-ストイケイア-ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。第1巻-命題-命題1.34もし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、平行四辺形は三角形の二倍である。三角形の面積は「底辺×高さ÷2」で求められる。三角形ΕΒΓが、同じ底辺ΒΓをもち、かつ同じ平行線ΑΕ、ΒΓの間にあるとする。このとき、ΑΒΓΔ(の面積)がΕΒΓの二倍であることを示そう。補助線として、ΑΓを結ぶ*1。すると、いまできた三角形ΑΒΓは、三角形ΕΒΓに等しい。同じ底辺ΒΓの上にあり、同じ平行線ΒΓ、ΑΕの間にあるからだ*2。三角形ΑΒΓの二倍である。二等分しているからだ*3。三角形ΕΒΓの二倍でもある。よってもし平行四辺形が三角形と同じ底辺を持ち、かつ同じ平行線の間にあれば、平行四辺形は三角形の二倍である。これが証明すべきことであった。比較したい三角形に等しい三角形を、平行四辺形の内部に作図し、それが平行四辺形の半分であることを示した。今回の命題は同じ底辺を持つ平行四辺形と三角形の話だったが、等しい底辺を持つ場合でも、以下の図で同様に証明できる。ΑΕ)しかし『原論』ではどういうわけか、この場合の証明は行わない。命題35から40まで、ずっと「同じ底辺」「等しい底辺」と交互に扱ってきたのに、ここで唐突に同じ底辺しか論じないのは、どうにも不自然である。理由は知らないが、もしかしたらピタゴラスの定理の証明に不要だからかもしれない。今回の命題はピタゴラスの定理の証明で大活躍するのだが、等しい底辺を持つ場合は不要なのだ。この推論は、「ユークリッドはピタゴラスの定理を示すために『原論』第1巻を書いた」という俗説に基づいている。私自身はこの説を支持していないだが、他に適当な理由が思いつかなかった。参考文献このブログは、主に下記の文献を元に書かれています。記事中で単に参考文献と書いた場合は、[1]を指します。-1213-tsujimotterのノートブックINTEGERSアジマティクスますぱらCorollaryは必然に。高校数学の美しい物語mattyuuの数学ネタ集フィボナッチ・フリークはてなブログをはじめよう!kiguroxさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。