山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。今回も「確率」の学習。次は「反復試行の確率」。袋の中に白玉2個、赤玉6個が入っている。この中から玉を1個取り出し色を調べてから袋に戻す。これを5回繰り返したとき、白玉がちょうど3回出る確率を求めよ。今までと同じようでいて、実はかなり違うタイプの問題です。赤玉白玉の出方の順番がわかりません。5回のうち、とにかく白玉が3回出る。言い換えると、どこで白玉が出るかは自分で考えて場合分けしなければならないということです。白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は、異なる玉の出方であり、それぞれに固有の確率があります。それぞれの場合ごとに確率を計算して、最終的にそれらを足せば答えとなるでしょう。「なぜ場合分けしなければならないのか、そこからわからない」という質問を受けることがあります。異なる出方があるなら、1つ1つ場合分けし、それぞれの確率を足すのだということをまず理解しましょう。白赤赤という出方と、白白赤白赤という出方は異なる出方です。そのそれぞれに確率があるのです。5回のうち3回白玉が出る。5回のうち3回白玉なら、残る2回は赤玉となります。10通りに場合分けされます。次に、そのおのおのの確率を求める式を立ててみましょう。3/4・3/4・1/4・1/4・1/4こうして一覧にしてみますと、同じような分数ばかり並んでいるのがわかります。要するに、どの場合も、1/4を3回、3/4を2回かけるのですね。各行は、(1/4)3(3/4)2とまとめることができます。)の後ろの半角の文字は指数として読んでください。同じものを10個足すのですから、それは×10と同じこと。この問題は、10(1/4)3(3/4)2という式で求めることができます。この10という数字を計算で求めることはできないでしょうか?白3個、赤2個を並べる並べ方。これは、以前に学習した「同じものを含む順列」の公式で求めることかできます。全体でn個のうち、同じものがp個、また別の種類の同じものがr個あったときの順列は、n!/p!r!・・・という式で求めることができるのでした。n=p+rであるのなら、それは、nCpという組合せの式と同じものでした。さあ、これで、反復試行の確率の公式が導かれました。公式で書くと余計わからないと非難轟々の公式ですが、問題を解くことで練習を繰り返し、慣れてしまえば使えるようになります。