関係をまとめると、こうなる。確認テストでチェック確認テスト(1)A君は5回テストを受けて平均点が72点だった。)(2)A君の班は全員の体重の合計が210kgで平均すると35kgだった。三公式を使って文章題を解いてみましょう。表の使い方0点から5点までの点数がつくゲームを何人かでプレイした時の点数と人数を表にしてみます(図1)この表(度数分布表)では右から2列目は「4点をとった人数が3人」をあらわしています。右から2列目は「4点を取ったのは3人」を意味するこの表を使って平均点を出してみましょう。平均=合計÷人数なので、まず合計を求めます。右から2列目の4点をとった3人の合計点(小計)は4×3=12点です。これを新しく作った三段目に書き込みます(図2)。列ごとの小計を合わせると全員の合計が出る人数の合計は二段目を合計すれば10人と分かります(図4)。二段目を合わせると人数の合計が出る結局、平均点は合計31÷人数10=3.1点と分かります(図5)。確認テスト(2020.2.8作成中)爽茶そうちゃ小学校で学習する平均は以上です。この後は中学受験で使う平均「算」です。受験をしなくても算数が好き・得意な人は挑戦して下さいね。スポンサーリンク平均算の基本(中学受験)爽茶そうちゃ中学受験でも平均(算)がよく出題されます。基本点を確保するために早く正確に解けるようにしておきましょう。中学受験では応用問題を面積図で解くため、公式の順番を変えてこのように覚えるのが良いでしょう。面積図にできる公式は「かけ算、わり算、わり算」と覚えるとラクです。公式だけで解けない(考えられない)問題は図を書くことになります。線分図と面積図があります。10人20人が出てくる問題では面積図を使いますが、3~4人(個)の数値の平均や個別の差が書いてある場合は線分図を使うこともあります(線分図を使う問題の方が頭を捻ります)。平均と人数(個数)が分かっている場合は合計も分かるので、和差算の「和」のように書き込みます。差が分かっていれば和差算になります。「ABの所持金の平均が650円で、AがBより300円多い場合」なら、合計(和)が650×2=1300円、差が300円なのでこうなります。おなじみの和差算の図B=(1300-300)÷2、A=(1300+300)÷2でした。図が出来たらあとは和差算の解法で解けますね(詳しくは関連記事「和差算まとめ」を見て下さい)。確認テストを試してみましょう!確認テスト(タッチで解答表示)太郎・次郎・三郎の所持金の平均は900円。太郎は次郎より200円少なく、次郎は三郎より100円多い。三人の合計は900×3=2700円。多いのが次郎で、太郎は200円差、三郎は100円差。差の部分を埋めて÷3すると,次郎の金額が(2700+300)÷3=1000円。太郎は1000-200=800円、三郎は1000-100=900円。かっている場合はその差で一つの値を出したり、二重の和差算にして解きます。「ABC3人がテストを受けた。ABの平均は66点だがABC三人の平均は8点高かった。Aの点数はBの点数より8点高かった」という問題です。AB二人の平均が66点なのでABニ人の合計は66×2=132点、ABC三人の平均が66+6=74点なのでABC三人の合計は74×3=222点と分かります。AがBより8点高いのも書き込みます(図1)。図1:平均から合計を書く図を見るとABは和差算になっていて、A=(132+8)÷2=70点、B=(132-8)÷2=62点と分かります。図2:ABはいつもの和差算さらに、ABCの合計222からABの合計132を引いた90点がCの得点と分かります(図3)。図3:Cを出す応用2全員の平均が分からず何人かの平均しか分からない場合は、和差算で出てきた「和和和算」と同じように式を比べて値を求めます。問題文に「個別の数値と平均との差」が書いてある場合は、線分図に平均を書き入れます。2つの書き方(2-1と2-2)があります。書き方1各線分の中ほどを横切るタテの線として平均を書きます(多くのテキストにあるタイプ)。線分が二本の場合は平均のタテ線と各線分の差は等しくなり(図1)、線分が三本以上の場合は平均より高い部分の合計と低い部分の合計が等しくなる(図2)。これは「ワリカン算」の書き方です。赤と青の長さは等しい図2線分が三本以上の場合、赤の合計と青は等しい書き方2もう一本、平均の線分を書いてしまいます。平均そのものの大きさが書いていないような場合は、こちらが便利です。人数が10人を超えるような場合は線分図では書ききれないので面積図を使います。凸凹をならすと...全4回のテストを受けたところ78点,94点,57点,71点だった場合、点数を棒グラフにすると凸凹になります(図1→図2)。図1棒グラフ図2柱状のグラフのような面積図この凸凹をならすと長方形になります(図3→図4)。図3粘土を変形させるように図4長方形にしても面積は変わらないこれが平均算の面積図です。長方形の面積が「合計」、タテが「平均」、ヨコが「人数(個数)」になります。最初に公式の一番目を「合計=」にしたのは、面積図が書ける公式を覚える際には面積にあたる用語を最初にするのが覚えやすいからです。(参考記事「単純な面積図」)また幅1の長方形は線分と同じなので、線分図の代わりにもなります。面積図の重ね合わせ平均算の応用問題では面積(合計)が等しい二つの面積図を重ねて考えることがあります。爽茶そうちゃ中学受験で出題される平均算の図の書き方と解き方をタイプ別に見ていきます。最後のテスト何回かテストを受けて最後にもう一回テストを受けるような問題です。「全10回のテストで9回目までの平均点が80点だった。最後のテストで90点をとると全回の平均は何点か」という問題を考えます。実際には最後の絵を書けばOK今までの回数と平均から80×9=720の長方形の面積図を書き(図1)。右端に最後のテスト(1×90の長方形)をとりつけます(図2)。この時の合計は80×9+90×1=810点になっています。平らにならした高さが全回の平均で、810÷10で81点です。回数が分かっている場合は図を書かなくても解けます。「全五回のテストで四回までの平均が70点だったのが、最後のテストを受けてから平均を出す75点に上がった場合、五回目のテストは何点だったか?」という問題です。→五回全部の合計から四回目までの合計を引いたものが最後の点数です。四回目までの合計点は70×4=280点、五回全部の合計点は75×5=375点なので、375-280=95点が五回目のテストの点数。回数が分からない場合は2つの面積図を重ねて解きます例えば「何回かテストを受けて平均点が73点だったが、最後のテストで100点を取ったので平均点が76点に上がった。テストは全部で何回あったか?」という問題です。図2平均の長方形にならした図2つの図を重ねると、はみ出た部分(A,B)の面積が等しくなります(図3)。ABだけを拡大すると図4のようになります。図3(重ね合わせ図)図1と図2を重ねる図4(はみ出し部分)Bの面積も24なので?が分かるBはタテ24ヨコ1なので面積が1×24=24になり、Aの面積は同じく24でタテは3なのでヨコは24÷3=8と分かります。図の?=8なので、テストは全部で8+1=9回になります。2つのグループクラスを男子と女子に、受験者を合格者と不合格者に、というように、集団を2つのグループに分け、集団全体とそれぞれグループの平均の関係を考える問題です。実際には最後の図を書けばOKクラス全体の合計点=男子の合計点+女子の合計点です。男子の合計点=57×16=912点、女子の合計点=72×14=1008点なので、全体の合計点は912+1008=1920点と分かります(図1)図1(合計を出す)クラスの平均=クラス全体の合計÷クラスの人数です。全体の合計=1920、人数は16+14=30人なので、クラスの平均=1920÷30=64点です(図2)。人数が詳しく分かっている場合は面積図を使わずに公式だけで解けます。「男子が18人、女子が21人のクラスでテストをして、クラス全体の平均は74点、男子の平均は67点だった時に女子の平均を求めよ」という問題クラス全体の合計=(18+21)×74=2886点、男子の合計=18×67=1206点です。女子の合計=全体の合計2886-男子の合計1206=1680なので、女子の平均は1680÷21=80点です。図の書き方の全体像さっきの問題と逆向きになっている。数値が少なく、計算だけでは解けないな...と感じたらすぐに「重ね合わせ図」を書きます。「あるテストを実施したところ合格者は100人でした。合格者の平均点は受験者全員の平均点より10点高く、不合格者の平均は合格者より14点低かったそうです。受験者は全部で何人でしょうか?」という問題です。具体的な得点が全く書いてないので合計が出せません...まず大きさはテキトーで良いので2つの面積図が重なった「重ね合わせ図」を作ります(図1)。AとBの面積は同じです。合格者の平均点は受験者全員の平均点より10点高いのでBのタテは10、不合格者の平均が合格者より14点低いのでAのタテは14-10=4です。合格者の人数が100人なのでBのヨコは100です(図2)。不合格者の人数が分かりますこれでBの面積は10×100=1000と分かり、Aの面積も1000です。Aのタテが4なのでヨコは100÷4=250と分かります!これが不合格者の人数です(結局、平均点そのものは最後まで分かりません)。以上より受験者の人数は、合格者100人+不合格者250人=350人です。「ある印刷工場では、ポスターを印刷してもらうのに枚数によって値段が変わります。10枚までは1枚○円、11枚以上30枚までは1枚●円、31枚以上は1枚◉円で印刷してもらえます。1枚あたりの値段が◆円以下になるには何枚以上印刷してもらう必要がありますか?」という問題です。上で見た「2つのグループ」の問題のグループ数が3つ・4つになったような問題です。空欄が2つ以上ある場合は、つるかめ算を混ぜて解きます。次のステップへ爽茶そうちゃ平均(算)の解き方が分かりましたか?「和と差」の分野にはこの他にも「分配算」や「消去算」があるのでぜひ見て下さい!最後まで読んでいただきありがとうございました。小学5年生】割合の求め方・問題の答えの出し方。views2019.01.012020.01.20小学4年生】帯分数の足し算引き算。views2019.03.162020.02.16分数と分数の割り算÷とかけ算×を図解。views2019.05.242020.02.12小学3年生で習う分数。views2019.06.012020.02.13小5で習う異分母の分数の足し算・引き算の計算問題のやり方を図解。小学5年生】割合の求め方・問題の答えの出し方。views2019.01.012020.01.20小学4年生】帯分数の足し算引き算。views2019.03.162020.02.16分数と分数の割り算÷とかけ算×を図解。views2019.05.242020.02.12小学3年生で習う分数。views2019.06.012020.02.13小5で習う異分母の分数の足し算・引き算の計算問題のやり方を図解。爽茶をフォローするタイトルとURLをコピーしました。