BrainPad株式会社ブレインパッドのデータ活用に関する取り組みや製品・サービス開発の裏側、社員の日常などをご紹介します。本ブログでは、メディア広告のマーケティング施策などに用いられる、予算配分最適化の技術をご紹介いたします。(FDH)FDHiFDH予算配分最適化への適用例まとめ参考文献イントロダクションこんにちは、アナリティクスサービス本部の加藤です。現在私は研究開発グループの下で新たなデータ分析手法の研究開発の仕事に携わっています。研究開発グループでは、ブレインパッドに依頼されるデータ分析案件の品質向上を目的に、新たな分析手法の調査・開発と、実用化を目指しています。様々な研究テーマがある中で、私は予算配分最適化というテーマを扱っています。今回のブログでは、私達が予算配分最適化に利用している包絡分析法を中心に、分析手法の紹介をしたいと思います。各メディアにどのように予算を配分すれば利益が最大化するか、という問題について検討します。広告費予算1500万円をどのように配分すれば利益が最大となるか考えたい。広告費の予算として1500万円があったとき、それをどの出稿媒体に、どのように配分するかを決定する、といった問題です。予算配分最適化では、まず過去の出稿実績からシミュレータの作成を行い、そのシミュレータをもとに利益を最大化する予算配分を求めます。モデリング(SEM)状態空間モデル機械学習などが挙げられます。それぞれ分析手法としては有用なのですが、予算配分最適化への応用は様々な仮定を置く必要があります。対応するパラメータと考えて、という式で表されます。テレビCMとWeb広告の間に相乗効果がある場合、この式では相乗効果を表すことができません。そのため、各媒体の相乗効果を考慮した項をモデルに加える必要がありますが、どのメディア間に相乗効果が存在するのか主観的な仮説はあっても客観的には分かりません。このような場合、考え得る全ての相乗効果を式に追加することもできますが、モデルのパラメータが多くなってしまい、パラメータの推定には多くのデータが必要になります。広告への出稿実績とその売上に関するデータは一般的に観測数が少ないため、パラメータが多いモデルの学習は難しいです。総売上だと考えられるため、これらのデータを利用して予算配分最適化が行える分析手法が必要とされます。このような手法の1つが包絡分析法となります。DEA)は、入力に対する出力の効率性の評価をする手法の一つです。効率性を評価する指標としてまず思いつくのは、入力に対する出力の比率だと思います。各店舗の効率性を評価する場合を考えます。この場合は(売上/コスト)の値で比較を行うと、効率よく利益をあげられた店舗が定量的に評価できます。詳細に効率性を評価する場合を考えます。各店舗の広さや店員の数も入力として考慮する場合、単純な比率(出力/入力)では評価ができません。このような多入力・多出力の場合に効率性の評価をする時、包絡分析法が有用です。Hullについて簡単に紹介します。簡単にするためにコスト総額と売上総額について考えてみます。このように、1つの入力(コスト)に対して1つの出力(売上)の関係を考える場合は、入力値と出力値を2次元平面にプロットできるため、可視化が簡単です。意志決定者)と呼びます。ここで挙げている例ではDMUはある日の(コスト,売上)の組で記述されます。包絡分析法として解くべき問題を簡単に言うと、図2でプロットされている点を全て覆うことのできる線(包絡線)を求めよ、というものになります。この包絡線のことを効率的フロンティアと呼び、効率的フロンティアに囲まれた内側の領域を生産可能集合と呼びます。効率的フロンティアは、「これまでの実績に基づいて考えると、最も効率が良い実績はこの線上に乗るはずだ」ということを意味しています。生産可能集合に含まれているDMUは「効率的なDMUと同じコストをかけて売上が少ないDMU」、もしくは「効率的なDMUと同じ売上を出すために多くのコストがかかったDMU」と考えることができます。例として挙げたものが2次元で図示できるため、効率的フロンティアを求めることは一見簡単に思えますが、多入力・他出力の場合は難しいです。コストとして商品の仕入れにかかったコスト、広告にかかったコストの2点に着目する必要があれば、これは入力が2つの問題になります。売上だけでなく、ホームページの来訪者数についても考えたい、となれば出力が2つの問題になります。そのため、一般には高次元の空間中にプロットされたデータ点を囲う包絡面を考える必要があり、目で見て決めるといったことは不可能になります。実際には2次元で図示できるときも包絡線を目で見て決めているわけではなく、線形計画問題と呼ばれる数学の問題に落とし込んで考えます。解くべき問題を数学の言葉で記述しておけば、何次元でも包絡線を求めることが可能です。問題の設定の仕方によって、描かれる包絡線に違いが生じます。以下で3つの例を紹介します。CCRモデルを利用して求めた効率的フロンティアCCR(Charnes-Cooper-Rhodes)モデルは出力/入力の比が最大になるDMUを効率的なDMUと考えるモデルです。1-入力、1-出力の例では、原点とDMUを結んだ直線が傾き最大となるように効率的フロンティアが決められます。CCRモデルの評価基準はわかりやすいですが、このモデルでは効率的DMUが定まると入力値のスケールに関わらず効率的DMUの出力/入力の比が実現可能と考えるため、「1分で50回腕立て伏せができるデータがあるので、100分では5000回腕立て伏せできる」といった、考えている対象によってはあまり現実的ではない結果が得られることもあります。BCCモデルを利用して求めた効率的フロンティアBCC(Banker-Charnes-Cooper)モデルは観測されているDMU全てを包み込む凸包を構成するモデルです。CCRでは効率的DMUが1つでしたが、BCCでは凸包を構成しているDMUが全て効率的DMUになります。BCCモデルはCCRモデルと異なり、入力値のスケールによる効率性の変動が評価可能になります。Scale)モデルは原点もDMUと考えたBCCモデルです。DRSモデルの特徴として、入力値が小さい領域ではCCRモデル、大きい領域ではBCCモデルの性質を持つ効率的フロンティアが構成されます。包絡分析法の問題点これまで挙げてきた包絡分析法の問題点は、"凹んでいる"場所にあるDMUを効率的DMUと認識できず、DMUの効率性を過小評価してしまうことです。DRSモデルの効率的フロンティアの例。グラフの形状が凹んでいる部分を再現できない。Hull(FDH)があります。フロンティアは効率的なDMUを階段状に繋いで構成されます(図7)。FDHの効率的フロンティアは凹んでいる領域にあるDMUも適切な評価が可能ですが、冒頭で紹介したような予算配分最適化に利用することを考えると問題が生じます。階段状のフロンティアは、入力の変化に対して出力が変わらない領域が存在しますが、そのような性質は予算配分最適化に悪影響を与えます(図8)。FDHは階段状に効率的フロンティアを構成するので、コストを増やしても効率的な売上が変化しない部分ができてしまう。Hull(iFDH)を考案しました。iFDHを利用して求めた効率的フロンティアiFDHはまずFDHを行った後、効率的なDMUを直線で補間して効率的フロンティアを再構成します。これまで挙げた例と同様に、図9では2次元(1-入力・1-出力)でプロットしているため補間は簡単ですが、多次元での補間は複雑になります。2018」発表レポート~広告予算配分の最適化~)。出力が一定にならないという効率的フロンティアを構成することができるようになりましたが、予算配分最適化にどのように適用されるかを最後に紹介したいと思います。冒頭で挙げた広告費の例(図1)を考えてみます。広告費予算として1500万円があったとき、それをどの出稿媒体に、どの配分で使うのが良いでしょうか?この問題に対してiFDHを適用します。過去の出稿実績を用い、日毎のメディア媒体費と売り上げをDMUとして、効率的フロンティアを求めます。そのフロンティアをシミュレータとして使えば、図10のように最適な予算配分が行えます。効率的フロンティアを用いたシュミレーション結果のイメージ。各入力値(コスト)を設定すると、その入力値に対応する効率的な出力値(売上)が求められる。包絡分析法の問題点と、その対応としてのFDH・iFDH予算配分最適化への適用を説明しました。今回は包絡分析法やFDH・iFDHについて、予算配分最適化への応用を目的として説明しましたが、これらの分析法は、入力に対する出力の効率性を評価する、という形の問題に広く適用が可能です。ここでは説明できませんでしたが、多入力・多出力の効率性を評価してみると、それぞれのDMUがどんな特徴を持っているのか、改善のためにはどのようなことをしたら良いのか、といったことが定量的に評価でき、とても興味深いと感じています。使った分析だけでなく、蓄積されたデータを定量的に評価し業務の改善に役立てることを目的に様々な手法で分析を行っております。submittedブレインパッドは、さまざまな取り組みを積極的に実施しています。採用ページスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。