いう訳で、|A><B|は1次演算子と見なすことができる。以上により、ブラ・ベクトルとケット・ベクトルおよび1次演算子に関する完全な代数的形式ができ上った。ブラ、ケット・ベクトルの物理的意味については、既に仮定を設けて、これらのベクトルの方向が、ある時刻の(全ての)力学系の状態に対応するとした。1次演算子は、(その力学系の)その時刻の力学変数に対応すると仮定を設ける。力学変数というのは、座標や速度の成分、運動量や角運動量、及びこれらの関数である。上に述べた1次演算子は複素量である。この1次演算子は、力学変数、座標や速度に対応するはずである。そこで実数の力学変数に対応する1次演算子はどんな種類であるか調べる為に理論をもう少し発展させる必要がある。<P|αに対して、共役虚なケットを考える。|P>がその求めるものとした場合、をαに対するアジョイントと呼ぶ。(~:複素共役数であることを示す。(7)<A|の代わりに<P|αと置き、|A>の代わりにその共役虚の|P>と置いてみる。これは、任意のB、P、αに対して成り立つ公式であって、アジョイントの性質の中で最も多く用いれれる。(4)でαの代わりに、α[-]を置くととなりよってであると結論される。従って、1次演算子のアジョイントのアジョイントは、元の1次演算子である。(2){αβ}|A>=α{β|A>}から、線形性があることが分かるが、それ以外の具体的な情報や例示が全くなく、何も分からない。(0)式と(2)式から、αは|A>の各要素に対して何か変換をする関数だろうか位しか分からない。))5.固有値と固有ベクトル1次演算子の理論の発展ここで1次演算子の理論を発展させる必要があるが、要点は次の式を研究することである。方程式(10)を満足するように、それらを選ぼうとするのである。(11)これらに対して、特別な言葉があると便利である。:1次演算子αまたは力学変数の固有ケットと呼ぶことにする。固有ケット|P>は、固有値aに属するということにする。(11.5)が成立する。管理人注記:ここまでで、αはベクトルに左から作用し、ベクトルの方向を変えない何等かの関数という情報しかない。αが「a=α」などと単純に表せることができないものだと言いたいのならば、αの具体的な形、内容、性質、その他を詳細に示すべきだ。(10)の解が、|P1>、|P2>、|P2>...と複数あり、そのいずれもaという同じ値に対して成り立っている、しかもケットPは独立である場合。c1、c2、c3、...を任意定数としてc1|P1>+c2|P2>+c3|P2>...も明らかに(10)の解とである。1次演算子αがただの数kの場合この場合に、(10)式でα=kとなり、どんな|P>にも、この式は満足される。固有値と固有ベクトル固有値が実数ではない理論は量子力学には、あまり用がない。それ故これからは、1次演算子として実数に限定するこにする。αの代わりに実数1次演算子としてξを使うと次式となる。(13)これらから、三つの重要な結果が導きだされる。固有値は全て実数である。証明:(12)に<P|を左から掛けると、<P|ξ|P>=a<P|P>となる。ところが(4)で<B|の代わりに<P|として、αの代わりにξとすると、<P||P>=<P||P>=<P|ξ|P>=上式の第2式=3式から、<P|ξ|P>は実数となる。固有ケットに伴う固有値は全て、固有ブラに伴う固有値と同じである。)(�B)任意の固有ケットに対して、共役虚なベクトルをとれば、それは同じ固有値に属する固有ブラになっている。この最後の結果(�B)があるので、ある状態が固有ケット、または共役虚な固有ベクトルに対応していれば、それをその実数の力学変数ξの固有状態と呼ぶのが、合理的である。管理人注記:ここまでを、もう一度復習すると、|P>は要素が複素数のベクトル。|P>に対応した<P|が一つだけ存在し、<P|P>は実数になる。<P|は無数の組合わせが可能であり、<P|P>は一般には複素数となる。分かり易く言えば、主張は全て根本から、正しくない、それを発展させることは無条件に正しくない。「独立したケット」、「固有ケットと固有値」なども、根本概念が未確定または正しくないので、これらも無条件に正しくない。上の三つの結果、(�@)、(�A)、(�B)についても同様。従って、単独文字ξを実数の力学変数、文字にプライムや添え字を付けたものは、ただの数、すなわち、演算子氏ξの固有値を示すものとする。|ξ’>は力学変数ξの固有値ξ’に属する固有ケットを示している。力学変数ξの固有値ξ’に属する固有ケットが複数の場合は、|ξ1’>、|ξ2’>、|ξ’3>などと表す。定理ある実数の力学変数の異なる固有値に属する二つの固有ベクトルは直行している。))6.オブザーバブル導入ここまで、沢山の仮定を設けて、量子論では、状態と力学変数とを数学的にどのように表せば良いか定めてきた。これらの仮定は、それだけでは自然の法則ではないが、さらにいくつかの仮定を設けて理論に物理的解釈を与えてやれば、自然の法則となるのである。仮定を設ける際には、観測の結果と数学的形式の方程式との間に明確な関係を構築する必要がある。力学系の測定と固有値さて、この理論を物理的に仮定をいくつか設ける。力学系が実数の力学変数ξの固有状態で固有値ξ’に属する状態であれば、ξを測定すると、その結果は確実にξ’という数が得られる。逆に実数の力学変数ξを測定すると、(いくつかの可能性の内)確実にある特定の結果が得られる状態に体系があれば、この状態はξの固有状態であり、その測定の結果は、この固有状態が属しているξの固有値になる。続き(P.47の15行目からほぼ全文を掲載)実際の力学変数ξを測定すると、測定により力学系は掻き乱されるので、体系の状態は急変する。物理現象の持つ連続性の性質から考えて、第一の測定の直ぐ後に、同じ力学変数ξを観測すれば、第二の測定結果は第一の測定結果と同じに違いない。いう訳で、第一の測定の行われた後の第二の測定結果は少しも不定さがない。故に、第一の測定の行われた後には、その体系は力学変数ξの固有状態にあって、その属する固有値は、第一の測定の結果に等しいのである。この結論は第二の測定が、実際に行われなくとも、やはり成り立っているはずである。して見ると、測定をすれば常に、その力学変数の固有状態へ体系を飛び移らせることになる。その固有状態の属する固有値は測定の結果に等しいものである。このことから考えて、どんな状態にある力学系についても、実際の力学変数を測定して得られる結果はどれも固有値の中の一つであると結論される。逆に固有値はどれでも、その体系の何かある状態について力学変数の測定をするときに、結果として得られる可能性のあるものである。いうのは、もし、その状態がこの固有値に属する固有状態であれば、測定の結果は確かにその固有値になるからである。これで固有値の物理的意義が明らかになる。実際の力学変数の固有値の集まりは、その力学変数を測定したときに得られる可能性のある結果にほかならず、固有値の計算はこの理由から大切な問題である。)新たな仮定の導入(P.48の8行目からほぼ全文を掲載)新たな仮定を導入する。ある特定の状態にある体系について、ある実際の力学変数ξを測定すれば、その結果、体系は様々な状態へ飛び移るが、その様々な状態は、元の状態がそれらと従属の関係にあるものである。ところで、体系が飛び移れるこれらの状態は全てξの固有状態であり、従って元の状態はξの固有状態に従属しているわけである。元の状態としてはどんな状態をとっても良いから、どんな状態でもξの様々な固有状態に従属していると結論できる。状態の完全な組というものを定義して、どんな状態をとっても、その組の中に従属しているものとすれば、結論は次の形に纏められる。−ξの固有状態は完全な組を形作る。実際の力学変数ならば、全て完全な組を作るに足りるだけの固有状態を持つ訳ではない。固有状態が完全な組を作らぬようなものは、測定できる量ではないのである。力学変数が測定にかかる条件は、実数であることと、固有状態が完全な組を形作ることである。この条件を満たす力学変数をオブザーバブルと呼ぶ。従って、測定できる量ならば、それはオブザーバブルである。次のような疑問が起こる。オブザーバブルであれば全て測定できるのか?答えは理論的には、その通りである。実際問題としては、ある特定のオブザーバブルを測定する装置を工夫するのは、極めて困難か、或いは、高度な実験者でも不可能かもしれない。理論上では常に測定を行うことができると想像して良い。ξの固有値は(有限か無限の)飛び々の数の組から成り立つ場合と、ある範囲の連続した数の場合がある。先の場合、ξの固有状態に従属している条件は、任意のケットがξの固有ケットの和で表せるという条件になる。後の場合、|P>はξの固有ケットについての積分と表せられることもある。ξの固有状態が完全な組を作るという条件:任意のケット|P>に対して、ξの固有ケットの積分プラス和として表すことができる。|ξ’c>、|ξ「r」d>は全てξの固有ケットであり、目印c、dはξ’とξ「r」が等しい場合に区別する為に書き入れた。オブザーバブル条件満足の確認ある特定の実際の力学変数が、オブザーバブルである条件を満たしているか数学的に決めるのは非常に難しい。いうと、固有値と固有ベクトルを見つける問題全般が非常に難しいからである。実験的根拠から、ここで考えている力学変数が測定できると信じて良い場合があり、このことは数学的証明はなくても、その力学変数はオブザーバブルであると仮定しても無理はない。この仮定は理論をこれから展開する場合しばしば使われる。力学系のエネルギーは常にオブザーバブルであると仮定することにする。実は、簡単な場合を除いては、上の仮定は現在の解析力学では証明できないことなのだが。今までは、離散的固有値を扱ってきたが、これだと実際上のほとんどの問題に対して、この理論は無力である。そこで、条件を緩めて、連続固有値も認めることにする。これ以後についてここまでの話が根源的基礎となり、理論が展開して行くが、最後までこんな調子で話が進むので、以降は重要な部分を除き大幅に省略していくことにする。これは、kξを測定すれば、確実にkξ’という結果が得られることを示している。一般的にいえば、ξの任意の実関数をとり、それを例えば、f(ξ)とする。これはξが測定されるたびに自動的に測定されるような新しいオブザーバブルであると考えてよい。いうのは、ξの値を実験的に決定すればそれで、f(ξ)の値も与えられるからである。f(ξ)が実数であるという制限は不要なのであって、実数でない場合には、この関数の実数部分と純虚数部分とが二つのオブザーバブルであり、それらはξを測定すれば自動的に測定される。理論が矛盾を含まない為には、ξを測定すれば確実にξ’という結果を与えるような状態に体系がある時は、f(ξ)の実数部分と純虚数部分を測定すれば、その結果は確実にf(ξ’)の実数部分と純虚数部分となることが必要である。c0、c1、c2、c3...を定数として、べき級数f(ξ)=c0+c1ξ+c2ξ^2+c3ξ^3+...で表せる場合は初等代数を用いて確かめることができる。一般の関数fの場合に、この条件を確かめるのは不可能なこともあるだろう、その場合は、この条件をf(ξ)の定義として良い。このような方法でべき級数表現より一般的なオブザーバブルの関数を定義することができる。満足するような1次演算子とする。容易に分かるように、この定義は、それを独立でない固有ケット|ξ’>に応用した場合にも、内部に矛盾を含まない。終わり)方程式(34)は1次演算子f(ξ)を完全に定義するのに十分である。(38)という方程式を基にして議論ができる筈である。オブザーバブル」の仮定は、いくらか特別な種類の仮定である。いうのは、、これらの仮定は固有状態というものに関連付けなければならないからである。そこで、固有状態を問題にしていない場合にも、数学的な理論から物理的な知識を引き出せる、一般的な仮定が必要である。古典力学では、オブザーバブルは体系のどんな特殊な状態に対しても常に“ある一つの値を持っている”のである。量子力学でこれに相当するものは何であろうか?いま、オブザーバブルξとベクトル<x|と|y>をかってにとる。それらを用いて<x|ξ|y>を作ると、これはただの数となる。この数をあるオブザーバブルが古典論で“持つ”ことのできる値と比べると、次の三つの理由からあまり似ていない。�@):これは体系の二つの状態(x、y)に関係しているが、古典論では常に一つの状態にしか関係していない。�A):これは一般に実数ではない。�B):これはオブザーバブルξと状態だけでは、一通りには定まらない。いうのはベクトル<x|と|y>はかってな数因子を含んでいるからである。ところが、二つの状態(x、y)として同じものをとり、|y>を<x|に対する共役虚のベクトルとすれば、これら三つの理由は当てはまらなくなる。この場合、<x|ξ|x>は必ず実数になる。<x|が規格化されていれば、一意に定まる。それはcを実数として<x|に数因子Exp(ic)を掛けるとすれば、|x>にはExp(−ic)を掛けねばならず、<x|ξ|x>には変わりがないからである。15行目からほぼ全文を掲載)一般の場合には、あるオブザーバブルがある特定の状態に対してある値を持つということは言えないが、そのオブザーバブルがその状態に対してある平均値を持つということは言える。一歩進んで、このオブザーバブルがその状態に対して、ある特定の値をもつ確率というものも考えられる。この確率は前の一般の仮定から次のようにして求められる。そのオブザーバブルをξとし、その状態は規格化された固有ケット|x>に対応しているものとしよう。すると一般の仮定により、ξの平均の値が<x|ξ|x>となるだけでなく、ξの任意の関数を例えばf(ξ)とすると、その平均値が<x|ξ|x>となることもわかっている。)9.交換できる性質と両立できる性質ある状態が同時に二つのオブザーバブルの固有状態になっていることがある。)こうして、次の式が導き出される。この式を見て直ぐに想像されるように、同時に二つのオブザーバブルの固有状態になるものが存在する見込みが一番ありそうなのは、ξn−nξ=0となって二つのオブザーバブルが交換すときだけである。交換しない場合でも、同時に固有状態になるものが、有り得ない訳ではないが例外的である。他方、二つのオブザーバブルが交換すれば、同時に両方の固有状態となるものが、完全な組を作る数だけ存在する。これは次に証明する通りである。