音波を時間tに従って音圧が変化する関数f(t)に見立てると、微積分などで処理が可能になる(いづれの場合もDCオフセットは無視して考えるのが普通)。矩形波を微分すると両側パルス波(ただし音圧無限大で面積1)、矩形波を積分すると三角波、三角波を積分すると三角に近いクネっとした波形になる。周波数で考えると、波形を時間で積分することはローパスフィルタをかける(=高音を弱める)のと同じなので、両側パルス波の周波数を上に行くほど弱くすると矩形波、さらに弱くすると三角波ができることになる。鋸波はちょっと性質が異なり、微分すると片側パルス波、積分すると放物線をツギハギした波形になる。波動関数の微積分は結局、周波数に応じてパワーを削る操作であって、元の波形にない周波数成分(「歪み」と呼ばれる)が生成されることは(演算が正確であれば)ない。歪みを意図的に作り出す操作もいろいろとあり、たとえば正弦波を半波整流すると、2・4・6・8・10倍音と、弱い12・14倍音が現れる。全波整流すると基音のスペクトルがゼロになり、結果的に周波数2倍の鋸波に近い形になる。全波整流した波形からDCオフセットを取り除かずにファズをかける(クリップさせる)と非対称矩形波と鋸波の中間のような形になる。変調をかけることで複雑な周波数成分をもった波形を生成する手法もある。一般に扱われる音声信号について真面目に考えると、自分が何階にいるのかわからなくなってくる。エアマイクでは、圧力勾配型のムービングコイルマイクも速度型のベロシティマイクも検出しているのは圧力や位置ではなく変化の割合で、マグネティックピックアップも磁界の変化を検出する。空気粒子や弦の位置が微分される。これをスピーカやヘッドフォンで再生すると、また積分されて元に戻る。「ちょうど三角波と同じ動き」で振動している鉄弦が(実際にはあり得ないが)あったとする。これをマグネティックピックアップで拾うと磁界の変化は矩形波様になるはずで、ピックアップの出力もそれを反映することになる。同じ信号をスピーカに入れると、電圧がプラスのところではコーンが前に、マイナスのところではコーンが後ろに動いて、元の三角波に(それぞれのセクションで誤差はあるものの)戻る。これが圧力や位置を直接検出する方法、たとえばコンデンサマイク(静電容量は位置で決まる)や圧電ピックアップの場合、そのままだと微分されない(ハイパス/ローカットフィルタを通らない)信号が出てくるはずである(多分)。スピーカでは、電圧が電流になって力になって加速度になって速度になって変位になって空気が押し引きされているはずである(きっと)。いづれにせよ、一般に扱う音声信号は電圧または電圧を符号化したものに違いなく、微分器や積分器が必要な装置にはあらかじめそれらが実装されているだろうから、深くは気にしないでよさそうにも思える。周波数が近い音を重ね合わせると、位相が揃って増幅される時間と位相が揃わず打ち消しあう時間が周期的に現れ、トレモロイフェクトやAM変調などをかけたような波形になる。図は上から順に、A=440Hzのトーン、A#=466Hzのトーン、それら2つを重ね合わせたもの。再生すると下の図の赤線が示す低音が出ているように聴こえ、うなりとかbeatなどと呼ばれる。赤線は青線の山1つ1つに接する曲線で、このような関係を「赤線の曲線は青線の曲線群の包絡線である」という(詳しくはその他のページを参照)。周波数が簡単な整数比になる音同士でも、メカニズム的にどこまで同一視できるのかよくわからないが、重ね合わせると見かけ上低音が発生することに変わりはない。図は上から順に、E=660Hzのトーン、A=880Hzのトーン、2つを重ね合わせた和音(PowerA)、A=220Hzのトーン。Aから見るとEは完全5度、Eから見るとAは完全4度なのだが、2つを重ね合わせた和音は(周波数が低い)Eではなく(周波数が高い)Aがルート音扱いになると、和音のページで述べた。その理由は下2つの波形に注目するとわかる。和音の波形は、ちょうどAのトーンと同じ周波数の鋸波と三角波の中間くらいの波(図の赤線)に、やはりAのトーンと同じ周波数のパルス波に近い波(赤線と青線の差分:図の濃いグレー部分)を足したような波形になっている。660HzのEと880HzのAを重ね合わせると、見かけ上220HzのA(に倍音を乗せた音)が発生することになる。Tonic)といい、ヘルムホルツという人の結合音の研究をヒンデミットという人が応用してまとめた理論(の一部)で説明されるらしい。式で書くと、faとfb(fa<fb)の2音を重ね合わせた場合fc=fb-faとなる「うなり(beat)」(これ以外にもいろいろとあるらしく、この式で表される音は第一次差音というらしい)が発生する、ということになる(音波には下方倍音が存在する、という主張はこれを錯覚したもののようだ)。音程根音が可聴周波数域を下回っている場合、音程としてではなく音量のうねり(トレモロのような効果)として知覚される。これとは別に歪成分耳音響放射という現象があって、耳の中で能動的にこの低音を増幅する効果もあるのだが、それについてはオーディオの重箱の隅のページで触れる。以下に、1000Hzと1414.21Hzの和音(上:典型的な不協和音であるトライトーン)と1000Hzと2000Hzの和音(下:典型的な協和音であるオクターブユニゾン)の波形を示した。協和音では規則正しい波形が続いており、不協和音では波形が一定せず常に形が変わっているのがわかると思う。この波形の不安定さが、トライトーンが不協和音になる正体だと思われる。音の特徴が不定形で、何が倍音で何が基底音なのか把握できないことが不安感に繋がるのだろう。十分に長い時間観察すると、周波数の比が有理数になる純音同士の波形はどこかでループするはずであるが、このループ1周期にかかる時間がある程度より長いと、やはり似たような不安感がある(周波数の比が無理数である場合、理論的には、ループなしで常に異なる波形が続く)。このことは、周波数の比が同じでも音程が低いほど濁った和音に聞こえるという現象に関与しているのではないかと思う(確証は何もないが)。自滅への道トップページ。