新しい事柄を学習する度に、それとからめて対称式の値に関する問題を演習します。対称式の問題を苦手とする高校生は多いです。対称式の計算は、発展的なテキストでは中学3年から登場します。x+y=3、xy=2であるとき、x2+y2の値を求めよ。x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2・2=9-4=5上の式の1行目から2行目への転換がわからないという子は案外多いのです。無いものを足して、その後同じものを引いて辻褄を合わせる、その考え方が難しいのだろうと私は思っていました。実際、この考え方を利用する2次関数の平方完成でも最初は苦労する子がいます。平方完成する際にも、最初は何をやっているのか理解できず、かなり補助が必要な子はいます。習得まで時間がかかることはありますが、2次関数の平方完成に関しては最後まで理解できないということは少なく、大抵の高校1年生ができるようになる作業です。平方完成に関する練習問題は豊富にあるので、自力でできるようになるまで練習できるから、ということもありますが、それだけでなく、対称式の値に関する問題ほどの激しい抵抗感を示さずに理解するのです。この2つは、わかりやすさという点で、何が違うのでしょう?不思議です。そこにつまずくから注意して」と促していけるのです。教える側には、平らな道に見えるところでつまずく子がいるように感じることがあります。平らな道なのにそこでつまずく子が多いことだけは現象としてわかっているのです。目を凝らしても、つまずく石は見えない。教えることの難しさの1つです。これは以前、中学3年生に理科を教えたときのこと。「塩化銅水溶液が青く見えるのは、あるイオンが原因です。そのイオン名を答えなさい」という問題を解いたときのことです。その子の誤答は「水素イオン」でした。その子は納得しませんでした。「何だよ、いちいち覚えるのかよ。「・・・・うん?」その子の言うことは一言一言の飛躍が激しく、あっという間に怒り出していました。彼の中で、いくつかの知識が頭の中で癒着し、妙なつながり方をしているようでした。水溶液の中には水素イオンがある。水素イオンがあるものは酸性。最後の「酸性は青い」が特に謎なのですが、とにかくこの論法でいくと、塩化銅水溶液を青く見せているものの正体は水素イオンということになってしまうのでした。この誤解を解くのはかなり大変でした。「わからない」というのは、論理を追えないことではないのかもしれません。複雑な論理だから途中で迷子になっているのだろうとこちらは思い、ゆっくり説明したり繰り返したりしても、生徒の理解が進まないときがあります。「どこからわからない?」と質問します。板書の1行ずつを示しながら、あるいは、論理を細かく段階に区切りながら、「ここまではわかる?」と確認しようとします。どこからわからないのか、どこから説明すればいいのか。した指示に反応してくれず、生徒が何か別のことをずっと言い続けることがあります。論理の癒着がその子の中で起きている場合に、そうなることが多いようです。他人にはその論理は追えません。その子は論理的なことのつもりで話しているので、私が怪訝な顔をすればするほど、むしろ私を説得しようとします。対称式の問題でも、先日、そんなことが起こりました。x+y=3、xy=2のとき、x2+y2の値を求めよ。x2+y2=(x+y)2-2xy=32-2・2=9-4=5「それ、最初に入れたらダメ?」この問題を解説していたとき、そう質問されたのです。具体的な式を言ってくれれば、最初に入れる、最初に2乗するとは何をすることなのか、わかるかもしれません。それには答えてくれず、何かをずっと説明しているのですが、よく意味がわからないのです。授業はここで膠着するか?でも、この件に関して、以前に、私は大人のための教室で、重要なヒントを得ていました。x2+y2=(x+y)2=32=9私はそう板書して、その子に問いかけました。「こういうこと?」その子の顔がパッと輝きました。これは間違っています。「えっ?」その子は、何を誤解していたのか?x2+y2=(x+y)2だと思っていたのです。x2+y2=(x+y)2=32=9と、最初に数字を入れて2乗すれば済むことなのに、なんでまわりくどい計算をしなければならないのかと、それを訴えていたのでした。因数分解の公式ですから、当然わかっていると教える側は思いこんでいます。そのときはなぜか思いこんでいるので、対称式の問題の説明が理解できません。すれば済むことを、なぜまわりくどい変な解き方をしなければならないのかと不思議に思い、正しい解き方が理解できないようなのでした。x2+2xy+y2=(x+y)2という因数分解の公式は知っているのです。同時に、x2+y2=(x+y)2だとも思っている。知識が二重構造になっていて、上の2つのことが頭の中に同時に存在している。それはそれ、これはこれ、になってしまっているようでした。乗法公式を学習する前の、例えば文字式を学習し始めたばかりの中学1年生に解かせたら、(x+y)2=x2+y2としてしまうと思います。してしまう感覚が、乗法公式を学習した後も残ってしまうのだと思います。数字を代入してみるとわかります。