数学とか科学とか技術とか僕は何度か色々なところで巨大数の話をしてきたと思うが、今日はちょっと趣向を変えて有限ではなく無限の数の話をしようと思う。「無限」の捉え方は色々あるのだが、今回は以前の記事でちょっとだけ触れた「超限順序数」というものについて語りたいと思う。順序数とはそもそも「数とは何ぞや」という話から始まる。数について色々な説明の仕方があるとは思うが、その中でペアノさんが導き出した自然数に対する根源的な公理が「ペアノの公理」だ。ペアノの公理の詳しい内容については他のサイトにお任せするとして、一番重要なのは以下の2点である。最初の数(0でも1でも)があるどの数にも「次の数」がある「何であるか」という問いに対し最低限の要件のみを与え「そのように振る舞うものがそれである」と言ってしまうのが「公理」だ。曖昧な言葉の意味へ言及することを避けるためだ。要は「最初の数」と「次の数」さえ定義されればそれは数(自然数)と呼ぶことが出来るということだ。関数型プログラミングをかじったり舐めたりしたことのある人ならチャーチ数という言葉に聞き覚えがあるはずだ。それもペアノの公理を満たす数の定義の一種だ。今回は集合を使ってこの「最初の数」と「次の数」を定義する。これが「順序数」である。*1式だけだと分かりにくかろう。実際にこれを元に1,2,3,......を表そうとするとこうなる。要するに0は空っぽの集合で、それ以降は自分の直前までの数の集合ということになる。定義すると数の大小関係の定義がやりやすく厳密になる。ある数はその数の直前までの数を全て含んでいるので、含んでいる方が大きくて含まれている方が小さいのだ。ここで「自然数全体の集合」というものを考えてみよう。どの自然数も「自然数全体の集合」に含まれているので、「自然数全体の集合」を順序数と見なすとこれはどの自然数よりも大きいということになる。このωのように有限ではない順序数のことを「超限順序数」と呼ぶ。ところで、このωは自然数の集合であるから、自然数以外の余計な物は含んでいない。故に「ちょうどピッタリ自然数より大きい数」だと言える。「ωより小さくて自然数より大きい」数は存在しないということだ。超限順序数ωとは簡単にまとめておこう。ωはどの自然数よりも大きい超限順序数の一種。自然数よりも大きくてωより小さい数は無い。超限順序数を足し算してみようω+1を計算してみよう。さっきの定義を思い出せばすぐ出来る。このようにωには前の数ω-1は無いが次の数ω+1はちゃんとある。今度は2を足してみよう。集合での表記は面倒臭いので以後割愛する。最初の定義をもう一度思い出してほしい。定義にあるのはsuc即ち+1の演算だけだった。+2とは+1を2回繰り返すことだし、+nとは+1をn回繰り返すことになる。「何を当たり前のことを」と思うかもしれないが、そういう細かいことを気にしていかないと次の演算を理解できない。この一見頭のおかしい式について考えてみよう。+nが+1をn回繰り返すことならば、+ωは+1をω回繰り返すことになるだろう。ω回+1を繰り返すのはちょっと無理があるので、ゆっくりωに近づいていこう。これを自然数n回繰り返してるとこうなる。nが自然数ならば当然n+1も自然数だ。このnが自然数の限界を突破するまでこの作業は続く。逆に言うと自然数の壁を突破する直前までは常に自然数だ。n回目の+1でωになっちゃったりはしないので、1+ωがωより大きくなるのは不可能なのだ。数式で表現するとこう。要するにωとは「自然数を全て数え上げる」という不可能なはずの動作をやってのけるバグ技みたいなものだ。自然数は無限にあるのでちょっとやそっと途中から数え始めたくらいでωを超えられるわけではない。ωにならωを足すことで値を増やせる。超限順序数ω+ωを練成できる。超限順序数を掛け算してみよう(序章)さすがに長くなってきたので、この辺で終わりにしよう。最後に少しだけ掛け算を定義してみる。ωを2個足してるのだからωかける2、それだけだ。次回は掛け算でも前後を交換出来ないこと、そしてもっと不思議な掛け算やさらに複雑なべき乗について扱っていこうと思う。*1:suc(x)とは「xの次の数」即ち「x+1」という意味になる。所謂スマートウォッチです。ディスプ...2014-12-07より大きな数を!そこに意味はないが理由はある!(巨大数の話)~急増加関数編~この記事には誤りがあります。あるコードを実...2014-03-09イメージをイメージで超えていけ(巨大数の話)~コンウェイのチェーン表記編~この記事には誤りがあります。月別アーカイブはてなブログをはじめよう!kemboorgさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。