2017/11/05高次元空間の球において、ほとんどの部分が球の表面付近に集中する。これを球面集中現象と言う。次元の呪い二次元の場合いきなり高次元の球を考えるのは大変なので、二次元の場合の球(つまり円)について考えます。以上離れている部分を「表面付近」と呼ぶことにします(図の緑の部分です)。次に、三次元の場合の半径1の球(つまり普通の球)について考えます。以上離れている部分を「表面付近」とします。二次元の場合と同様に直接計算してもOKですが、ここでは(三次元空間において)相似な図形の体積比が相似比の三乗に比例することを使って計算してみます。二次元の場合よりも「表面付近」の割合が増えました。四次元以上の場合は図形をイメージすることはできませんが、同様に計算することはできます。以上離れている部分を「表面付近」とします。近づきます:$n=2$→$19$%$n=3$→$27$%$n=4$→$34$%$n=5$→$41$%$n=10$→$65$%$n=15$→$79$%$n=20$→$88$%つまり、高次元空間の球では体積のほとんどが表面付近に集中していることになります。高次元空間ではメロンパンのほとんどは皮の部分という訳です。直感では理解しがたいおもしろい現象です。これを球面集中現象と言います。次元の呪い高次元空間では、球面集中現象のように我々の直感と反する現象が起こります。このことによって、統計や機械学習の手法(例えばサンプリングやクラスタリングなど)がうまくいかなくなることがあります。このような「高次元であることによって現れるマイナスの効果」を次元の呪いと言います。