[整数の性質]ある10ケタの整数Aがあります。この整数は、次のような性質を持っています。・10番目の数は、Aで使われた9の個数では、この整数Aを求めて下さい。整数Aの各桁の数字をx0、x1、・・・、x9とします。xkが整数Aで使われたkという数字の個数だから、その和はAの桁数である10に等しい。xk>0のとき、kという数字が整数Aにxk個存在するので、xk個の数字がk個あることになるので、k・xkの和もAの桁数10と等しい。以上より、次の2式が成り立ちます。(2)さて、0の個数に着目して考えましょう。0の個数が0ならば、x0=0となり、0という数字が1個はあることになって矛盾します。0の個数が10ならば、全ての桁の数字が0となるので、x0=0となって矛盾。従って、1≦x0≦9となります。(3)さて、k=1〜9でxk>0となるkの個数をNとします。N≧4とすると、1≦p<q<r<s≦9でxp、xq、xr、xs>0となる数字p、q、r、sが存在します。Σk=0..9k・xk≧p・xp+q・xq+r・xr+s・xs≧1・xp+2・xq+3・xr+4・xs=1+2+3+4=10ところが、(2)が成り立つので、上式より、p=1、q=2、r=3、s=4、xp=xq=xr=xs=1が成り立つことになります。これは、1という数字が少なくとも4個存在することとなり、x1=1(p=1のときxp=1)と矛盾します。よって、N≦3が成り立ちます。0−(1+3)=6個以上存在することになり、6≦x0≦9となります。(5)さて、m=x0とおきます。(5)より、6≦m≦9が成り立ちます。すると、mという数字が先頭に存在するので、xm>0となります。xm≧2とすると、m・xm≧6・2>12となり、(2)に反しますから、xm=1となります。6≦k≦9、k≠mでxk>0となるものが存在したら、m・xm+k・xk≧6・1+6・1>10となって、(2)に反します。従って、6≦k≦9では、k=m以外はxk=0となります。上記からm(6≦m≦9)の桁に1という数字が1個以上存在することになります。従って、x1>0となりますが、もしx1=1とすると、さきほどの1個と合わせて数字1が2個は存在することになるので、x1=1に反します。そこで、j=x1とし、j≧3とすると、1・x1+j・xj+m・xm≧1・3+3・x1+6・1=12となり(2)に反します。よって、x1=2と決まります。従って、2という数字が存在するのですが、この個数は1個でないと上記同様(2)に反することになるので、x2=1と決まります。(4)から、これ以上0でない数字は存在しないことになります。よって(2)より、0・m+1・2+2・1+m・1=104+m=10従って、m=6と決まります。以上から、求める整数A=6210001000と決まります。この6210001000は題意を満たすので、求める解となり、またこれ以外に解はありません。本問を次のように一般化して解を求めます。この整数の組の中にあるkの個数に等しいとなるものを求む。0)1000解答例1と同様に、各桁の数字をx0、x1、・・・、xnとします。x0=0はx0=n+1と矛盾。0となり、nという数字が1個存在することになり、xn=0と矛盾。x0≠0が成り立つので、x0という数字は1個以上存在します。xkのなかで0でないX個の和をSとします。(1)また、n個ある各xkのなかで0でない個数がXということは、0の個数であるx0=n-Xとなります。(3)(3)より、x1、x2、・・・、xnのうち0でないX個の整数の和がX+1ということになり、これらの整数は、「2が1個、残りは(もしあれば)全て1」ということになります。(4)従って、0でない数字があるとすれば、最も多くて、1、2、n-Xの3個となるので、X≦3となります。X=1、2、3の各場合に分けて組を求める。X=1のときxk(k≧1)で0でないのが1個のみで、その数字は2ということになります。いうことは、2の数字が存在するので、x2>0、従って、x2=2に他なりません。よって、x0=2となり、(2)より、x0=2=n-1、従ってn=3となります。従って、このケースの解は、2020となります。X=2のときxk(k≧1)で0でないのが2個で、その数字は1と2。この和はX+1=3だから、考えられるケースは、x1=2、x2=1またはx1=1、x2=2の2通り。(2)より、x0=1=n-2、よってn=3となります。従って、このケースの解は、1210となります。(2)より、x0=2=n-2、よってn=4となります。従って、このケースの解は、21200となります。X=3のときxk(k≧1)で0でないのが3個で、その数字は1と2およびx0=n-3。このとき、n-3>2となるので、n≧5。