのかについては今後の宿題とする。以下、rが0や負数とした場合も含めた数表(S、S’)を参考付録として示す。酔狂日記せんべい汁のフィギュア。鍋の直径は2cmほどである。7種類のフィギュアをすべて手にいれるまでに必要な回数の期待値を計算する。ここでそれぞれが出てくる確率は1/7で等しいものとする。r回目めにn個が初めてそろう確率ΔPが求められれば、期待回数Eは次の式で計算できる。ΔPの計算は難しそうなので、r回までにそろう確率Pを求めて、(r-1)回までの確率を差し引くことで計算することとした。r回まででr個すべてを含む順列の数をSとすればPは、で求められる。Sを具体的に求めると、などである。一般的の場合で確率Pを求めると、となる。これを使って期待値Eを計算した結果を以下に示す。今回の問題のn=7の場合は、となる。一般の場合で計算してみる。途中の過程は煩雑なので省略するが、結果的に、となる。計算を進めると、というすっきりとした形に変換できた。途中過程で使った恒等式をメモとして記載しておく。後者は、パスカルの3角形の特徴であるが、1から始まる斜めのラインで合計した値がすぐ斜め下に登場するというものである。これは3角形内すべての場所で成り立つ。今回得られた式をn=7の場合で確かめてみると前の複雑な級数計算と同じ結果が簡単に得られた。最初からこの式が得られれば面倒な計算をすることがなかったのだが。この式の形をじっと眺めてみる。すると、次のアプローチが成立することが分かった。1回目のトライをする。いずれか1つが手に入る。2回目以降で1回目と違うものが得られる確率は6/7である。一般に確率pの事象が発生するまでの期待回数はpの逆数(1/p)になるので、2個目が手にはいる回数は7/6である。続いて3個目が手に入るまでの回数は7/5、こうして7個目が手に入る回数までの総数を計算すると、と計算できるのである。墓参りの旅の道すがら、みちのくの駅売店でこれをみつけた。1個500円と高価だが、なかなか精巧にできていて気に入っている。三春駒、かまくら、三陸鉄道、松島の日の出、そしてせんべい汁。購入してみると、せんべい汁だった。7種類すべてそろえるには何回くらい買わないといけないだろうか。7回だけで全部そろう確率を計算すると4%くらいとほぼ絶望的である。仮に6個までそろえたしても残る1個がでる確率は1/7なのでそこからさらに7回買わないといけない。計算してみると意外に難問であった。答えは約18回、つまり9,000円必要な計算である。一般に一辺の長さがnのd次元の立方体は、で記述される。これを一辺の長さn+1に拡張すると、結果的にに拡張される。この拡張により立方体の体積は、だけ増加する。この多項式の順番に従って各要素を追加していくことを考える。この過程で追加される座標は、で表される。このd個の座標をn+1の登場有無に従って2つのグループに分けて、次のように追加操作を記号で表現する。分母の追加位置Pは、要素を追加する位置を示し、である。d=p、m=0の場合については、と記述する。d個の中からp個が選ばれる総数は、なので、すべての追加される要素の体積の総和を計算してみると、となっている。以下、1~4次元での拡張の手順を本操作記号を用いて説明する。■1次元この場合は「角」が追加されるだけである。■2次元1次元の列が二つ、そして角が追加される。■3次元3つの平面、3つの列、そして最後に角が追加されて完成する。x、y、zの3軸にw軸が追加される。厳密に表現することは難しいのでn=3の場合のイメージとして示す。