山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。今回の学習内容は「合同式」です。このような式を合同式という。定義は上のようにシンプルで、難しい言葉は何1つなく、込み入った論理も何1つないのですが、多くの場合、数学の授業史上一番の停滞となります。新課程になったばかりの頃は、「発展」として一応教科書に載っているこの内容を教える高校は多かったのですが、今は、私立高校や都立中高一貫校でも、教えない学校が増えてきました。あまりにも理解が進まないので、先生たちも匙を投げたかもしれません。苦労して時間をかけて教えても、入試にほとんど出ないですし。合同式を解説する難しさの1つは、具体的に説明すれば理解してもらえるとは限らず、その具体例に縛られて混乱したり誤解をしてしまう子が多いことにあります。それでも、具体例で説明しないわけにいきません。整数を7で割った余りで分類することを考えてみましょう。いう数には、1、8、15などがあります。これらは7を法として合同と言い、8≡1(mod7)と表すことができます。15≡8(mod7)でもあります。7で割ると2余る数はどうでしょうか。2、9、16などがあります。これらはこれらで、7を法として合同です。整数を4で割った余りで分類したらどうでしょうか。4で割ると2あまる数。いう数には、2、6、10などがあります。これらは4を法として合同です。ルールの基本はおわかりいただけたでしょうか?ヽ(^。^)ノぱっと感覚的に理解できれば何も問題ないのですが、最初に上手く呑み込めないと結局最後まで何だか納得できないという感情が尾をひくことになるようです。それは理解力の問題ではなく、何か固定観念があり、このことの理解を阻んでいるものがあるせいなのかもしれません。それが何であるのか、新課程にこの単元が登場し教えるようになってから、私はずっと不思議に思っています。混乱は、例えば「1は7で割ると1あまる数である」ということを知らなかった、あるいは納得できない、という小さいことからも起こります。1÷7=0あまり1商は0でも良いというのは単なる知識ですが、初めて知ると、これだけでも衝撃のようです。自然数に限っての話でもなかなか大変なのですが、合同式は整数全体、すなわち負の数も含んで考えます。6で割った余りで整数を分類してみましょう。自然数の範囲では、6、12、18、・・・・6≡0(mod6)、12≡0(mod6)。これはもう大丈夫でしょうか?次に負の整数を含めて考えると、-6も-12も6で割ってあまり0の数です。-6≡0(mod6)、-12≡0(mod6)。・・・・-17、-11、-5、1、7、13、・・・・という数列が見えてくると思います。この数列に出てくる数は全て6を法として合同です。-5=6・(-1)+1-11=6・(-2)+1-17=6・(-3)+1どの数もあまりが1になるのがわかります。よって、-5≡1(mod6)、-11≡1(mod6)、・・・。これでいかがでしょうか。^)ノ「いや、わからない。-5=6・(-1)+1って、何ですか?」そういう質問を受けることがあります。高校ではわり算の式は基本書きませんので、上のようにかけ算の式で表すのですが、それがそもそも納得できない、意味がわからないという声を聞くことがあります。(わる数)×(商)+(あまり)=(もとの数)こういう、わり算の検算の式と同じ構造ですよ、小学校4年生でやっていますよ、と説明しても、知らない、教わったことがない、と言う高校生もいます。習っていることなのですが、全く覚えていないようです。「次のわり算をしなさい。検算もしなさい」という問題の後半を全部見落として解いたことがない。暗記した通りに検算の式を書くだけで済ませて、本当に検算したことがないので、身についた知識になっていない。いうことかなと想像したりもします。中学の方程式の利用でも、この考え方は使っています。37をある数で割ると商が5、あまりが2となった。いう文章題で、この考え方を利用します。ある数をxとすると、5x+2=37という式を立てることができます。いう検算の式を使っています。説明するとやったことがあると思い出す子もいますが、中学の方程式の文章題でも、わり算の検算の式を使用するこのタイプの問題は自力で解いたことがなく、定着しないまま高校生になってしまった子もいて、首を傾げたままということもあります。かけ算とわり算との関係を理解しないまま、それぞれを無関係にただ暗記し、作業手順だけ覚えてきた子の場合、合同式の理解は確かにかなりつらいものがあるのかもしれません。上の式の意味が一応は理解できても、-5が6で割って1余る数であるというのがピンとこない子もいます。した子は、-5は、6で割って5不足する数ととらえることならギリギリできます。