pでべき乗(何回も同じ数値で掛け算していくこと)して、観察してみる。その結果を表にまとめると次のようになる。6まず、表の見方を説明する。1行目はaの1〜6(=p-1=7-1)の値になり、縦にその値をどんどん掛けていくことになる。7で考えていくので、すべての数値は6以下の値になっている。a6(p-1乗)の行でaの値に限らず、すべてが1になっていることに注目して欲しい。次に、pが合成数のときを考えてみる。してしまうので、ここでは合成数であることを意味するためにhとしておいた。hでべき乗して、観察してみる。1pが素数のときと異なり不規則になっていることがわかる。合成数の表では0が登場していることがわかる。一度0が登場してしまうと、列のそれ以降はすべて0になってしまう。0が登場しているので、a7(h-1乗)の行で、aの値はすべて1になることはありえない。以上の数値実験の結果によると、p=7の場合には、p-1乗のときに必ず1になることがわかった。この事実はpが素数であるときに一般的に成り立つ。これこそがフェルマーの小定理である。詳細は次の項で解説する。†[定理]フェルマーの小定理p:素数、(a,p)=1とする。このとき、次が成り立つ。[証明]pは素数なので、1≦i≦pとすれば、次の2項係数はi<pのとき分母がpで割り切れない。なる(i=1,2,...,p-1)。ここで、定理はaに関する帰納法で証明される。[1]a=1のとき、自明に成り立つ。[2]a=k-1のとき、定理が成り立つと仮定する。よって、両辺にk-1を掛けると、次が成り立つ。このとき、a=kのとき定理が成り立つことを主張したい。pの既約代表系は{1,2,...,p-1}である。(a,p)=1であるaを(*)の各項に掛けると、{1・a,2・a,...,(p-1)・a}になる。これを(**)とする。□[別証](ディリクレの証明)[定理]「pを素数、pはaを割り切らないとする。」において、両辺を2乗すると、フェルマーの小定理そのものである。□フェルマーの小定理の(a,p)=1という条件のところを書き換えて、既約剰余類の要素と考えてもよい。[系]p:素数とする。このとき、次が成り立つ。pのべき乗計算を楽にできる。3で割り切れることを示す。[1](a,3)=1の場合フェルマーの小定理より、1〜99の間で3で割り切れない数の個数は、次のように計算でき、66個ある。functionである。3の世界なので、0になる。[2](a,3)≠1の場合[1]の残りの数(3で割り切れる数)たちは、{3,6,9,...,99}の33個ある。この33個の数の合計は次のように計算できる。従って、[1][2]より、題意が成り立つ。†[定理]p:素数とする。このとき次が成り立つ。