-ストイケイア-ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。公理8同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。前々回の命題37で、同じ底辺の上にあり、かつ同じ平行線の間にある三角形は互いに等しいことを示した。今回の命題は、その逆である。stoixeia.hatenablog.com二つの三角形ΑΒΓ、ΔΒΓを、同じ底辺ΒΓの上にあり、かつ同じ側にあり、かつ等しい三角形とする。このとき、両者は同じ平行線の間にあることを示す。言い換えると、ΑΔを結んだとき*1、ΑΔとΒΓが平行線であることを示したい。ΑΔがΒΓに平行でないとし、点Αを通りΒΓに平行な直線を描こう*2。それとΒΔとの交点をΕとし、ΕΓを結ぶ*3。ΑΕ)すると、いま作られた三角形ΕΒΓは、三角形ΑΒΓに等しいはずである。同じ底辺ΒΓの上にあり、同じ平行線ΒΓ、ΑΕの間にあるからだ*4。ところが、三角形ΑΒΓは三角形ΔΒΓにも等しいので、ΕΒΓはΔΒΓにも等しい*5。小さいものが大きいものに等しくなってしまうから*6。ゆえに、ΑΕはΒΓに平行でない。同様にして、下図のように、点ΕがΔについてΒと反対側にある場合も、ΑΕがΒΓに平行でないことが示せる。ゆえに、ΑΔ以外のいかなる線分も、ΒΓに平行ではない。したがって、ΑΔはΒΓに平行である。よって同じ底辺の上にあり、かつ同じ側にある等しい三角形は同じ平行線の間にある。これが証明すべきことであった。冒頭で述べた通り、今回は前々回の「同じ底辺・同じ平行線の間にある三角形」の逆である。次回は、「等しい底辺・同じ平行線の間にある三角形」の逆だ。「同じ底辺・同じ平行線の間にある平行四辺形」「等しい底辺・同じ平行線の間にある平行四辺形」の逆はというと、実はこれは出てこない。その代わり、少し先の方で「平行四辺形は三角形の二倍」という命題が出てくる。これと今回の命題を合わせれば、平行四辺形についても簡単に証明できる。参考文献このブログは、主に下記の文献を元に書かれています。記事中で単に参考文献と書いた場合は、[1]を指します。-1213-tsujimotterのノートブックINTEGERSアジマティクスますぱらCorollaryは必然に。高校数学の美しい物語mattyuuの数学ネタ集フィボナッチ・フリークはてなブログをはじめよう!kiguroxさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。