0)1000となります。他10桁の整数N=N0N1・・・N9に対して、X=X0X1・・・X9(Xk:Nkの中でkに等しい数字の個数)を対応させます。000000001を対応させます。(なお、この10桁の整数には、0000056789など先頭に0が続く場合を含むことにします。0桁の整数となります。このとき、ある10桁の整数a1から出発して対応する10桁の整数を次々とつなげていきます。10桁の整数は有限個ですから、この連鎖はどこかで同じ整数が現れる筈ですので、途中から繰り返しが発生することになります。この連鎖をグループ1と定義します。途中からグループ1に含まれる整数に合流する整数もグループ1に含めることにします。10桁の整数全てを、このようなグループに分類していくと、必ず有限個のグループに分けられることになります。本問では、これらのグループの中に上図グループ3の場合のように、繰り返し周期が1(対応する整数が元の整数と等しい)となるものが存在するので、これを求めなさいということになります。そこで、適当な整数を出発点に連鎖を計算していけば、どこかで求める整数が見つかる筈です。EXCELを用いて計算してみます。グループ2の2グループに分類できそうです。従って、グループ2の6210001000が解ということになりそうです。そこで、本当に上記2グループしかないことを証明してみましょう。元の整数もこの整数と同じグループに属するのですから、はじめから(1)の条件が成立する10桁の整数だけを考えても差し支えありません。0でない数字が5個以上あったとすると、(1)より、0でない数字の合計が10になるわけですが、それらの和≧1+2+3+4+5=15なので矛盾。従って、0でない数字は4種類以下になります。すると、この次に対応する整数は0が6個以上となりますので、最初から0が6個以上の場合に絞っても差し支えないことになります。そこで、10桁の整数で各桁の合計が10となるもので、かつ0が6個以上の場合について場合分けして調べることにしましょう。数字を大きい順に並べても次に対応する整数は変わりませんで、便宜上、数字の大きい順に表し、また0を省略することにします。場合分けをすると、次の11種類になります。対応する整数も求めてみます。631以上から、最初に推測した2グループしかないことが分かります。