ここで、簡単のためにフェルミ分布関数を階段関数で置き換えた。それぞれ探針、試料の局所状態密度である。g-factorは考慮していない。対して緩やかに変化する関数となる事が期待される。従って、局所状態密度を表す指標として良く((dI/dV)/(I/V))が用いられる。比によってスペクトルを計算する。値が小さいために発散することが知られている。で置き換えるなどの数値的な処理方法がある[20]。以下の図による系を考える。先行論文による結果である。曲線[18]139バンドギャップの存在を再現していることがわかる。密度汎関数に基づいているので、ギャップを過小評価している。密度汎関数法の枠組みの中ではファンデルワールス力を計算することは難しい。法に基づいた化学的な力とファンデルワールス力の和によって、試料表面から探針への力を算出する。算し、原子に関しての和を取ればよい。aについてのエネルギー勾配から求める。複雑ではあるが、(7)式のエネルギー勾配を計算すると以下の様になる。働くファンデルワールス力を計算する。それぞれハマカー定数、探針先端の開き角、探針の長さ、探針先端の曲率半径である。AFM(NC-AFM)の計算を行う。探針を振動させながら試料表面を走査し、探針が試料表面から受ける力によって生じる振動数や位相の変化を画像化する。方がより感度が高く、高い分解能での観測が可能であると言われる。扱い、周波数シフト像を計算して出力する。0mによって求められる事が知られている[22]。それぞれ摩擦係数、カンチレバーのばね定数、探針の長さ、試料表面から探針に働く力、カンチレバーの共鳴周波数、カンチレバー先端の振動振幅である。試料はSi(001)表面が水素終端されたものである。探針は、青いボックスの範囲を振動しながら走査する。なり、水素原子の位置では周波数シフトの絶対値が大きくなっていることがわかる。応用として様々な走査式顕微鏡が開発されてきたが、その中で、ケルビンプローブフォース顕微鏡(KPFM)は物質表面のミクロな仕事142関数、正確には局所接触電位差の分布を計測可能とする有用な技術である。物質表面から電子を一つ取りだす最小のエネルギーを仕事関数と呼ぶが、仕事関数は原子の種類だけでなく、面の方位や、表面に付着している原子の影響も強く受ける。KPFMは巨視的平均量としての仕事関数ではなく、さらにその微視的な分布を局所接触電位差という形で観測することで、半導体の物性を評価したり、金属触媒の付着による電荷の移動を評価するなど表面科学の新しい展開を可能とした大いに期待される技術である。部分が(a)では白の(b)では黒の円になっている。組み合わせたものである。ケルビン法は接触電位差を計測することで仕事関数を評価するための手法であり、以下の様な原理に基づいている。真空の準位とフェルミ準位の電位差に相当する。間でフェルミ準位が一致するように電荷の移動が起こり、それぞれの金属表面は帯電する。切な電圧を印加することでこの帯電を解消することが出来る。Aeが接触電位差である。緩やかに代えながら重畳させた交流成分と同じ振動数で変動する容量あるいは電極間力が消失する条件から求められる。