}の解(不動点)であるというに他ならない。意味する論理式である。したがってこの論理体系は矛盾している。この論理式構成に対応する型構成を再帰型という。項も型を持つことになる。これらの項は通常の型システムでは型を持たない。(主要型の)型付けの導出はカリーのパラドックスの自然演繹による証明と対応する。}}}「証明=プログラム」対応に関連する話題[編集]ド・ブランの役割[編集]ニコラース・ホーバート・ド・ブランはラムダ記法を証明検証器Automathにおいて用い、また命題をその証明の類として表現した。これはハワードが(CH対応に関する)原稿を書いた同時期の1960年後半のことであった。一部の研究者[誰?]は、カリー=ハワード対応という代りにカリー=ハワード=ド・ブラン対応という語を使用する。BHK解釈[編集]BHK解釈は直観主義的な証明の含意と全称化を関数として解釈するが、解釈における関数のクラスがどのようなものであるかを指定してはいない。関数のクラスとしてラムダ計算を取るならば、BHK解釈は自然演繹とラムダ計算との間の対応と同じことを述べていることになる。実現可能性解釈[編集]スティーヴン・コール・クリーネの実現可能性解釈は、直観主義的算術の証明を再帰的関数とその関数が論理式を実現していることを表す論理式の証明とに分離する。存在する」ことを直観主義的に証明できたならば、ここから最大公約数を計算する再帰的関数と、それが最大公約数を計算していることの証明を抽出できる。ゲオルク・クライゼルにより変更された実現可能性解釈を高階の直観主義論理に適用することで、もとの論理式の証明からそれを実現する単純型付けされたラムダ項を帰納的に抽出できることが示せる。命題論理の場合、これはカリー=ハワード対応のステートメントと一致する:抽出されたラムダ項はもとの証明(をラムダ項と見做したもの)と一致し、実現可能性のステートメントは抽出されたラムダ項がもとの論理式の意味する型を持つということの言い換えである。クルト・ゲーデルのディアレクティカ解釈は計算可能汎関数を備えた直観主義的算術(のある拡張)を実現する。これのラムダ計算との繋がりは自然演繹ほど明白ではない。カリー=ハワード=ランベック対応[編集]ヨアヒム・ランベックは1970年始めに直観主義命題論理とデカルト閉圏の等式理論と対応するある種の型付きコンビネータとの対応関係の証明を示した。きラムダ計算およびデカルト閉圏との間の対応として知られる。ここではオブジェクトは型あるいは命題に、モルフィズムは項あるいは証明に解釈される。表現しない:すなわち、デカルト閉圏のモルフィズムの構造と、対応する判定のヒルベルト流あるいは自然演繹の証明の構造と比較することはできない。構文的に対応するような証明体系を構成することはできる。この区別を明確にするために、デカルト閉圏の構文的な構造を次のように言い換える。デカルト閉圏を型付きの等式理論として形式化する。