同士はどういうときに『等しい・同じ』と見なすのかを説明してきた。この記事では具体的に有限集合を作り表記する方法である外延的記法について、その使い方と使える根拠を述べる。記述する方法の一種であり、その集合に属するモノをすべて書き並べることで表記する。自然数を集合として登場させる)。1と2が属し、それ以外のモノは属さないを満たすとしよう。あり区別すべきではないということになる。いう『二つ』のモノについて書かれているように見えるが、この二つは同じものなので実は『一つ』のモノについて二回繰り返して書いてあるのである。増やしていっても同様で、「1と2が属し、それ以外のモノは属さない集合」を何回書いたところでそれらはみな同じモノである。「1と2が属し、それ以外のモノは属さない集合」は一つまでしか存在しないのである。ことを特別に\[\{1,2\}\]と書く。この書き方が外延的記法である。作ることができて外延的記法で表せるのだが、実はその根拠はまだ述べていない。表すとしか言っていないである。確かに存在することを示していく。そのために対の公理を導入する。属する集合」が存在する。書いてあるとおりで、この対の公理によって上で挙げた「1と2だけが属する集合」が存在するのである。属する集合はひととおり存在が証明される。属する集合の存在も対の公理から証明できる。対の公理により存在する。比較すると、3が両方の集合に属していてそれ以外のモノはいずれにも属していないので、どちらか一方にしか属していないモノは存在しない。存在が示されるということと同義である。和集合の公理3つ以上のモノが属するモノについては対の公理だけでは存在を証明することはできない。そこで、さらに和集合の公理を導入する。属しているモノだけがすべて属するような集合」が存在する。わかりにくいかもしれないので例を出そう。属する」集合も存在する。すべて属するような集合」である\[\{1,2,3\}\]が存在すると証明できる。このようにして対の公理と和集合の公理を使うことで3つのモノが属する集合の存在がひととおり示せる。存在はひととおり示すことができる。ちなみに、この理屈では無限個のモノが属する集合の存在は示せない。理由はいたって単純で、上の公理を繰り返し適用する手順で作ろうとすると、公理の適用が有限回で終了しないからである。終了しないのだから、証明できたことにはならない。この方法では作れないので後の記事で紹介する方法を使う。和集合これで外延的記法の説明はいったん終了し、和集合の公理について掘り下げる。他のモノに変えない限りは外延性の公理より一つしかない。x\]と書くことにする。\{1,2,3\}\]であるということになる。(この記法は高校数学で習う和集合と一致する)。高校数学では和集合と一緒に共通部分も習うであろうが、共通部分の存在はこれまでに導入した公理だけでは証明できないので、後の記事で扱うこととする。