†[法則]波長と振動数の関係(プランク)溶鉱炉から出てくる光のエネルギーEは振動数νのh倍であった。これを数式で表すと次のようになる。このhは、プランク定数といい、H=6.626×10-34[J・s]という値を持つ。これは物理学では磁場をHで表す場合が多いので、混乱を避けるためである。振動数とは、光が1秒間に進む間に含まれる波の数である。真空中を進む波長0.5μmの光の振動数は光速が秒速30万kmなので、振動数は次のように計算される。[Hz]プランクの式を信じると、ある一定の振動数νの光では、hνより小さいエネルギーの光、例えば振動数がνで、エネルギーがhνの0.5倍の光は存在しないことになる。この当時、光のエネルギーがhνより小さな値を持てないというのはまったく新しい概念であった。このエネルギーの最小の大きさをエネルギー量子と呼ぶ。数年後にプランクは、光のエネルギーはhνだけでなく、その整数倍の値もとれることに気付いたのであった。式で書くと、光のエネルギーは次のようになる。ここで、nは正の整数。よって、光のエネルギーはhν,2hν,3hν,4hν,...という飛び飛びになるのである。ここから量子力学の幕開けになる。当初、プランクは光がhνの整数倍しかとれないのは、溶鉱炉の中に光が閉じ込められているからだと考えた。溶鉱炉の中から出てくる光に固有の現象だと考えたのである。プランクはこの研究によって、1918年にノーベル賞を受賞した。1900年のプランクの発表から5年後に、アインシュタインは「E=nhνの関係は光が溶鉱炉に閉じ込められていることとは関係がない」という解釈を発表した。アインシュタインは、光のエネルギーがE=nhνの値を取るのは、光がE=hνのエネルギーを持つ粒子からできていて、その粒子が2個あるときのエネルギーが2hνとなり、n個あるときのエネルギーがnhνになると考えたのである。彼の解釈では、光のエネルギーがnhνになるのは、プランクの考えとは異なり、溶鉱炉の中の光だけではなく、すべての光に共通した性質であるとしたことである。アインシュタインはこの光の粒子を光量子と名付けた(この説は光量子仮説と呼ばれる)。現在では、この光の粒は光子(フォトン)と呼ばれている。†アインシュタインは、「光が粒子であるなら、ボールと同じように運動量を持っているはずだ」と考えた。ニュートン力学での運動量は、mvで表される。光量子仮説の発表から11年後に、アインシュタインは光の運動量pは、プランク定数を波長で割った値で表されることを理論的に導いた。[法則]光子の運動量アインシュタインが提唱したこの関係は、それから7年後の1923年に、アメリカ人の物理学者コンプトンの実験によってその正しさが実証された。(エイチバーと読む)をよく使う。使って書き直しておく。エネルギーと振動数の関係は次のように書ける。ω(オメガ)は角振動数と呼ばれる量で、振動数νに2πをかけたものである。これは振動数νを使うより、角振動数ωを使うほうが後々便利だからである。運動量の法則は次のように書ける。ここで2π/λをkと置き、波数と呼ばれる。波数kが大きいということは波長λが短いことを意味する。真空中の光の速度は波長にかかわらず同じなので、波長が短いということは、1秒間に光が進む間に含まれる波の数が多いことを意味する。波数は波の数を表すのである。原子の中でもっとも簡単なものが水素原子である。それが軽い電子と思い陽子からできていることも1910年代の初めに判明していた。それらはそれぞれマイナスとプラスの電気を帯びて引き合うこともわかった。その2つが合体しないためには、両者が互いに動きあっていればよい。太陽の周りを惑星が回るように、重い陽子の周りを電子が回っていると考えれば、その遠心力とクーロンの引力がうまくつりあってくれる。そこまでは大抵の物理学者は考えつくことができた。そこで、それを式に書くと次のようになる。(∵左辺が円運動の遠心力、右辺が距離rだけ離れた電気量e同士の物体の間のクーロンエネルギー)つまり、小さな原子(r→小)なら電子は速く動く(v→大)ことになる。大きな原子ではvは小さくなり、水素原子にはどんな大きさのものも、どんなエネルギーのものもありえることになる。バルマーの式にあるように、原子のエネルギーはいくつかの限られた値しか取れない。そこで、ボーアは「角運動量は量子化される」という大胆な仮説をした。式で書くと次のようになる。nは自然数(正の整数)である。この式をボーアの量子仮定という。理由はボーア自身にもわからなかったが、とにかく原子の中の原子の動きには何らかの制限があったのだ。[Å]か、その4,9,16倍,...となる。この時点で原子の正確な大きさは知られていなかったが、水素原子のスペクトルがバルマーの式に完全に一致することが示されてボーアの考えが正しいことが実証された。物質はド・ブロイ波で確認された。この波がしたがう方程式(これをシュレーディンガー方程式という)を記述したい。波には、ずっと振動し続ける波とだんだん小さくなっていく波(減衰する波)の2種類がある。振動する波の代表は、サイン波である。ひとつの減衰する波の例として、音の波がコンクリートの壁を伝わる場合を考えてみる。音の波はコンクリートの壁を伝わるうちにどんどん小さくなっていく。コンクリートの中に深く進入するほど、音は小さくなることから、コンクリートの壁が厚い方が防音性能はよいということがわかる。した波を表すには、次のように指数関数が適している場合が多い。bが正の実数であれば、xが大きくなるほどみるみる小さくなっていく。よって、2種類の波を表すには、sin(ax)という関数とe-bxという関数が適していることがわかる。実際の波は振動しながら減衰する波であったり、振動しながら増大する波であったりする場合が多いので、この2つの波をひとつの式で表す必要がある。式としては簡単で、この2つの掛け算を考えればよい。a=1、b=0の場合は振動する波、即ちサイン波を表す。a=0、b=1の場合は減衰波を表す。a=b≠0の場合は、上記の図のように振動しながら減衰する波になる。ここで一旦、exについてもう少し言及する。テイラー展開により、ex、sin(x)、cos(x)は次のように表される。次のオイラーの公式を使う。x=axを代入すると、次のようになる。両辺にe-bxを掛ける。整理すると、次のようになる。ゆえに今後、波の式は次を使うことにする。複素共役を掛けると次のようになる。†3次元で発生する波の代表的なものには、球面波と平面波がある。球面波は1点から球状に広がっていく波である。平面波は波の進行方向に垂直な平面で、位相が一致している波のことである。レーザーで放出される光などである。ポイントはレーザーといっても束となったときに電子が平面はになるのではなく、1個の電子が平面波なのである。波動関数は次の式で表される。Aは振幅、xは座標、ωは角振動数、tは時間、kは複素数である。eikxは空間的に振動する波を表す(波長はk=2π/λ)。e-iωtは時間的に振動する波を表す(角振動数ω=2πν)。この2つが掛け算されているわけである。この式は空間的に広がり(xの関数である)、かつ時間的に振動している(tの関数である)。Ψ(プサイ)は波動関数を表す記号であり、次のように置かれる。レーザー(4475d)。