[場合の数]A〜Eの5チームが参加して、サッカーの総当たり戦を行うことになりました。全10試合を毎日1試合ずつ10日間に分けて行います。1日目の対戦カードは、前回優勝のAチームvs初参加のEチームと決まりました。組織委員会は残り9試合の対戦順を考えています。どのチームも、試合をした翌日は試合がないように対戦カードの順番を決めるとき、これらの決め方の中で、最終日の試合にAチームが出場するような決め方は何通り考えられますか?全部で何通りの決め方があるでしょう?2.解答例1(トトロ@Nさん、杉本未来さん、Taroさん、Gouさん、高田修成さん、長野美光さん、高橋道広さん、あんみつさん、有無相生さん、圭太さん、他多数)Aチームがいつ対戦するかに注目して考えます。AチームがEチーム以降に対戦する順番を選ぶ選び方は、B、C、Dを並べる順列の数=3!=3×2×1=6通りありますので、B、C、Dの順番に対戦する場合を数えれば、その6倍が全体の場合の数となります。Aチームが対戦の間に休む試合数に場合分けしてみましょう。途中の対戦カードは1通り(上記例では、C対D)に決まります。途中の対戦カードは2通りになります。(上記例では、B対C、D対EまたはB対D、C対E)なぜなら、2試合目はA、Eチームとも休みですから、B、C、Dの3チームが対戦する3通り、3試合目はC、D、Eチームの対戦3通りありますが、2試合目が決まれば3試合目は自動的に決まり、2試合目がC対Dのときは不適だからです。上記例で3試合目がB対Cとすると、2試合目も4試合目も(1)の場合同様1通り(同じ対戦)になってしまうからです。次に、Aチームが何試合目に対戦するかを考えてみましょう。9]、[1、3、6、8]、[1、3、5、7]の7ケースに限られることが分かります。Eチームの対戦も同様ですが、A対Eのカードは第1試合のみですから、それ以降同じ試合に登場することはありません。8]の10ケースに限られます。ところが、(1)と(2)は、AチームとEチームを入れ替えた場合に相当しますので、(1)のみを考えれば十分です。途中の試合は、それぞれ2通りありますが、第5試合にEチームが出ることはありません。結局、題意に適するのは、2通りあることが分かります。(1)−3、4、5の場合Eチームの試合順に不適なものをまず除くと、(1)−3の場合は、第6、8試合に同じB対Eが来て不適(1)−4の場合は、第8、10試合に同じB対Cが来て不適(1)−5の場合は、この時点で不適となり、いずれの場合も不適となります。(2)の場合は、以上から(2)−1、2のみ適することが分かります。実際、(1)−1、2でAとEを入れ替え、さらにAチームの対戦相手がB、C、Dの順になるように入れ替えすると、下図のように2通りの結果が得られます。以上より、最後の試合にAチームが出るのは、(1)−1、2の2通り×6=12通り、出ないのは、(2)−1、2の2通り×6=12通り、合計24通りとなります。答:(1)12通り(2)24通り以上3.解答例2(電子滅入さん、数楽者さん、他)10の対戦カードを円で表し、その前後に選べる対戦カード同士を線分で結んで考えます。解答例1で見たように、1つの対戦カードと結べるカードは3個となりますので、全体として下図のように表せます。解答例1と同様、Aチームが出るカードに着目し、対戦相手はB、C、Dの順として考えます。解答例1で第1、4、7、10試合に出るケースしかないので、下記の2通りになることが容易に分かります。下記の2通りになることが分かります。従って、最後の試合にAチームが出るのは、2×6=12通り、全体では4×6=24通りとなります。