無料プリント数学の偏差値を70にするプリント!HOME数学の偏差値を70にするプリント!ルールを覚えれば誰でもできる!あなたの数学偏差値を70にするプリント!!なぜか解ける。)黄チャートでさえ見るのもイヤだった。合格!!入試結果を見たら数学の成績がかなりいい(ホント?)まわりに河見先生をすすめまくっています(笑)今までの数学の概念が変わりました。「考える」ってそういうことだったんですか・・・(現在受講中)「なぜか解けてしまう。なんで、こんなに簡単に解けるんだろう。今まで苦労していたのは、なんだったのかな?」これが、僕の授業を受けた生徒さんからよく受ける感想です。これって僕が何も特別なことをした訳ではないんです。数学って、覚えておかないといけないルールがあります(このときは、こうするといったものです)。それを覚えずに解こうとしても無理なんです。「ルールを覚えたら解ける」っ言われても想像がつかないと思います。そこで、数列の漸化式の問題を解説してみます。以下の漸化式、国立大学では頻出です。進学校に通っている人でも解けない人が多いです。パソコンやスマホで読んでいらっしゃる人が多いです。画面上では、数式をきれいに表記できないので、少し読みにくいかもしれません。僕の数学の問題へのアプローチの仕方が分かると思います。\(\large{a_1=1,\,\,\,\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_{n}}{n+2}}\,\,\,\)の一般項を求めよ。今から問題を解いていくことにするね。\(\large{a_1=1,\,\,\,\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_{n}}{n+2}}\,\,\,\)なんていわれても、よくわからないよね。そこで、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけることにするね。「なんで、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけるの?」って思うよね。それは、後で説明することして、とりあえず両辺にかけてみることにするね。\text{両辺に}}}&{\color{red}{\text{\(n(n+2)\)をかけた!}}}\\(n+2)\,a_{n+1}&=n\,a_n\end{aligned}$$とりあえず、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけて整理したら上記の通りになったよね。今から、両辺に\(n\,(n+2)\)をかけた理由を話すね。漸化式を解くときに、\(a_{n+1}=3a_n\)とか\(a_{n+1}-\alpha=\beta\,(a_n-\alpha)\)とかと変形することが多かったけど、これよくみたら左辺が\((n+1)\)の式で右辺が\(n\)の式なんだよね。左辺が\(n+1\)の式で、右辺が\(n\)の式っていう訳ではないけど、漸化式は、左辺が\(n\)の大きな式で、右辺が\(n\)の小さな式でないと解けないことが多いんだ。\(n\)の大きな式とか、\(n\)の小さな式というのが少し数学的な表現ではないかもしれないけど、まあ分かるよね。今回の式を見て欲しいんだけど、今回は\(\frac{a_{n+1}}{n}=\frac{a_n}{n+2}\\\)で\(n\)の大きな式が右辺の分母の\(n+2\)、そして\(n\)の小さな式が左辺の分母の\(n\)です。今回もそのルールにのっとって、左辺を\(n\)の大きな式に、右辺が\(n\)の小さな式にすることができないかな?と見てみると、両辺に\(n(n+2)\)をかけたらうまくいくということに気づいたんだ。両辺に\(n(n+2)\)をかけて整理すると、\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)となってくれて、\(n\)の大きな式の\(n+2\)が左辺にきて、\(n\)の小さな式が右辺にきたよね。これで、とりあえあず左辺が\(n\)の大きな式で右辺が\(n\)の小さな式になってくれました。100パーセントこうするとは限らないけど、とりあえずこうする可能性が高いと思っておいてくださいね。\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)まで変形することができました。ここから、どうやるかすごく難しいよ(知っていたら簡単だけどね)。言ってしまえば、両辺に\(n+1\)をかけたらうまくいきます。\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)の両辺に\(n+1\)をかけたら、\((n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}=n\,(n+1)\,\,a_n\)です。「あっ、これでうまくいったな」と思って欲しいんだけど、よくわからない人は「\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)」とでも置いてくださいね。すると、\(b_{n+1}=(n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}\)ってなるよね。これより、\((n+1)\,(n+2)\,a_{n+1}=n\,(n+1)\,\,a_n\)は\(b_{n+1}=b_{n}\)となります。これで、解ける形になります。「言われたら分かるけど、どうして両辺に\(n+1\)をかけるって気づいたの?」なんて思うよね。これは以下のルールがあるからですよ。「漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」というルールがあります。いうことかと言えば、今回の場合\((n+2)\,a_{n+1}=n\,a_n\)なんだよね。いったときは、\(n+2\)と\(n\)の真ん中の\(n+1\)を両辺にかけたらうまくいきます。こんなの、なかなか気づけないよね。覚えたら誰でもできるようになりますよ。それでは、今回の問題の漸化式に戻ります。\(b_{n+1}=b_n\)まで変形できました。ここからは簡単だよね。分からない人もいるので、一応話しておくね。分かる人はスルーしてください。\(b_{n+1}=b_{n}\)はひとつ大きな項である\(b_{n+1}\)がひとつ小さい項である\(b_n\)と値が等しいといっているんだよね。いうことは、ひとつ大きな項とひとつ小さな項が常に値が等しいと言っているんだよね(逆に、等しいんだからひとつ小さな項から見ても、ひとつ大きな項はひとしいです)。いうことは、\(b_1=b_2\)が言えるよね。\(b_2=b_3\)も言えるし、\(b_3=b_4\)も言えるし、これをずっと続けていけば\(b_n\)の値は常に等しいということが分かると思いますよ。今回の問題は、\(b_{n}=b_1\)となります。別に\(b_1\)でなくて、\(b_2\)でもいいし、\(b_3\)でも何でもいいんだけど、\(b_1\)が一番計算しやすいので、\(b_1\)にしています。\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)なんだから、\(b_1=1\cdot\,(1+1)\,a_1=2\)となるので、\(b_n=b_1=2\)です。\(b_n=n\,(n+1)\,a_n\)で、これより\(\underline{a_n=\frac{2}{n\,(n+1)}}\,{\color{red}{\Leftarrow\,\text{これが答え}}}\)となります。漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」というルールを覚えてくださいね。このルールでは、例えば\(\frac{a_{n+1}}{n+2}=\frac{a_{n}}{n}\)という漸化式だとしたら、真ん中の数の\(\frac{1}{n+1}\)をかけます。すると、\(\frac{a_{n+1}}{(n+1)\,(n+2)}=\frac{a_n}{n\,(n+1)}\)と変形したら解けます。次に\(I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n\)という漸化式を考えていきます。両辺に\(n+2\)をかけます。この理由は、分かるよね。これは、さっき話したルールです。漸化式の問題では、左辺を\(n\)の大きな式、右辺を\(n\)の小さな式にしてから解いていくんだよね。このルールに従って、とりあえず\(I_{n+2}=\frac{n+1}{n+2}I_n\)の両辺に\(n+2\)をかけて、\((n+2)\,I_{n+2}=(n+1)\,I_n\)と変形します。ここからは、先ほどの2番目のルールの「漸化式で、真ん中のものがあるときは、真ん中のものをかけることがある!」に従うと、両辺に\(n\)と\(n+1\)の真ん中の数の\(n+\frac{1}{2}\)をかけるのかな?なんて思うけど、これはダメです。言うと、漸化式は整数を扱うんだよね。\(n\)と\(n+1\)の真ん中の数は整数ではないので、少し違います。そこで、どうしようかな?と思うんだけど、左辺に\(I_{n+2}\)があり、右辺に\(I_{n}\)があるよね。これだったら真ん中は\(I_{n+1}\)だよね。この問題では両辺に\(I_{n+1}\)をかけるとうまくいきます。実際、両辺に\(I_{n+1}\)をかけると、\((n+2)\,I_{n+2}\,I_{n+1}=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)となります。これで、\(a_n=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)とでも置くと、\((n+2)\,I_{n+2}\,I_{n+1}=(n+1)\,I_{n+1}\,I_n\)は\(a_{n+1}=a_n\)となるので、以降これを解いていけばOKです。なんだかあっさり解けてしまったよね。今回は説明しやすいように簡単な問題を選びました。他の問題でもいっしょですよ。「このときは、こうする」というルールを覚えていけば、自然とできるようになります。難しく感じる必要はないですよ。上記の問題も「すごい難しい」なんていう人もいるけど、解法を読んで見たら簡単だったよね。数学って、この程度なんです。プリントを使って高校生から、以下のような感想をいただきました。*プリントで勉強をしている高校2年生の生徒さんの感想です。河見先生のプリントは解説がとても詳しく書いてあり、問題の解く過程をひとつひとつ丁寧に追っていけました。なるのか、疑問に思ったところはほぼ必ず解説があるので安心します。理詰めで解いているところと、この問題はこうしたら解けるという割り切って覚えるところが、はっきりしているので、そこが他の参考書と違う強みだと感じました。数学って「こうきたらこうする」とか「このときはこうする可能性が高い」とか「これは、覚えるしか対処しようがないな」なんてものがあります。それらを覚えていけば、知らないうちに問題が解けるようになります。そのときは、その場で考えないといけません。実際の大学受験ではそこまで難しい問題が出題されることは少ないです。大学受験では満点は必用ありません。6,7割取れたら合格できます。今回紹介しているプリントの問題ができるようになれば、ほぼすべての大学に合格することができます。プリントは、簡単ではありません。それでも、これまで「数学を頑張りたい。頑張り方が分からない」とか「勉強してもしてもできるようにならない」と困り切っている人に授業をして、そして結果を残しています。このプリントは、それだけ挑戦しがいのあるものです。心の底から数学の成績を上げたいのでしたら、このプリントで頑張ってください。全51問193ページ数列の極限をまったくの基礎から解説しました。数列の漸化式では数学Bの数列の知識が必須です。理解できていない人が多い漸化式をすべて解説。これさえできれば漸化式は完璧です。受験で、最頻出の\(|a_{n+1}-\beta|\leq\alpha|a_n-\beta|\)を示した後の、数列\(\{a_n\}\)の極限値を求める問題を3問掲載。全28問151ページが収束しない理由とは?といった複雑な極限値もルールに従えば単純に解けてしまいます。数列の知識も必須です。多くの人が苦手にしている、格子点、群数列に関して基本から解説しています。全105問521ページ微分をまったくの基礎から、受験レベルまで完全解説!みんなが苦手としている2階微分、漸近線の求め方などグラフを徹底解説!\(f'(x)\)の正負を知るにはグラフを使う方法がある。これさえ知っていれば、\(f'(x)=1+\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\)といった複雑でも、\(f'(x)\)の正負を簡単に知ることができます。全86問233ページ面積や積分に進む前に不定積分・定積分の計算を完璧に仕上げてもらいます。これができなければ理系の入試は厳しいです。難しく感じている人も多いですが、ごくごく簡単。使った積分など、このプリントだけで積分計算は完璧です。全29問191ページ受験に最頻出です。かかわらず理解できていない人が多い!その問題を徹底解説!「積分漸化式の最初の式変形は?」これを知らなければ、プリントをする価値があります。このセクションは難しいです。その変わり変形するのが難しく同じ問題が繰り返し、繰り返し受験で出題されます。島根大学医学科を合格した生徒さんです。大学の過去問をみると、この単元から1問でそう、だから、この単元だけは絶対に完璧に解けるようになるまで繰り返し頑張ってもらいました。出題されたのがこのプリントの問題19に掲載している問題とまったく同じ問題が出題されました。「解けました!」と喜んでいたんですけど、「まったく同じ問題なんだから解けないと困ります」。難しいけど、ひねりようがない単元です。このプリントを繰り返し解けば、入試レベルまで完璧です。全37問319ページなぜ、積分で面積が求まるの?これが分かれば、側面積など複雑な面積も意味を考えて簡単に面積を求められるようになります。全21問156ページ体積の意味を解説。y^2\,dx\)の意味を解説。これが分かれば、\(x\)軸回転や\(y\)軸回転以外、例えば直線\(y=1\)の周りに回転する、といった問題も簡単に解けます。全11問35ページ意味も分からずに解いている人が多い、区分求積の意味を解説。区分求積法は、大問で出題されることは少ないです。同じ問題が繰り返し、繰り返し出題されています。積分の入試問題セクション5(曲線の長さに関する問題)全4問12ページ曲線の長さは定積分の計算がややこしいです。考え方にコツがあります。x}\,dx\)の積分ができない人は注意してください。全11問93ページ入試では頻出だが、多くの高校生が苦手にしている媒介変数表示を徹底解説!リサージュ曲線、サイクロイド、内(外)サイクロイド(円をころがる軌跡です)、アステロイドなど有名曲線はすべて網羅。すべて丁寧な解説付きで、しっかりと理解できます。\((x,y)=(r(\theta)\cos\theta,r(\theta)\sin\theta)\)の形で表される曲線の面積は、おうぎ形の面積を足し合わせて求めることができます。全25問158ページ受験で頻出の、不等式の積分の問題を解説!面積を使った大小比較、単調な関数を使った不等式のつくり方他、多くの学校ではテキトウにしか扱わない箇所を丁寧に解説しています。プリントをすれば上記の知識がすべて手に入ります。スゴくないですか?「なぜ、ここでこのように変形したのか?」ということを徹底的に解説しています。数学があまり得意でない人でもプリントを読み込むことで、自然と理解できるようになってきます。上記のプリントが完璧にできたら、ほぼすべての大学に合格できますよ。最難関と言われる国立医学部医学科にも多くの人が合格していっています。言って、内容が難しすぎることはありません。「数学ができない」というのでしたら難しいかもしれません。それ以外の人でしたら大丈夫ですよ。「数学なんて見るのもイヤ」と拒絶するほど数学が苦手な人以外は大丈夫です。プリントの料金についてプリントの料金は、上記のプリントすべてがセットで税込み39,800円です。サンプルからここまで、僕がプリントのメリットばかりを話してきました。こんなネットの話し信用できないですよね。僕が、あなたの立場だったら「プリントやってみたい気もするけど、なんだか怪しいしやめておこう・・・」と思うでしょう。あなたもその不安があると思います。数万円もする教材を買うのは気が引けますよね。そこで、サンプルとして「数列の極限」のプリントを無料で提供いたします。このプリントは一切無料です。プリントを試してみて「これならいけそう!他の単元のプリントも欲しい!」となりましたらメールで連絡してください。プリントをやってみた上で「あわないな」と感じたら無視してください。金額は一切発生しないので安心してください。納品形式PDFファイルです。お申込み後、銀行振り込みにてプリントの料金をお支払いしてもらいます。入金確認後、メールにてダウンロード先のURLをお知らせします。それをクリックしていただいたらすぐにご覧になれます。「数列の極限」のサンプルを試してみる以下より、サンプルの申請をしてください。「お試しより全部のプリントが欲しい!」という方もいらっしゃいます。以下のフォームでどちらかを選択してください。あなたの質問に答えます。Q.プリントは、プリントアウトすることができますか?A.可能です。各自、ご自宅でプリントアウトしてお使いください。Q.スマホでもプリントを見ることはできますか?A.閲覧自体は可能です(iPhoneなら問題なく見ることができます。アンドロイドの場合、PDFファイルを見るために、無料のアプリが必要なことがあります)。スマホの場合、モニターが小さいので見にくいかもしれません。スマホに慣れている人であれば問題ないかもしれません。Q.分からないところが出てきた場合、質問に答えてくれますか?A.メールで質問をしてもらえば、できる限り回答します。できる限りと言ったのは、あまりにもくだらない質問(お気軽に聞いてもらった大丈夫ですよ。\(\sin60^{\circ}\)っていくらですか?なんて、簡単すぎるものは自分で調べてください)や何度も質問をしすぎる(少しは自分で考えないとできるようになりません)などそういったときはお答えしかねます。繰り返しになりますけど、気軽に質問をしてくださいね。あまりにも度を超えて、生徒さん本人のためにならないと考えたら、お答えしかねる場合もあるってことです。僕の目標は、「あなたに数学の成績をあげて、志望校に合格すること」ただ、それだけです。これにつながりそうなことだったら喜んで行動します。ない場合、対応いたしかねます。Q.プリントのページ数が多すぎます。それほど多くの量をこなせるか不安になります。A.プリント、たしかにページ数が多いですよね。量が多すぎる!なんてついつ思ってしまいます。プリントを作った僕でも、「ページ数が多すぎる!!」なんて思います。問題数じたいは他の問題集とそれほど変わらないんです。多めといった程度です。他の問題集の4,5倍のページ数はあります。それは何か?と言えば丁寧に説明しているからなんです。大雑把な地図を渡されて「目的地に行ってください」と言われても、目的地にたどりつきません。そんな人でも、詳細な地図が渡されたら目的地にたどりつくことができます。僕のプリントは、詳細な地図のようなものです。大雑把な地図を渡されて「ああでもない、こうでもない」とさまよっていてもいくら頑張っても目的地にたどりつきません。多少(といいますか、かなり)ページ数は多いです。読み進めていけば「ああ、数学ってこういうふうに考えるのか」ということが、どんどん自分の身に入ってきます。すると、これまで考えられないほどの成績アップにつながりますよ。その人は、「数学が得意でない!」と言っていました。