成り立つことから、垂直剪断変換と同値である。二重数平面はガリレイ不変量と呼ばれる研究においてガリレイの素朴な時空を表すのに利用できる。t'=t,\,x'=vt+x}のように見えることによる。全体の成す集合を決定することができる。実部の二次方程式になるので、輪体は抛物線になる。x'=x_{1}=v/2a,\,y'=y_{1}+v^{2}/4a}との合成変換に関して不変である。生成するイデアルで割って得られる剰余環R[X]/(X2)として記述できる。可換環を成すことは明らかである。これによって多項式環から遺伝する乗法が、二重数の全体に実二次元の可換結合多元環の構造を与えることもわかる。可逆ではないから、体にも多元体にもならない。実は任意の非零純虚元が零因子になるのである(後述)。一般化[編集]先の構成法はもっと一般の状況に対して適用できる。割って得られる剰余環として定義するのである。このような環及びその一般化は、導分およびケーラー微分(純代数的な微分形式)の代数的理論において重要な役割を果たす。おける単元となることである。生成する主イデアルで与えられることがわかる。微分法[編集]二重数の一つの応用先として自動微分の理論がある。ここでは上記の実数体上の二重数を考える。