図表・付録は収録させておりません。それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。確率かくりつprobabilityある物事が起るか起らないかが確実に知られていないとき,その物事が起る確からしさ,つまりどのくらいの割合で起るかを表わす値を確率という。それが確実に起るときは確率は1であり,起らないことが確実ならば確率は0である。事象といい,基本事象の全体の集合を全事象という。確率の値はそれらの事象の生起に関する経験的知識によって決る。起る確率はで与えられる。これを先験的確率という。ところが,たとえば,サイコロが完全に均質ならばどの目も等しい可能性で出るかもしれないが,少しでも不均質ならば特定の目が出やすいかもしれない。R.ミーゼスは古典的確率の等可能性は等確率という意味以外に理解しようがなく,循環論的であると非難し,確率を観測系列における相対度数の極限として定義することを提唱した。これを経験的確率という。A.N.コルモゴロフは,確率の基本的性質に着目し,確率を適当な公理系を満足する量と考えて測度論的な方法で論理的に確率論を展開した。このように定義された確率を測度論的確率という。以上の確率の考察では,試行の繰返し可能性が大前提になっている。自然現象や社会・経済現象の集団を統計的に研究する推測統計学に確率の考えを適用するとき,繰返し可能な現象では経験的確率は受入れやすい考え方である。繰返し可能でない事象に対しても確率を考えたいときがある。そのような場合に対し,J.M.ケインズは2つの命題の間の論理関係について確率を定義しようとする考えを提唱した。H.ジェフリーズによって体系づけられたもので,論理的確率と呼ぶこともある。B.ド・フィネッティは,この立場から統計的決定や統計的推測の問題を考えた代表者である。reserved.それぞれの記述は執筆時点でのもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。日本大百科全書(ニッポニカ)確率かくりつprobability「今日、東京で雨が降る確率」「A君がB大学に合格する確率」「A大学がリーグ戦で優勝する確率」「今後10年のうちに東京地区で大地震が起こる確率」というように、確率ということばはいろいろな場面で使われている。簡単にいえば、確率は確からしさの程度を0と1との間の数値として表したもので、確からしさの程度が高いとき1に近く、低いとき0に近い。確率が0.3であることを確率は30%というように、パーセンテージで表すこともある。始めにあげたいくつかの例の場合に、その確率として一つの数値を具体的に正確に定めるのは容易なことではないし、またそれほど意味のあることでもない。これらの例の場合には5%未満とか、ほぼ50%とか90%とかの程度で十分であろう。同一条件のもとで繰り返して実験ができる場合には、相対度数(N回の繰り返しのうち実際に起こった回数がnであったときn/Nを相対度数という)の値の極限(繰り返しの回数を大きくしたときの)として確率を定めることができる。実際には繰り返しの回数は有限であるから、具体的には近似的な値が定まるだけである。実験を繰り返し行わなくても確率が一定値をとることが期待される場合もある。コインを投げたとき表の出る確率は1/2、さいころを投げたとき6の目の出る確率は1/6などである。茂]同様に確からしいことさいころを投げたとき、どの目が出るのも同じ確からしさをもつと考えられる。ラプラスは「同様に確からしい」という先験的判断に基づいて確率を定義した。結果が偶然に支配されるような実験や観察において起こりうる結果が全部でn通りあり、これらのうちのどれが起こるかが「同様に確からしい」ものとする。このとき着目する事柄Aが起こるのがn通りのうちのa通りであるとすると、Aの起こる確率をa/nと定める。さいころを投げたとき6の目の出る確率は1/6であり、偶数の目が出る確率は3/6すなわち1/2である。何を「同様に確からしい」と考えるかによって確率が別々な値をとることがある。図Aのような道を通って、AからBまで回り道をしないで行くとする。Cを通る確率を求めてみる。〔解(1)〕AからBへ回り道をしないで行く方法は、4から2をとる組合せ、すなわち4C2=6通りある。Cを通る方法は2×2=4通りあるから、6通りのうちの4通り、すなわち4/6=2/3が求める確率である。〔解(2)〕AからBへ向かうとき、A、D、C、Eの4点ではどちらへ進むか二つのうちの一つを同じ確からしさで選ぶことにする。このときDからCへの道を通る確率は(1/2)×(1/2)=1/4であり、同じくEからCへの道を通る確率も1/4であるから、Cを通る確率は1/4+1/4=1/2となる。この二つの解答のどちらが正しいか。AからBへの6通りの道のどれを選ぶかが「同様に確からしい」ときは解(1)が正しい。A、D、C、Eの各点でどちらへ進むかその選び方が「同様に確からしい」ときは解(2)が正しい。この問題をことばどおりに解釈すると、解(2)のほうが解(1)よりも自然な考え方のように思われる。場合の数に関連する確率の問題では、何が「同様に確からしい」かを明確にすることが重要であって、このような確率の問題を考えるとき、「同様に確からしい」場合にまで場合を分解して考えることがたいせつである。「三つのさいころを同時に投げると、目の和が9になる場合の数と、目の和が10になる場合の数とは同じはずであるのに、実際は和が10になるほうが起こりやすいのはなぜか」と友人に尋ねられたガリレイは、(1,2,6)、(1,4,4)、(3,3,3)の起こり方はそれぞれ6通り、3通り、1通りであることに注目し、目の和が9になるのは6×6×6=216通りのうちの6+6+3+3+6+1=25通り、目の和が10になるのは6+6+3+6+3+3=27通りであるので、和が10になるほうが起こりやすいと解答を与えたという。このようにガリレイは「同様に確からしい」場合にまで分解して考えたから正しい結果が得られたのである。茂]確率論の歴史17世紀のなかばごろにおけるパスカルとフェルマーの文通で取り上げられたいくつかの話題が確率論の始まりといわれているが、それ以前にもガリレイが確率の問題を考えている。パスカル、フェルマーが興味をもったのは、本質的には場合の数を求める問題であった。1657年に出版されたホイヘンスの『さいころ遊びの理論について』は、14の命題からなっているが、そのなかには、さいころについて確率論的に考察したものが含まれている。Conjectandi(1713)において、ホイヘンスの研究結果を一般化し、順列・組合せ理論を系統づけ、また初めて大数(たいすう)の法則を定式化してその証明を与えている。以後多くの数学者が確率について論ずるようになったが、ラプラスは1812年に『確率の解析的理論』を完成した。これは、当時、目覚ましい発展を続けていた解析学を武器とし、新しい手法を導入して、それまでの確率の知識を集大成したものである。このラプラスの業績は以後の研究の出発点ともなり、確率の考えは多くの分野で効果的に応用されるようになった。統計学においては確率は欠くことのできないものとなった。19世紀までの確率論を古典確率論とよぶこともある。20世紀になって確率論は大きく飛躍した。ボレルは、区間(0,1)の実数を二進展開したとき、ほとんどすべての実数に対して(すなわち測度0の集合に属する実数を除いて)n位までに現れる1の相対度数がn→∞のとき1/2に近づくことを示した。ルベーグは、ジョルダンによる測度論およびボレルによる測度論の両方を特別の場合として含むような一般的な測度論をつくりあげた。この測度の理論は確率論にも大きな影響を与え、1933年にコルモゴロフは、ルベーグ式測度に基づく確率論の公理系を提示して数学としての確率論が確立された。これは測度論的確率論ともよばれている。この測度論的方法は、古典的確率論では手がつけられなかった問題(たとえば確率過程の問題など)に対しても有力であって、現在も急速に発展しつつある。測度論的確率論の基本的部分の公理系は集合と測度のことばを使って書かれている。測度理論に詳しくない読者にもその内容の大筋だけは理解できるように、次にまず、確率についての公理的考えを簡単な場合について説明しておく。茂]公理的方法による確率論ラプラスは「同様に確からしい」という概念を基にして確率を定義した。カードやさいころなど、場合の数に関連する問題に対してはこれで十分であろう。確率が応用される範囲が拡大されてくると、「同様に確からしい」という判断が不可能になる場合も生じる。そこで相対度数を基にした確率も考えられるようになった。この方向を代表するものはミーゼスの確率論である。確率の意味そのものについてはいろいろな考え方がある。どのような意味づけをしようとも、確率としてもつべき共通の基本的性質があるはずである。確率とは何かというような問題から離れて、確率のもつ基本的な性質を抜き出し、それだけを基にして、すなわち公理系を基にして確率論を構成するのである。ここでは、ある偶然的な事柄で起こりうる場合の数が有限個である場合を考える。結果が偶然に支配されるような実験または観測を試行ということにする。さいころを投げるのは一つの試行である。Ω={ω1,ω2,......,ωn}をその試行の標本空間という。さいころを投げる試行においては標本空間は6個の元(げん)をもつ。硬貨を2回投げて表・裏を調べる試行においては、標本空間は(表,表),(表,裏),(裏,表),(裏,裏)の4個の元よりなる。標本空間Ωの元を根元事象といい、Ωの部分集合を事象という。事象Aが起こるというのは、試行の結果を表すω(Ωの元)がAの元であることを意味する。二つの事象A、Bに対してA∪B、A∩BをそれぞれA、Bの和事象、積事象という。(=空集合)を空事象という。とき、二つの事象A、Bを排反事象という。これはAとBがともに起こることがないことを表している。5本のくじのうちに2本の当たりくじがあるとする。このくじをまずAが、次にBが引くという試行について次のような問題を考える。この試行の標本空間をつくれ。Aが当たるという事象はこの標本空間のどんな部分集合か。Bが当たるという事象はこの標本空間のどんな部分集合か。これを解くために5本のくじを1、2、3、4、5で表し、1と2が当たりくじとする。A、Bが引いたくじをそれぞれa、bで表せば、試行の結果は(a,b)(a≠b)で表される。したがって標本空間は図Bのような20個の元よりなる。次にAが当たるという事象は図で上の2行の8個の元よりなる。Bが当たるという事象は左の2列の8個の元よりなる。ときP(A∪B)=P(A)+P(B)を満たすとき、Pを確率といい、P(A)を事象Aの起こる確率という。根元事象が「同様に確からしい」とき、Ωの元の個数をn、Aの元の個数をaとすればP(A)=a/nとなる。前のくじの例では、根元事象は「同様に確からしい」と考えられるから、初めにくじを引くAが当たる確率も、次に引くBが当たる確率も同じ値の2/5となる。同じ方法でn本のうちr本の当たりくじがあるとき、初めにくじを引く人も、次に引く人も、当たる確率は同じであることが示される。でない集合Ωが与えられている。Ωにおける完全加法族という。)上の確率測度または確率分布という。P)を確率空間という。Ωの元を標本点または根元事象とよぶ。一般にΩの部分集合全体からなる集合族ではない。この点は前に述べた標本空間が有限集合の場合と異なっている。元を事象といい、P(A)を事象Aの確率という。(空集合)を空事象、Ωを全事象という。事象A、Bに対してA∪B、A∩Bをそれぞれ和事象、積事象とよぶ。=Ω-AをAの余事象という。ときA、Bは排反事象であるという。二つの事象A、Bが独立であるとはP(A∩B)=P(A)P(B)が成り立つ場合をいう。一般にn個の事象A1、A2、......、Anが独立であるとは、任意の1≦i<j<......<k≦nに対してP(Ai∩Aj∩......∩Ak)=P(Ai)P(Aj)......P(Ak)が成り立つ場合をいう。成り立つとき、Xを確率変数という。1をRにおけるボレル集合の全体とする。1上の確率分布となるが、このΦをXの確率分布という。実数aの関数F(a)=P(ω|X(ω)≦a)をXの分布関数という。n個の確率変数X1、X2、......、Xnに対してXiを第i成分とするベクトルX=(X1,......,Xn)をn次元確率変数という。このとき、n変数の関数F(a1,a2,......,an)=P(ω|X1(ω)≦a1,X2(ω)≦a2,......,Xn(ω)≦an)をXのn次元分布関数という。有限個の確率変数X1、X2、......、Xnが与えられたとき、任意の一次元ボレル集合Ai(1≦i≦n)に対してP(ω|X1(ω)∈A1,......,Xn(ω)∈An)=P(ω|X1(ω)∈A1)......P(ω|Xn(ω)∈An)が成り立つ場合に、X1、X2、......、Xnは互いに独立であるという。上の測度Pによるルベーグ積分が考えられXがPに関して積分可能であればをXの平均値という。XがPに関して積分可能でなければXの平均値は存在しない。(X-E(X))2が積分可能のときV(X)=E((X-E(X))2)をXの分散といい、をXの標準偏差という。二つの確率変数X、Yに対してC(X,Y)=E((X-E(X))(Y-E(Y)))の右辺が存在するとき、C(X,Y)をX、Yの共分散という。X、Yが独立であればC(X,Y)=0である。X、Yの分散が存在するときV(X+Y)=V(X)+V(Y)+2C(X,Y)が成り立つ。X、Yの相関係数という。|ρ(X,Y)|≦1X、Yが独立であれば相関係数は0であるが、相関係数が0であってもX、Yは独立でないこともある。Inc.それぞれの解説は執筆時点のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。ある事象が起こる確からしさの度合い。Inc.それぞれの用語は執筆時点での最新のもので、常に最新の内容であることを保証するものではありません。「確率」の用語解説はコトバンクが提供しています。「ゆかり」賞味期限近づき返品も「失禁していた。小学館|「コトバンク」とは|辞書全一覧|利用規約|Q&A|サイトマップ|使い方|「コトバンク」は朝日新聞社の登録商標です。MARKETINGに帰属します。当サイトで提供する用語解説の著作権は、(株)朝日新聞社及び(株)朝日新聞出版等の権利者に帰属します。記事、写真、データ等の無断転載・転用を禁じます。