7色のセロファンがあります。このセロファンを、白い四角形の画用紙の上に置いていきます。3枚のセロファンを置くと、左図のように(白も含めて)最大で8色ができます。7枚すべてを使うと最大何色ができるでしょうか?(注)セロファンを重ねたときに、全て異なる色になるものとします。2.解答例1(うっしーさん、水宮英理さん、ふぇるまーさん、きょえぴさん、noetherさん、N.Nishiさん、糸瀬善人さん、他多数)セロファンの枚数をnとして、n=1〜4の場合を描いてみます。(図の色付けは、領域数を数えやすくしています)最大色数をAnとすると、一見An=2nで表されそうですが、n=4のときA4=14となりますので、どうも違うようです。1色となるので、An=n(n-1)+2が成り立つようですので、n=7の場合は、7×6+2=44色と予想されます。(注)この方法では、44色を作ることは分かりますが、45枚以上はできないことを示せてはいません。以上3.解答例2(ταροさん、萬田銀次郎さん、C-Dさん、はまやさん、中村明海さん、澪桜葵美翔さん、有無相生さん、M.Hossieさん、みずなぎさん、圭太さん、他多数)Anに関する漸化式を考えます。2つの円は最大2点でしか交わらないことに注意しましょう。(n-1)個の円でAn-1色できているところに、もう一つの円を付け加えたとき、それぞれの円との交点は高々2個ですから、最大2(n−1)個の交点が増えることになります。このとき、n番目の円は2n個の円弧に分割されますが、円弧1つに対し新たな領域が1個増えることになるので、An−An-1=2(n−1)となります。A1=2から順に計算していくと、A7=44を得ます。Anの一般式は次のように求まります。実際44枚作れるかどうかは示せてはいません。従って、解答例1と解答例2を合わせれば、最大44色であることが分かります。