面積とは何かということがわかったところでまずは正方形、長方形の面積の公式を導きます。これがすべての基本となります。下の図を見てみてください。辺の長さが整数である正方形、長方形の公式を考えましょう。基準の正方形が縦に2個それが3列あるので、2×3で合計6個ですね。分け方を変えてみます。基準の正方形が横に3個それが2列あるので3×2で合計6個で同じく面積6です。辺の長さが整数でない場合はどうでしょうか?上の図の場合、基準の正方形が縦に2個と0.5個あるので合計2.5個それが3列あるので2.5×3で合計7.5個分つまり面積は7.5となります。分け方を変えてみます基準の正方形が横に3個それが2列と0.5列で合計2.5列分3×2.5で合計7.5個分やっぱり面積は7.5となります。これらのことから分かるのは長方形は縦の長さと横の長さをかけると面積が求められます。正方形はどうでしょうか?正方形は縦と横の長さが等しい長方形と考えることができます。したがって次のことが言えます。長方形の面積は縦×横または横×縦で求められる。中学生以上の方はこっちです。縦、横の長さがそれぞれa、bである長方形の面積Sについて次の等式が成り立つ。S=ab=ba正方形の時、特にa=bよりS=a2=b2これで正方形、長方形の面積の公式が証明できました。次に平行四辺形について考えて行きましょう。平行四辺形の場合、必ず角が直角であるというわけではないので、正方形を敷き詰めてみて何個分か数えるというやり方では厳しそうです。そこで、平行四辺形を変形して長方形の形にできたら長方形の面積の公式使えるなぁと思うわけです。こんな感じにすると、長方形になりますね。底辺にあたる部分が横となっているので、この面積は底辺×高さですね。こんなパターンもあり得ますね。細長いパターンのやつですね。これはこんな感じにするとぴったりいきます。これも同じ公式が得られますね。補足として、中学生以上の方向けに証明の方針だけ、下のほうに書いておくので、よければご覧になってください。したがって次のことが言えます。平行四辺形の面積は底辺×高さで求められる。中学生以上の方はこっちです。平行四辺形の任意の(どれでもいいという意味)1辺の長さをaとし、その辺の延長線上と、その辺と向かい合う辺上の任意の点Pからひいた垂線との交点をQとしたときの線分PQの長さをhとすると、平行四辺形の面積Sについて次の等式が成り立つ。S=ah中学生以上向けの方は少しややこしい書き方をしてしまいましたが、頑張って自分で解読することによって、数学力が伸びますのでがんばりましょう!次は、まちにまった三角形の面積の公式です。ここまで来れればかなり簡単だと思います。三角形の面積についてですが今までやってきたことを思い出してみれば瞬殺です。考えてみるのは基準の正方形を敷き詰める方式ですが難しそうです。変形して私達が知っている公式に当てはめられるか考えてみましょう。