t-dK(t-1x)は総和核である。0が総和核のとき次が成り立つ。Cc∞(Rd)であり、総和核になっている。mollifierという。1≦p<∞で稠密である。Cc(Rd)はC0(Rd)で稠密である。Radon測度Radon測度については一般に局所コンパクトHausdorff空間上で議論できるが、ここでは簡単のためにRdに制限する。命題1.5.3.2Rd上の有限なBorel測度μについて次が成り立つ。measureという。系1.5.3.5Lebesgue測度はRadon測度である。複素数値Radon測度とは実部と虚部がそれぞれRadon測度であるものをいう。∞ノルム空間と考えるとき、その上の線形汎関数Tは複素数値Radon測度μにより、次のように一意的に表現される。Schwartzの超関数Rieszの定理により、Rd上の関数のある種の拡張であるRadon測度がCc(Rd)上の線形汎関数と同一視できることがわかった。Schwartzの超関数はこの考えをさらに進めてCc∞(Rd)上の線形汎関数を関数の拡張と考えるものである。1≦p<∞で稠密である。■Rd上のC∞級関数fに対する微分作用素を次のように書く。0,1,2,⋯は命題1.5.1.3の条件を満たす。K(Rd)は上の半ノルム族によりFréchet空間となる。distributionという。局所可積分関数Rd上の可測かつ局所可積分すなわち任意のコンパクト集合上で可積分な関数fは、次の意味で超関数となる。Radon測度Rd上のRadon測度μは次の意味で超関数となる。線形結合'(Rd)はC上の線形空間である。(R)は超関数となる。(R)は超関数となる。(R)は超関数となる。(Rd)について次が成り立つことをいう。'(Rd)の強位相による収束と上の定義は一致する。〉となる超関数Tが一意的に存在する。証明Banach-Steinhausの定理の特別な場合と考える。0Tiは超関数である。∑nTnが収束すれば、任意のαについて次が成り立つ。扱うときに都合のよい性質をもつクラスが緩増加超関数である。緩増加超関数は急減少関数空間上の線形汎関数として定義される。次の包含関係が成り立つ。nsupxxαDβf(x)と定義する。{pn}n∈Nは半ノルム族であり、命題1.5.1.3の条件を満たす。これによりS(Rd)は線形位相空間となる。命題1.5.5.4S(Rd)はFréchet空間である。命題1.5.5.6(Rd)はS(Rd)において稠密である。distributionといい、その全体をS'(Rd)で表わす。'(Rd)と考えることができる。(Rd)が成り立つことであるが、このような超関数Tは定義域をS(Rd)に拡張することができる。逆に任意のS'(Rd)の元は緩増加であるから、超関数の緩増加の概念は上の定義と矛盾しない。'(Rd)の部分線形空間であり、微分作用素に関して閉じている。S(R)は緩増加超関数となる。S(R)は緩増加超関数となる。〉となる緩増加超関数Tが一意的に存在する。distribution。