前回は集合論の言葉で有理数を構成した。今回はそれを利用して実数を構成する。デデキント切断という手法で実数とその演算と大小を定義する。その後、それらが『実数』と呼ばれる数が持っていてほしい性質をひととおり持っていることを確かめる。前回は集合論の言葉で整数を構成した。今回はそれを利用して有理数を構成する。集合として有理数を構成することで、有理数も集合論の言葉で利用できるようになる。記事で二項関係を定義したが、その中でも特別な性質を満たすものを全順序関係とよぶ。自然数の大小関係もこの全順序関係となるので、自然数の大小関係を例として全順序関係について述べる。集合論の言葉による整数の構成ここまでで、自然数や集合論に関する諸々の概念を述べ、それらを集合として定義し、その存在を証明してきた。集合として定義し、集合論の言葉で使う準備を整える。以前の記事で二項関係を定義したが、その中でも特別な性質を満たすものを同値関係とよぶ。この同値関係は自然数を元に整数などを定義する際に重要となるので、ここで定義してその性質に触れておく。前々回は写像を集合論の言葉で定義し、使えるようにした。二項演算はこの写像として定義できるので、今回は二項演算を定義する。これによって、以前定義した自然数に足し算などの演算を与えることができる。前回は写像を集合論の言葉で定義し、使えるようにした。実は数列は写像を使って簡単に定義できるので、ここで定義してしまうことにする。前回の記事では順序対や直積集合を定義したが、二項関係や写像は直積集合の部分集合と定義されるので、前回の記事でその準備が整ったことになる。そこで、今回は二項関係と写像について述べる。前回までで自然数を用意し、外延的記法や内包的記法で基本的な集合を記述する準備が整った。ここからは、様々な集合を特別な数学的対象として扱うことを考える。そこで、まずは順序対を集合として定義する。集合として定義したうえで、冪集合公理を導入することで多様な集合の存在を示すことができるようになった。今回は部分集合の存在を示す公理を導入することで、より多くの集合の存在を示せるようにする。