-ストイケイア-ユークリッドの『原論』を少しずつ読んでいくブログです。第1巻-命題-命題1.19すべての三角形において、どの二辺をとってもその和は残りの一辺より大きい。中学校の1年だったか2年だったか忘れたが、こんな問題がテストで出たことがある。次のうち、三角形が作れる辺の組をすべて答えなさい。8cm答えは(1)と(3)で、(2)は三角形を作れない。その理由は、2と4の和が8より小さいからである。ある二辺の和が残りの一辺より小さい三角形は、存在しえないのだ(これは今回の命題の対偶である)。三角形ΑΒΓにおいて、どの二辺をとってもその和は他の一辺より大きいことを示す。ΒΑ、ΑΓの和がΒΓより大きいことを示そう。ΒΑを延長し*1、そこからΑΓに等しい線分ΑΔを切り取り*2、ΔΓを結ぶ*3。(ΑΓ=ΑΔ)すると、三角形ΑΓΔは二等辺三角形なので、角ΑΔΓも角ΑΓΔに等しい*4。このとき、角ΒΓΔは角ΑΓΔより大きいので、角ΑΔΓよりも大きい。三角形において、大きい角には大きい辺が対するので、辺ΒΔは辺ΒΓより大きい*5。ところが、辺ΑΔはΑΓに等しいのだった。ゆえに、辺ΒΔは、二辺ΒΑ、ΑΓの和に等しい。したがってΒΑとΑΓの和は、ΒΓより大きい。同様にして、ΑΒ、ΒΓの和もΓΑより、ΒΓ、ΓΑの和もΑΒより大きいことを証明しうる。よって、すべての三角形において、どの二辺をとってもその和は残りの一辺より大きい。これが証明すべきことであった。先にΒΔがΒΓより大きいことを示した後、「実はΒΔはΒΑとΑΓの和に等しい」と明かす証明だ。中学のときも、同様の方法で証明を教わった記憶がある。あれは『原論』の説明をそのまま引用していたのだ。今回の命題は、「三角形の一辺は、他の二辺の和より小さい」ということであり、平たく言えば「回り道するよりまっすぐ行った方が近い」という意味だ。どこかの誰かが、「そんなことは犬でも知ってる」と言ったそうだ。たしかに直感的には明らかだが、直感的に明らかなことを論理的に証明してしまうところが『原論』の魅力である。参考文献このブログは、主に下記の文献を元に書かれています。記事中で単に参考文献と書いた場合は、[1]を指します。-1213-tsujimotterのノートブックINTEGERSアジマティクスますぱらCorollaryは必然に。高校数学の美しい物語mattyuuの数学ネタ集フィボナッチ・フリークはてなブログをはじめよう!kiguroxさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。