拡張した場合の実験を示します。するのですが、値域を多値化することです。社会的選択ルールが得られます。極大元集合を選ぶことと、ほとんど同じように思えます。証明は2つのステップで行われる。それが全ペアまで拡張してしまうことを示す。シングルトン(=独裁者)まで分解できることを示す。パレート原理とIIAを用いてより簡潔にされている。基本的には1952年の論文に掲載された証明である。にくくしたということは考えられなくもない。最終的に特定の個人に帰着させる。部分をなすと考えればよい。以下にSenの証明を紹介しておく。決定力の定義について述べておこう。ペアについて決定力を持つときのことである。定義も証明の中で現れる。