山と数学、そして英語。:中3数学「2次方程式の利用」文章題の立式とその後の計算。山と数学、そして英語。中3数学「2次方程式の利用」文章題の立式とその後の計算。今回は中3に戻って、2次方程式の文章題を解いてみます。計算問題なら大丈夫なんだけれど、文章題は苦手、という人、多いですよね。兄は弟より4歳年上で、兄の年齢の平方は、弟の年齢の平方の3倍より8小さい。兄と弟の年齢を求めよ。幾度も書いてきましたが、方程式の文章題の答案の1行目は、何をxとしたかを書きます。これを書かない子は多いです。忘れてしまうようで、答案作成の習慣として定着しません。何を文字で表したのか定義しなければ答案を読む人に伝わりません。使うように要求しているのは数学の先生なので、自分の関知するところではない、自分の責任ではないという意識があるのかもしれません。なんか使いたいわけではない、使わされているだけだ、という気分なのでしょうか。「そんなの書かなくて大体わかるじゃん」という気持ちになってしまう底には、そういう意識があるのではないかと思うのです。使うことになったときは、そんなことは要求されなかった、中学になったら何でそんなにうるさいんだろう、という気持ちもあるのでしょうか。小学生にそこまで要求しても無理だから要求されなかっただけなのですが。「このxは何を表しているの?」と尋ねても、即答できない場合がほとんどだからです。自分でもわからないものを他人にはわかれと要求することはできません。いう、「答案を読む人に迷惑をかけるな」系の理由の他に、何をxとするかを明記することは本人にとっても利点が大きいのです。文章題が苦手な中学生は、文章題を見た途端に小学生に戻ってしまう傾向があります。やって答えを求めよう?どういう式なら答えが出るだろう?かけ算?割り算?そんなことをうっかりすると考え始めてしまいます。しますか?」そう声をかけると、はっと目が覚めた様子で、まずその1行を書き、そうだった、これは方程式だったと気がついて、立式し始める子は多いです。するかを考えるならば、文章題は自力で解けるようになります。数学は、常に1行目の書き出しが一番難しい。それさえ書きだせれば、次の段階に進めるのです。無事に1行目が書けたとして。方程式の文章題の採点基準は、1何を文字においたかを書いてあるか。3計算の結果が正しいか。4変域について考察してあるか。5最終解答が書いてあるか。立式が正しいことを確認した後は、すぐに計算の結果に目を移し、途中は読まない先生が多いのです。3の計算の結果が正しくない場合のみ、その前に戻って、どの行まで計算が正しいかを確認し、そこまでを赤ペンで区切って部分点を決定というのが採点の普通の流れです。どこを採点されているのか、そのメリハリを理解し、答案を書いていくと良いですね。これは、兄と弟の年齢のどちらをxとしても構わないです。兄の年齢をx歳とすると、弟の年齢は(x-4)歳と、負の符号が出てきますので、符号ミスが多い人は、ちょっと危険要素が加わることにはなります。今回は、弟の年齢をx歳としてみましょう。答案に、「弟の年齢をxとする」と書く人も多いですが、xは単位をつけて書きます。年齢なら単位は「歳」に決まっているのでまだましですが、例えば速さに関する問題で、xの単位が「分」なのか「秒」なのかわからず、実は本人も混乱しているとなると、大変です。「弟の年齢をx歳とする」と書くのが正しい書き方です。弟の年齢をx歳とする。あるのが、こんなミスです。(x+4)2-8=3x2・・・うん?もう一度問題を読み直しましょう。上のような間違った式を書いてしまうのは、小学生時代に文章題に苦しめられ過ぎた後遺症なのかもしれません。「8小さい」をどう処理するか、頭の中であれこれ考えた結果、左辺にくっつけてしまうのです。小学校の文章題は、答えを求める式を立てますから、加えたと言われたら引かなければならず、かけたと言われたら割らねばなりません。裏を裏を考えないと、正しい式が立ちません。その癖が中学生になっても抜けない人は多いです。方程式は、裏を考える必要はありません。問題文に書いてある通りに書いて行けば良いのです。「兄の年齢の平方」は「弟の年齢の平方の3倍より8小さい」。この前半のカギかっこが、左辺。後半のカギかっこが、右辺。書いてある通りに書けば、式になります。兄の年齢の平方は、(x+4)2。弟の年齢の平方の3倍より8小さい数は、3x2-8。その2つが等しいのですから、(x+4)2=3x2-8これが正しい立式です。式が表しているのは、兄の年齢の平方です。そこから8を引いたりしては、左辺だけが一方的に小さくなっていきます。考え過ぎたあげく、(x+4)2+8=3x2という式を立てる人もいます。この式は、間違ってはいません。本人の苦闘が如実に表れているわりに、「あー、はいはい。別に間違ってはいませんよ」程度の評価しか受けません。方程式の旨味をなぜ生かさない?書いてある通りに式を立てるだけでいいのに。採点官の感想はその程度です。余計なことを考えずに、その方程式が何を表すのかを意識しながら、文章の通りに式を立てるのが、立式のコツです。立式したら、計算です。(x+4)2=3x2-8右辺にもx2の項がありますので、これは一度左辺を展開すると良いですね。x2+8x+16=3x2-82x2-8x+8=0・・・うん?何か間違っていますね。なると、x2の項に負の符号がついてしまい、それが嫌なのは、わかります。移項しつつ、符号を転換することもしたかったようです。定数項でしくじった・・・。いうことをやりたい場合、書いているのは左辺でも、意識は全ての項を右辺に移項するイメージでやっていくと、比較的ミスなく書いていけます。本当は、0=2x2-8x-24と移項しているのですが、「0=」は書かず、いきなり右辺を書いていき、最後に「=0」を書き加えるイメージです。x2-4x-12=0としていくのでも、手間は変わりません。結局、式全体を割って、x2の係数を1にしますから。した手間を惜しんで、暗算で済ませて、符号ミスや計算ミスのリスクを抱え込む。暗算に時間がかかる上に、実は手間もそんなに違わない。いうことが、方程式の計算には多いです。計算は正確であることが大切です。いうより、正確であること以外は何も求められていません。-2ここで、xの変域(高校生になると定義域と呼びます)を考えます。人間の年齢なので、-2歳などありえません。「xは正の整数なので」といった変域を考察する1行が必要となります。これが上に書いた、4変域について考察してあるか。-2xは正の整数だから、x=6兄10歳、弟6歳これで答案は終了です。原価500円の品物に、原価のx割の利益を見込んで定価をつけたが、売れないので定価のx割引で売ったところ、45円の損失となった。した売買損益の問題が苦手な子は、本当に多いです。見込む」といった商業用語が出てくるので、ハードルが高いのでしょう。原価というのは、仕入れ値。お店の人が仕入れた値段です。お店の人は、その原価のまま商品を売ったら、1円ももうかりません。それでは商売になりません。原価に利益を見込んだ定価をつけます。その利益は確定ではないので、「利益をつける」という言い方はできません。これだけの利益を得る予定である、という意味で、「利益を見込む」という言い方をします。上の問題は、まずは定価の表し方を考えてみましょう。呼びかけると、こんな答えが返ってくることがあります。500x・・・え?500円にx割の利益を見込んだ定価は、500x?この答え、数学の成績が「4」の子でも出てくる答えです。「ええと・・・」これが、まず出てこないのです。「割合」の学習は、小5の3学期に行う場合が多いですが、そのときはまだ「分数のかけ算・わり算」は学習していないため、割合の数値は小数を用います。小6になって、分数のかけ算・わり算を学習した直後や「比」を学習する直前に、改めて「割合と分数」を学習するのですが、そこで学びそこねてしまう子は多いです。自分は小数を使うからいいや、と思ってしまうのでしょうか。中1では、「文字式」の学習の際に「a円の1割」といったことを文字式にする練習をします。それもよく理解できないまま、そんなのは多くの問題の中の1問、結局最後までできなかったけれど、まあいいか、と通り過ぎていきます。中1の「1次方程式」、中2の「連立方程式」で、文章題を学ぶ度に割合の問題は出てきますが、それもまた、そういうのは自分は難しいからよくわからないけど、まあいいや、と通り過ぎていきます。繰り返し繰り返し、幾度学習しても、割合が定着しない子は多いです。