いうことを、『数理科学』の谷村省吾さんの連載を読みながら考えています。上記のようなことが書かれているわけではありません。この連載で「ベクトル空間の枠」なるものと初めて出会い、最初は「何それ!?きいてないよー!」となったのですが、どうやらこの枠が量の単位と関わってくるらしいのです。「枠」とは何かというと、雰囲気は「基底」に近いのですが、基底よりもしばりがあるもののようです。そのしばりというのは、並び順のこと。気づいてみれば、基底って順序は関係なかったのね。前回、かけ算で新しい量をつくることを考えるにあたり、お米の量を題材として取り上げました。「1合」で、そして「150g」で。150gという数値は実測から導いたわけではなく、検索してだいたいそのあたりらしいと知りました。ふだんは計量カップではかるだけで、重さを意識したことがなかったので。「とりあえず」150gで設定することになったのは、米1合はジャスト150gではないという意識があったからなのですが、mLなら180ジャストかというと、そうでもないらしいのです。検索したら180.39という、これまた中途半端な数値が出てきました。そのまま「合」をつければよいため簡単なのと、それなりにリアルな量だからということがありました。条件は同じのまま150gという量に変えることもできます。比例定数としては1より150のほうがわかりやすいかと思います。いう意味では、150gじゃなくて180mLにすることもできるし、180�にも、180cm^3にもできます。「合」が尺貫法の体積の単位であることを考えると、同じ「体積」という量に換算したほうが自然といえば自然かもしれません。はかりやすいのは重さかな。いう単位がいてくれます。この際、どーんと「俵」で考えてみる!?「あれ?そういえば"俵"って...」と調べかけて、こういうことしてるとまた単位の深い森に迷い込みそうだと感じたので引き返すことにして、同じ量を示すいろいろな数値と単位についてもう少し考えることにします。50人が20泊する合宿で必要なお米の量1000合は、1合を150g、180mLと考え、1俵=4斗=40升=400合とすると、150000gでもあり、150kgでもあり、0.15tでもあり、180000mLであり、180000�であり、180000cm^3であり、0.18m^3であり、180Lであり、100升であり、10斗であり、2.5俵でもあることになります。重さだったり、体積だったり、単位系が違ったり...と状況は様々ですが、とにかくこれらのどれでオーダーしても、同じ「量」といっていいであろうお米が用意されるというのがなんだかおもしろいです。「1000」と「150」と「150000」と「0.18」と「2.5」はまったく違う数値なのに。体積と重さを「同じ」というのはちょっと反則っぽい気がしないでもありません。単位のことを考えると、いつも頭がくらくらしてきます。同時に、「単位って社会的なものなんだなぁ」としみじみ感じます。あっ、先日「木と森」についてのエントリを書きましたが、今回の表題の「森」という言葉はそのことは意識せずに書きました。俯瞰するのではなく、迷い込んだら自分がどこにいるのかよくわからなくなる場所というイメージで。連載記事を書いておられます。物理を圏論・微分幾何の言葉で語ろう」というタイトルで続けられているその記事の第5回、「テンソル積の普遍性」のオープニングをはじめて読んだとき、「助かるなぁ〜」という印象をもちました。「物理学者のための圏論入門」に触発されて思い出したことを書いたいま、この数行があらためてじわじわときています。谷村さんが、「異種の物理量を組み合わせて新種の物理量を生み出す」という言葉を使われていることについて。つなぐものの存在感/比例定数とアクリルたわし圏のラストで書いたように、数教協がいうところの内包量は、外延量のわり算でつくることができます。かけ算でも新しい量をつくれるのではないか?...って、そんなに気負わなくてもすぐに思いつくのは、面積のこと。たての長さ、よこの長さという2つの量のかけ算でつくられる「面積」という量は、これはこれでかけ算によってつくられる新しい量なのでしょう。8×3=24(m)も、「かけ算によってつくられた量」といっていいのかもしれません。このなかの「8」が「2つの量のわり算でつくられた量」なのだとしたら、8×3=24は「もとになっている量(のなかまの量)を出してくるかけ算」という雰囲気があり、このままの状況では"新しくつくった感"がありません。その使い方の意味は違うとしても。いうことを考えるにあたり、複比例を学ぶことにします。比例についておさらいしておきます。比例とは、小学校風にいえば、xの値を2倍、3倍、...したときに、それに対応するyの値も2倍、3倍、...になるような関係のことでした。中学校風にいえば、比例定数をaとして、y=axの形で表される関数のことです。複比例になるとどういうことになるかというと、2つの数量と、そのそれぞれに比例するもう1つの量との関係なので、変量が3つになり、文字が3つ必要になります。「荷物を運ぶときにかかる料金」を例にとって複比例を説明しています。世の中の運送料は、こんなにぱっきり比例関係で決められてはいないことでしょう。銀林先生も次のような注釈をつけておられます。現実の社会においては,遠距離逓減性とか,重さが何tから何tまではいくらといった階段規定が設けられていて,今述べたことが厳密に成り立つとは限らないが,それでも,基本は上述のようであって,これらのさまざまの規定がそれからの変則であることは,常識的にもわかることである。p.184)荷物の重量が一定で輸送距離が2倍になれば、運送料も2倍になる。輸送距離が一定で荷物の重量が3倍になれば、運送料も3倍になる。ひとまとめで考えることができれば、z=a(xy)という、比例のような式がつくれそうです。いうことを考えていきたいのですが、やはりどうにもこの例はしっくりこないので、別の場面で考えることにしました。それは、「合宿のために用意するお米の量」です。これはこれでフィクションになってしまうかもしれません。この例を思いついた背景についてはのちほど書きます。とある合宿では、1人が1泊するとき、米1合を用意しなければならないとします。1人が3泊するときには3合必要だし、5人が1泊するときには5合必要です。10人が2泊する場合は、20合のお米を用意する必要があります。2人が6泊しても、3人が4泊しても、12人が1泊しても、必要なお米の量は12合で同じです。お米を用意する側からみれば、何合必要かだけがわかればいいので、「3人が4泊」から「4人が3泊」に変更になったとしても、特に困ることはありません。お米の量を「合」ではなく「g」で考えるとどうなるでしょうか。単位は、xが「人」、yが「泊」、zが「g」。150gというのは、1人、1泊分のお米の重さです。xyをひとまとめに考えてもいいのだとしたら、その単位は「人泊」としたいところです。実際、この単位は世の中で使われているらしいのです。合宿の夕食で毎晩、新鮮なお刺身を用意しなくてはならず、そのためのお魚を考えるのならば、1人が15泊するのと15人が1泊するのとではだいぶ状況が違ってきますが、お米だったらどちらも15合用意すればいいわけで、先ほども書いたように状況の違いは問題ではなく、「15人泊」という事実がわかればいいわけです。(もっともお米の場合も、期間がもっと長くなると話は別ですが)では、y=150xyの「150」は何かというと、1人が1泊するときに必要なお米の重さなので、単位をつけるとすれば「g/人泊」ということになりそうです。このような量のことを、銀林先生の本では「複内包量」とよんでいます。1つの外延量を、2つの外延量でわって得られる内包量です。y=8xの「8」を「使える量」というならば、z=150xyの場合は「150」がそのなかまになるのかもしれません。「150」が「8」と同じ立場になれるのも、xyをひとまとめとして変数のように扱えればこそだと思うのです。なんてったって、「数教協いうところの外延量」どうしのかけ算です。この「人泊」を使おうと思ったおおもとのきっかけは、谷村さんがテンソル積を説明されるなかで、人が働く仕事量の例を出されていたことでした。〜双対性の視点から〜』にもその話が出てきていて、「人月」という単位が登場します(p.152)。この発想は、複比例で2つの量の積を考えることにそっくりです。実際、森毅の本でも、複比例のあとにテンソルを配置する組み立てになっています(銀林先生も複比例の欄外注でテンソル積に触れておられます)。いうことは、複比例の一歩先にはきっと、テンソル積があるのでしょう。今回はテンソル積を理解するところまではいけませんでしたが、「かけ算によって新しく量をつくる」ということを実感できたことが、大きな収穫となりました。追記:補足エントリがあります。TweetPROFILEtamamiLINKSTwitternoteこどものちかく、親子でちょっとトーク、そして高校生。