山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。今回は、「集合」の話。「集合」は、私が子どもの頃は、中学1年生の最初に学ぶ内容でした。現在は、高校1年生で学ぶ内容になっています。数Iでも数Aでも出てくるちょっと特殊な単元です。数Aの最初に少しだけ出てくるのは、「集合」の基本的なことを知っておかないと、数A「場合の数と確率」の考え方の中で理解できないことがあるからでしょう。数Iでは「命題の真偽」「十分条件と必要条件」「対偶による証明」「背理法による証明」などとともに学習します。用語も時代によって改められてきました。A∪Bの、「∪」という記号。私が子どもの頃は、「むすび」と読みました。「むすび」の「む」の字の形が、∪の文字と似ているので、それで覚えましょうなんて覚え方がありました。現在、「A∪B」は、「AカップB」と読むか「AまたはB」と読みます。「カップ」と気取って読むと格好いいのですが、意味が伝わってこないので、結局、「∪」と「∩」の区別がつかなくなって混乱する子がいます。カップは、マグカップ、大きくてなみなみとたくさん入っているほうだよー、と印象づけて覚えれば何とかなるでしょう。「A∩B」は、「AキャップB」あるいは「AかつB」と読みます。昔、これは「まじわり」で、「交」という漢字の下の部分と同じ形、というイメージで覚えました。今は、キャップは「鉛筆などに使うキャップ。マグカップと比べると狭いほう」というイメージで覚えると良いでしょう。集合の基本を学んだ後に学ぶのが、ド・モルガンの法則。オーガスタス・ド・モルガン。19世紀のイギリスの数学者です。̄(オーバーライン)を文字の上に描く方法がわからないので、かなり伝わりにくい話になりそうですが、できるだけ言葉で説明すれば、A∪Bの補集合、つまり「AまたはB」の否定は、Aの補集合とBの補集合の共通集合、つまり「AでなくかつBでない」と等しい。A∩Bの補集合、つまり「AかつB」の否定は、Aの補集合とBの補集合の和集合、つまり「AでないかまたはBでない」と等しい。全体集合をクラスの生徒全員とした場合、Aは「スマホを持っている」人の集合。Bは「パソコンを持っている」人の集合。「スマホも持っていないしパソコンも持っていない」という内容は、等しい。「スマホを持っていないか、またはパソコンを持っていない」という内容に等しい。うん、それはそうですよね。個数の少ない簡単な集合なら、ド・モルガンの法則なんか使わなくても、そのままで解けるのですが、個数の多い集合の、その個数を求める問題になると、この法則を使わないと混乱が起こります。U={x|xは100以下の自然数}を全体集合とする。B={x|xは3の倍数},とするとき、「Aの補集合またはBの補集合」の個数を求めよ。これをまずはこのままで解こうとすると、Aの集合の個数は、100÷2=50。よって、Aの補集合の個数は、100-50=50。Bの集合の個数は、100÷3=33あまり1。よって、Bの補集合の個数は、100-33=67。それでは、Aの補集合またはBの補集合の個数は?単純に50+67=117として良いかというと、全体集合の個数を上回っていることからもわかる通り、これは、Aの補集合とBの補集合の共通部分をダブって数えてしまっています。ここから、Aの補集合とBの補集合の共通部分を引かねばなりません。Aの補集合とBの補集合の共通部分とは、すなわち、2の倍数でも3の倍数でもない数です。2の倍数でも3の倍数でもない数?そんなのどうやって計算したら良いのでしょうか?試しに1から6までで考えてみましょう。1,2,3,4,5,6この中で、2の倍数でも3の倍数でもない数は、1と5の2つです。今後もこの周期で、2の倍数でも3の倍数でもない数があらわれるでしょう。100÷6=16あまり416周期あまり4だとわかります。1周期に2個だから、2×16=32最後のあまり4の中にも2の倍数でも3の倍数でもない数が1個ありますから、32+1=33これで、2の倍数でも3の倍数でもない数は33個とわかりました。したがって、Aの補集合またはBの補集合の個数は、50+67-33=8484個が答えです。答えを出せないことはないけれど、面倒くさいです。これ、ド・モルガンの法則を使えば、簡単です。Aの補集合またはBの補集合は、A∩Bの補集合です。A∩Bの個数を求めます。これは、100以下の自然数のうちの6の倍数の個数に等しいです。100÷6=16あまり4つまりn(A∩B)=16したがって、それの補集合の個数ですから、100-16=84答えは、84個です。