[平面図形]左図のような台形ABCDがあります。角A、角Bの2等分線の交点をP、角C、角Dの2等分線の交点をQとします。美光さん、うっしーさん、BOSさん他)APの延長と辺BCの交点をF、DQの延長と辺BCの交点をEとします。ADとBCが平行だから、角DAF=角AFB。よって、三角形ABPと三角形FBPは2角が等しいので相似となり、辺BPが共通なことから合同となります。従って、角APB=角FPB=90°、すなわち三角形ABPと三角形FBPは合同な直角三角形となります。これから、BF=AB=8cmと分かります。同様に、三角形DCQと三角形ECQは合同な直角三角形、EC=DC=10cmとなります。従って、EF=BF+EC−BC=8+10−16=2cm。三角形ARDとFREは相似だから、DR:RE=AD:FE=5:2。よって、DQ=QEより、DQ:QR=3.5:1.5=7:3。AP=PF、DQ=QEより、Pから辺BCへ下ろした垂線の長さ(h2とします)、QからBCへ下ろした垂線の長さはどちらも台形ABCDの高さ(h1とします)の半分で等しい。よって、PQはADおよびBCと平行と分かります。よって、三角形ARDとPRQは相似となり、PQ:AD=RQ:RD=3:10。従って、PQ=AD×3/10=5×3/10=1.5cm。台形ABCDの面積をS1、台形PBCQの面積をS2とすると、S1=1/2×(AD+BC)×h1=1/2×(5+16)×h1=21/2×h1。S2=1/2×(PQ+BC)×h2=1/2×(1.5+16)×h1=17.5/2×h2=35/4×h2。よって、S1/S2=21/2×h1/35/4×h2=6/5×h1/h2=12/5=2.4倍と分かります。