強い正結合とIIAと市民主権の3条件からの帰結である。いうことは、「パレート原理」と呼ばれる。緩和すると、見通しがよくなる。ものはないということを証明した。グループ縮約補題)はだいたい以下のように証明される。2つのサブグループG1とG2に分割できて、いずれかが決定力を維持する。仮にG1のメンバーすべての選好が、r(G1,x,y)、r(G1,x,z)、つまり、G1のメンバーは一致してxがベストだと考え、またr(G2,x,y)、r(G2,z,y)、すなわちG2のメンバーすべてが、yを最悪と考えていたとする。G以外のメンバーの選好はどうであってもかまわない。このときG1またはG2が決定力を有することを示すことができる。ついて決定力を持つことになる。(すべてのペア比較について)G1は決定力を持つ。Gは決定力もつと仮定したから、r(x,y)となる。よって推移率により、r(z,y)を得る。(z,y)について決定力を持つ。すれば、G2は決定力を持つ。そのステップ2の証明に文表現上のちがいがある。2種類の決定力の同等性を考えればよい。フィールド拡張補題)の証明も紹介する。x,y,a,bを相異なる4つの社会状態とする。(そうでない場合の証明も同様。r(-G,a,x),r(-G,y,b)かつそれ以外のペアについては任意の選好順序である。パレート原理に従いr(a,x),r(y,b)となる。よって推移率から、r(a,y)、再び推移率からr(a,b)となる。だれかの選好順序に依存して変わることはない。Gは(a,b)について決定力を持つことが示された。グループサイズがシングルトンになるまで細かく割ればよい(スッテプ3)。すると、その意味はかならずしも明確でないように思われる。決定力(あるいはピボタリティ。ほかのどのプロフィールでもやはりそうならねばならないということだ。検討してみることになった。Arrowの決定力伝播は表にするとよく分かる。Arrowの証明のガチガチ感を解消してくれる。まで伝播させることができるというしくみだ。選好組(ラテン方格)が明示的に用いられる。それ以外の2ペアでは対立する意見を持つ。案については互いの最悪と最善の両極に位置する。このラテン方格は投票背理において鍵となる選好パタンである。渡すことになるということを示すために、非明示的にそれが現れる。あることだけ示せばよいから、IIAを使わなくてすむ。Arrowの定理の2×3のケースの自動証明を次の方法で行う。再帰的に構成し、これによって独裁者を帰結することを示す。用いて、生成経過を調べてみた(auto_swf(_,_,iia(4)))。エクセルで集計したものである。ようすが視覚的にわかるよう工夫してある。探索のようすが集計されている。19個目のSWFの候補であった。破棄したところで、探索を終え、証明を終了している。第B列から第E列までの4列に写してある。それ以外の部分は、計算・集計・グラフ化のために追加した。データの値はプロフィールおよびSWF値に使った順序のモデル内番号である。すると、該当する行のC〜E列は、それぞれ6,6,1となる。したSWFの要素になっている場合、第F列の値が1、それ以外は値0である。第G列はそのプロフィールが何回目の割当ての試みであるかを表す。セルの値はSWF値に使った順序番号である。決定済みのところは、番号に100を加えた。その効率を図表にまとめた。ほとんどの値は試していないことが、より明確になるだろう。よる社会的順序の割り当てが試みられていることに注意されたい。試行錯誤中の(そして結局失敗する)ところは、黄色で示される。1と2は、それらの縮小表示である。実験結果からわかることを手短に述べよう。社会的順序、すなわちSWFの一つの値の候補を見つけようとする。その第72番目であり、しかし2回しか値を変えていない。それ以降のやりなおしは4回だけであり、最後のそれは第87番目である。満たす(可能なSWFの局所的な)パタン120個の最後に生成されるものだ。第82番目でこのプロフィールに対するSWFの値r(5)が確定した。代替案と人に関して、再帰するように、プログラムを書き換えればよいと思う。