極大元を取ったりアドベントカレンダー2019TAMAGOこんにちは。TAMAGOと申します。言い換えることができます.Zornの補題の証明のためにこの命題を経由すれば,残りの示すべき部分はXが帰納的な順序集合であるとき,∀x∈X[f(x)>x]となるfは存在しないですね.これを示すために命題を次のように言い換えて観ましょう.φ(x)≥xとなる関数φ全体の集合をFとする.Fは空ではない.(実際,φ(x)=xとすれば条件を満たす.)Fの任意の写像φに対して,φ(a)=aとなるa∈Aが存在していれば,命題の条件を満たすfは存在しない.これを示すためには,指定されたφに対してφ(a)=aとなるaを用意してくれば良いですね。証明の一部に誤り・紛らわしい部分があったため修正・加筆を行いました(12/23)この記事を書いた人TAMAGO数学とかをしています。