原子の現象はニュートン力学では、表現できない。新しい物理学が必要である。観測精度には限界が存在する。光子のかたより光子のかたよりを考える。実験で知られていうように、直線的に偏った光を用いて光電子を放出させると、電子が特によく飛び出す方向がある。結晶に光子を一つ入れた場合、吸収されたり、通り抜けたりするが、その過程は人知を超えてるように思える。電気石の結晶に光子を一つ当てて、それを観測すると、光子が光軸に対して平行か垂直に偏っているかを観測するこのなり、この観測が影響して、光子を完全に平行か垂直に偏っている状態に追いやってしまうことになる。光子の運動量はアインシュタインの光電法則により決まる。光子の干渉は量子力学では、どう述べられるか。結晶の例で、光子は結晶内で二つの状態の重ね合わせと考えられる。二つの状態の一つを観測で確定したら、他の状態はどうなるのか、他方の状態の可能性はなくなるだろう。このような方針で光の粒子性と波動性の調和を量子力学はもたらすことができる。このようなことは、最近の理論によれば光子だけでなく、広く物質にも適用される。重ね合わせと不確定の性質ここまでの主張が奇妙で納得ができない人がいるかもしれないが、物理学は、基本法則が内部に矛盾を含まないものを明らかにすること解釈をすればよい。前の主張が何の役に立つのかについて:古典物理では決定論的だったのが、量子力学では表現が複雑になった。状態の重ね合わせが問題を簡単にしてくれるので帳消しである。微小過ぎて決定論的には考えることはできない。光子に関しては、前に指摘した通り状態の重ね合わせで表現できる。体系状態とは、掻き乱されない運動と定義できるだろう。量子力学の重ね合わせの原理について明確な一つの状態にある場合は、複数の状態の重ね合わせと見なしてよい。逆に無数の状態でも重ね合わせると一つの新しい状態が生ずる。これは、一つの波をフーリエ変換で分解するのに似ている。各状態に“重み”—状態の優先度—の概念を考える。振動する弦や膜は、波の1次方程式に従うから、重ね合わせの原理が成り立っている。この類推から、量子力学は“波動力学”と呼ばれるようになった。新しい物理学、量子力学の形式化を行う。この形式が正当たるかは、自己矛盾がないことと、実験結果に合うかどうかで決まる。この形式を作りあげる手始めとして、ある一つの時刻のでの力学系のいろいろな状態の間の数学的関係を取り扱うことにする。いくつかの状態を、何か適当な方法で加え合わせれば新しい状態が生じるであろう。加え合わせるものは、加え合わせた結果が同じ性質のものと、ならなければならないが、これにはベクトルが最も分かり易いだろう。力学系に適用するには、普通のベクトルでは、一般性がたりないので、量子力学では無限要素のベクトルを採用する。量子力学用ベクトルには、特別な名称があると便利である。そこでケット・ベクトル「|>」を導入する。対象Aのケット・ベクトルを「|A>」と表す。ケット・ベクトルは複素数を掛けたり、また互いに加え合わせることができる。|A>と|B>からc1|A>+c2|B>=|R>あらゆる値を取るパラメータxに対して∫|x>=|Q>などとできる。従属しているケットあるケットが、他のいくつかのケットの1次結合で表すことができるとき、そのケットは、いくつかのケットに従属しているという。独立しているケット逆に、1次結合で表すことができないとき、独立しているという。管理人注記:このような、曖昧で具体性が全くない定義は数学的には無効であり、最大限に好意的に解釈して何も言っていない。))ある特定時刻の力学系のどんな状態も、それぞれが一つのケット・ベクトルに対応している。対応の仕方は次のようである。状態がいくつかの状態の重ね合わせの結果生ずる場合には、対応するケット・ベクトルも、いくつかの状態に対応するケット・ベクトルの重ね合わせとして表せられる。重ね合わせの原理を数学的にまとめ上げる為には、もう一つの仮定を導入する必要がある。ある状態|A>に、それ自身を重ねても、元の状態が現れるにすぎないという過程である。)いま、あるケット・ベクトルに対する数φがあるとする。|A>に対して一つの数φが対応し、またそれは、1次関数とする。この意味は、|A>+|A’>に対応する数は、|A>に対応する数と|A’>に対応する数の合計であり、cを任意の定数としてc|A>は|A>に対応する数のc倍である。すると、どの|A>に対応する数φをとっても、それは|A>と何か新しいベクトルとの積とのスカラー積と見なすことができる。ケット・ベクトルを|A>の1次巻子の一つ一つに対して、この新しいベクトルが一つずつ存在することになる。φをこのように見なして良いという根拠は、後に分かることであるが(式(5)および式(6)を見よ)、新しいベクトルは、それらを互いに加え合わせたり、それらに数を掛け合せたりすることができて、その結果同じ種類に属する別のベクトルを生ずるからである。これらの新しいベクトルの定義に用いられているのは、もちろん、元のケット・ベクトルとのスカラー積を作ったときに与えられた数になるということだけであるが、これらベクトルについて数学的な理論を作り上げてゆく上にはこの定義だけで十分である。)このベクトルのことをブラ・ベクトルあるいは単にブラと呼び<|と表す。対象のBケット・ベクトルを「<B|」と表す。単独の<B|や|A>を不完全な括弧(ブラケット)と呼び、<B|A>を完全な括弧(ブラケット)と呼ぶ。(何の根拠もなしで)こうして次の規則を得る。:完全な括弧(ブラケット)式は、全て数を表し、不完全な括弧(ブラケット)式は、全てベクトルを表す。どちらの部分をとるかに応じて、そのベクトルはブラまたはケットとなる。(3)全ての|A>に対して<P|A>=0ならば、<P|=0である。ここまでの話では、<B|A>=定数cであること以外には、<B|と|A>の間には何の関係もない。そこで、次の様な仮定を設ける。対応するブラの和であり、c|A>にに対応するブラは、|A>に対応するブラのc~倍だあるものとする。c~はcの複素共役とする。管理人注記:例えば、|A>=[2,3+4i,5−2i]として、<A|A>=6−3iを満足する<A|の要素の組み合わせは無数にあることは、少し考えれば分かる。従ってこの仮定は無効または、正しくない。))以降は、|A>に対応するブラを<A|と同じ記号を用いることにする。ブラ<A|やケット|A>の各要素は複素数である。これらは特別な種類の複素数なので、実数部分と虚数部分に分離することができない。いうのは、ブラとケットは異なる性質を持つベクトルだからである。この差異に注意してもらう為に、普通の複素数に対しては複素共役を、ブラとケットには共役虚という言葉を用いることにする。a’3=複素数cとなる。a’1,a’2,a’3]に対応した[a1,a2,a3]の組み合わせは無数にあるので一意には定義できない。先に示した通りブラとケットは1対1対応ではないので、共役虚は1意には決まらない。))ブラ・ベクトルとケット・ベクトルには、1対1の対応があるから、ある特定の時刻の力学系の、全ての状態を、ブラ・ベクトルの方向を用いて指定できる。ケット・ベクトルの方向を用いるのと少しも変りがない。実際、理論の全体で、ブラとケットについて対称に作られて行くのである。(~:複素共役数であることを示す。常に成り立つと仮定する。ブラとケットの順番を入れ替えると複素共役数になるという話をした、こういう訳で、ブラやケットの空間について、ある意味で垂直なベクトルというものを考えることができる。これは普通の空間での垂直なベクトルの考えを一般化したものである。<A|B>=0の場合、<A|と|B>は直交しているという。ベクトルAの長さは、<A|A>という正の数の平方根として定義される。ブラやケット・ベクトルを作った場合、方向だけが決められているわけであって、任意の数因子だけの不定さがある。この数因子を、ベクトルの長さを1となるように選ぶ手続きを規格化と呼ぶ。規格化されたベクトルには、まだ完全には定まっていない。絶対値1の数、つまり、γを実数として、Exp(iγ)という数を掛けても、その長さが変わらないからである。このような数を位相因子と呼ぶことにする。上に述べたいくつかの仮定により、ある特定時刻の力学系の状態の関係について、完全な形式が整った。これらの関係は数学的な形で表れているが、その中には物理的条件が含まれている、そして理論を発展させると観測に関係した言葉を用いて表せられる結果が導かれるのである。力学変数とオブザーバブル1次演算子こんどは、ケット・ベクトルを考える。ケット|F>がケット|A>の関数であるとする。この関数は1次関数であるとし、ここでは演算子αで表す。(0)演算子αは必ず左側に置くという規則にする。演算子の条件は次式で表せられる。(1)ある1次演算子をどんなケット・ベクトルに施した結果も全て与えられている時には、この1次演算子は完全に定義されているものと見なす。演算子は次の性質を満たす。α、βを演算子とする。(2){αβ}|A>=α{β|A>}ただし、α{β|A>}≠β{α|A>}となるはずである。αβ=βαのとき、αとβは交換するという。積として意味を持つものが、もう1種類ある。|A><B|のように、ブラとケットの位置を逆にしたものである。