空でない集合R上で加法+と乗法・が定義されており、次の法則を満足するとき、Rは環といわれ、(R,+,・)と表記される。(R1)(R,+)は加法群である。(R2)(R,・)は半群である。(R3)すべてのx,y,z∈Rについて、次の分配法則を満足する。[補講]x+yは和、x・yは積を表している。element)といわれる。xの逆元は-xと書かれ、x+(-y)はx-yと省略して書かれる。環Rが、次の乗法に関する交換法則を満足する場合、Rは可換環と呼ばれる。例:(N,+,・)は可換環。すべての正方行列の集合は環だが、可換環ではない。一般に正方行列A,Bについて、AB=BAは成り立たないから。