無料相談も受け付けています。今日は、有名中高一貫校に出そうな試験問題を解いて、コツを学ぼう!第1弾:数A(場合の数)編です。公立の高1生はとても参考になると思います。集合の要素の問題を2つ問題180人の生徒に数学と英語の試験を行った。数学の合格者は60人、英語の合格者は40人、2科目とも不合格だった人は8人だった。次の人数を答えなさい。1.2科目とも合格した人2.数学だけ合格した人3.英語だけ合格した人この時に集合の要素それぞれを求めます。数学だけの合格者=a英語だけの合格者=b両方の合格者=cとおく。a=32,b=12,c=28と求まります。よって、答えは1.28人、2.32人、3.12人になります。A,Bの2つの集合の場合、Aだけ、Bだけ、A∩B、AでもBでもないの4つの要素に分けられるのでそこから求めることができます。集合の要素に分けてその数を求める手法は次の応用問題にとても有効です。問題2ある年のオリンピック競技に、500人が参加しました。成績1位から3位には金,銀,銅メダルがそれぞれ渡されました。競技によっては複数の人が同じメダルをもらうこともあった。3種類すべて取った人はいなかったが、2種類とった人は24人いて、このうち金メダルを含む人は14人、銀メダルを含む人は15人だった。金メダルだけを取った人は銀メダルを取った人よりも25人少なく、また、金メダルだけを取った人は、銅メダルを取った人の50%であった。メダルを1つも取れなかった人は357人であった。以下の問に答えなさい4.金メダルを取った人の数5.銀メダルを取った人の数6.銅メダルを取った人の数この場合、集合の要素はa.金メダルだけを取った人b.銀メダルだけを取った人c.銅メダルだけを取った人d.金と銀を取った人e.金と銅を取った人f.銀と銅を取った人g.メダルを取れなかった人になります。ここでまず、2種類メダルを取った人に着目します。問題文よりd+e+f=24...1,d+e=14,d+f=15よって、d=5,e=9,f=10が求まります。このように、ベン図を書かなくても要素の数を書くことで解く方法、身に着けておくと、集合の要素の応用問題の時に力を発揮します。多角形の頂点を結ぶ問題もしっかりと正多角形の頂点を結んでできる図形の数もよく出ます。正八角形の8個の頂点から3個を選んで線で結び三角形を作る。この時、つぎの数を求めよ。(1)三角形の総数(2)正八角形と1辺を共有する三角形の個数(3)正八角形と2辺を共有する三角形の個数(1)は、8個の頂点から3個の頂点を選ぶ場合の数なので8C3=8×7×6/(3×2×1)=56個(2)は、1つの辺から別の頂点を1つ結ぶ場合の数で、辺を作っている頂点と辺の隣の頂点を除く4つの頂点を選べる。これが8つの辺それぞれにあるので8×4=32個(3)は、隣り合った辺、すなわち隣り合った3つの頂点を結んでできる3角形、各頂点につき1つできるので、1×8=8個よく見る問題ですが、しっかり場合の数を考えれば問題なく解けると思います。(4)対角線の本数を求めなさい(4)対角線は、ある頂点Aから、頂点Aと隣の頂点2つを除いた頂点に引くことができるので、8×(8-3)=40本、ただし、この時2つの点は重複するので40÷2=20本になります。多角形の頂点を選ぶ場合の数で難しいのは、4角形を作る場合です。(5)4個の頂点を結んでできる4角形の総数(6)4個の頂点を結んでできる4角形のうち1辺のみを共有するもの(5)は、8個の頂点から4個の頂点を選ぶ場合の数なので8C4=8×7×6×5/(4×3×2×1)=70個これは普通の頂点を選ぶ場合の数ですが、(6)は少し難しいです。(6)1つの辺から別の頂点を1つ結ぶ場合の数で、辺を作っている頂点と辺の隣の頂点を除く4つの頂点を選べる。4つの頂点から2つの頂点を選ぶとき、隣り合った点を選ぶと辺を作るので不適、従って、4つの頂点から隣り合わない2点を選ぶ選び方は3通り、これが8つの辺それぞれにあるので8×3=24個(6)は一見ややこしそうですが、上の図で、赤い辺を基準に4角形を作ることを考えると、隣り合わないような2点の選び方は、A-C,A-D,B-Dの3通りしかないというのは見ると分かると思います。正多角形の頂点を選ぶ問題は図が無くてもわかりますが、ややこしくなったら図にするとよいと思います。8個の文字を全部使ってできる、以下の順列について答えなさい。(7)異なる並べ方すべて(8)J,P,N,Sが連続する並び方(9)JはPより左側にあり、かつPはNより左側にあるような並べ方(7)は、8個の文字で、重複している文字が、E、Aそれぞれ2つずつよって、8!/(2!・2!)=10080通り(8)J,P,N,Sをひとつの塊のXとおいて、X,A,A,E,Eの5つの文字で作る並べ方と考えるとよいので5!/(2!・2!)=30通り(9)他の文字は無視して、J,P,Nの3つ文字だけを見るとJPNの順に並んでいるということになります。J,P,Nの3文字の並べ方は、3!=6通り、そのうち、J,P,Nの順に並ぶのは1通りしたがって、10080÷6=1680通りこういう並べ方の場合は、(8)や(9)のように特定の部分に着目して、塊にしたり、特定の場合の数を求めて全体から割るような手法で解ける場合が一般的です。男子4人と女子4人で円形に座る。「女子・男1・男2・男3・男4」の5人で円を作る円順列を考えます。これは(5-1)!=24通りです。次に女子を一塊にしましたが、その中の女子4人の並び方が、4!=24通り答え:24×24=576通り(11)男女が交互に並ぶ並び方は以下のように考えます。8個の円に並んだ椅子がある。a.まず、男子4人が円形に座るb.男子の間に女子が座るa.は4人の円順列なので(4-1)!=6通りb.は4つの場所に女子が座るの順列なので4!=24通り答え:6×24=144通り男子が座ってからその間に女子が座るヤフー知恵袋も役に立つ?有名中高一貫校の数Aの問題を基に、試験に出やすい数Aの問題について解説してみました。今回の記事を作成する際に、答えがあってるか確認したくってネットで調べようとしました。すると、どの問題もヤフー知恵袋に質問があってびっくりしました。いうことはこうした問題や類似問題は、定期試験に必須の問題であると考えられます。マスターしてほしいです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。*サイト次回のコメントで使用するためブラウザーに自分の名前、メールアドレス、サイトを保存する。date*日本語が含まれない投稿は無視されますのでご注意ください。数学B:等差数列、数列の和の公式と求め方がわかりやすい話はい、数学Bの話もしてみたくなりました。文系の人には数列やベクトルは「苦手」という人は多いですね。今日は高校数学A「場合の数と確率」からサイコロの問題について取り上げてみました。みなさん、サイコロを転がす機会って普段ありますか?スマホゲームで転がしている人もいそうですね。高校でも中間試験が始まります。高校1年生は初めての高校での試験、出だし良くいい点を取りたいですよね。大学入学共通テストで導入される英語の民間検定試験について、国立大全82校の活用予定が公表されました。解答と解説をしました。解答と解説をしました。無料相談も受け付けています。