山と数学、そして英語。山と数学、そして英語。高校数A「図形の性質」の重要定理、最後は「方べきの定理」です。上の画像の左図を見てください。円の2つの弦、AB、CDの交点をPとすると、PA・PB=PC・PDこれが方べきの定理の基本です。交点Pが円の内側にあるときが左図。真ん中の図は円の外側に交点があるときですが、式は同じです。PA・PB=PC・PDこの2つの図は、交点と弦の両端との線分同士をかけるのだというイメージを大切にすると共通のイメージを持ちやすく覚えやすいです。これの特殊な例が右図で、1つは弦、もう1つは円の接線となっている場合です。弦ABと接線PTとの場合は、PA・PB=PT2パターンは、この3つです。証明は、いずれも、三角形の相似を利用します。△PAC∽△PDBよって、PA:PD=PC:PB内項の積=外項の積なので、PA・PB=PC・PD他の2つも、三角形の相似を利用する流れは同じで、角が等しいことを示すための根拠が上の証明とは異なるだけです。円に内接する四角形の定理だったり、接弦定理だったり。方べきの定理は、その名称に違和感を抱く人もいます。チェバの定理ならば、どうせチェバという数学者が発見したんだろう、で済ますことができますが、「方べき」と日本語で言われると聞き慣れない言葉なので違和感があるのですね。「方」は平方、立方などの「方」。「べき」は「冪」と書き、これは箱を意味する語。等しい面積の長方形の2辺の長さを示す定理。ある正方形と等しい面積の長方形の2辺の長さを示す定理。そのようにイメージしておくと、名前と定理の内容が一致しやすいと思います。方べきの定理は、覚え間違えてしまうことが案外多いです。3つの図とも交点Pから式が始まるという共通点を強く意識するのがポイント。そこを意識せずに別々に覚えると、覚え間違えてしまう可能性が高まります。左の図を、AP・PB=CP・PDというイメージで覚えてしまい(これ自体は間違いではないです)、その影響で、真ん中の図を、PA・AB=PC・CDと間違って記憶してしまう人がいるのです。いうことは、ちょっとした覚え方が大きく影響します。繰り返しますが、方べきの定理は、全て、交点Pから式が始まります。その共通点を強く意識すれば、3つのパターンは、全く別のものではなく、根本は同じものであることが見えてきます。方べきの定理は、センター試験でよく用いる定理です。気づかなかったー」とつぶやく子は多いです。円に関する問題を解く際に、方べきの定理を使う可能性は極めて高いです。方べきの定理が、いつも使える状態で頭の中にあるでしょうか?自力で発想できる状態、使える武器の状態で方べきの定理が頭の中に存在していれば、気づくことができると思うのです。「どういう定理を使える可能性がある?間違っていてもいいから、何でも思いつくものを言ってみて」と声をかけても、何も出てこないことが多いです。「使える使えない関係なく、知っている定理の名前を全部言ってみて」と声をかけても、やはり何も出てきません。残念ですが、その状態では解き方を発想できる可能性はほとんどないと思います。定理の名称を言えと言われたら、学習した定理の名称をズラズラと並べたてられるようになるまで暗唱してください。高校数Aで学習する定理のうち、重要なものは限られています。三角形の五心に関する定理。