TNJ-044の図6再掲。LTspiceで作るラプラス・モデルここまでの考え方を再検証してみるここまで色々と説明してきた考え方を再検証してみましょう。LTspiceでラプラス・モデルを構成してみたLTspiceでも、Laplaceモデルを使って図13のような2次伝達関数を表す回路を作ってみました。LTspiceでは虚数(複素数)は使えないようで、そのため図6の下側の1次式の縦続接続モデルではなく、2次式としてのモデルで表しています。結果を図14に示します。rad/sがカットオフ周波数となるため、横軸(周波数軸)は図10までと同じ条件になりますが、これまでの全てが符合していることが分かります。Hzつまり直流(s=0)のときには、伝達関数H(0)=1になります。これは直感的にも理解できるものです。この一番基本的な視点がここまでの説明で成り立っているかを検証してみましょう。Hzでは、s=j0になります。すると前回のTNJ-046の図5から図7を書き直した図15において、s=j0は虚数軸の中央、つまり直交座標の交点になります。+(j0)とD→_(j0)は図中の青矢印となります。sp+とsp−の位置は、中央から半径1の円上(だだしここではω0=1としているため)にありますので、ベクトルの長さはこれからとなっていることが分かります。1になる(式で考える)また式(1)や式(7)で、s=j0での絶対値を考えるとこれらから「直流での伝達関数、つまり振幅伝達特性は1」という、LPFの「至極あたりまえ」と考えられる事実を、図や式で確認することができたわけです。ω02倍してゲインをスケーリングする必要があるということも注意が必要です。これはTNJ-046の式(3)の分子に定数ω02があることや、これまでの説明からも分かります。まとめにかえて任意の周波数特性は1次式と2次式に分解される任意の周波数特性の伝達関数の式が与えられたとします(添え字のnは多項式の次数です)。ここでは、分母にのみ多項式があるものに限定します。このような分母多項式で、任意のカーブを表すことができます。このカーブが「LPFのフィルタ特性」に適用されるということです。これを因数分解していくと、これまでのフィルタ・シリーズ技術ノートの説明のようにとして、それぞれの因数まで完全に分解される前に「1次式となる部分」と「2次式になる部分」ができることになります(添え字のq,rは単なるそれぞれのインデックス)。この1次式となる部分はRCによる1次RCフィルタ(とバッファ)で構成できることになります。2次式の部分をアクティブ・フィルタで実現する式(19)で2次式になる部分はとして「根が共役複素数となるふたつの1次式」に因数分解されますが、この2次式の部分はRLC型LPF回路で構成できることになります。このRLC型LPFをサレン・キー型などのアクティブ・フィルタ回路でただしまたをパラメータとして組めば、RLC型LPFの特性を等価的に実現できます。ω02倍して、式中のゲインをスケーリングする必要あります。このふたつのパラメータω0とQと、実際の回路定数との関係は、TNJ-044の式(1)、式(3)、式(4)から求めることができます。次のTNJ-048では、このなりたちを詳しく確認してみます。1次フィルタ(バッファを通したもの)と2次フィルタをカスケード(従属)に接続していけば、結果的に式(19)、もとをたどれば式(18)の伝達関数特性をもつフィルタ回路を組めることになるわけですね。任意のフィルタ特性を実現する場合で因数分解するには、解析的に(数式で)根を得るのではなく、数値計算で計算することが実際です。バタワース特性やチェビシェフ特性では解析的に(数式で)根を得られます。回路解析において非常に基本かつ重要なポイントここまでの説明で用いられた、回路解析で使える非常に基本かつ重要なポイントをあらためて説明しておきます。数式として考えれば、1次フィルタは1次式、2次フィルタは2次式となり、それらが乗算されたものとして全体の伝達関数が得られるということです。繰り返しますが、これは回路解析(とくにフィルタ解析)において非常に基本かつ重要なポイントです。LCパッシブ・フィルタの場合はこのフィルタ・シリーズ技術ノートではお話ししていませんが、同じフィルタでもLCパッシブ・フィルタ(これまで説明したようなバッファを用いないもの)の場合は、回路構成方法の考え方が異なります。ここまでの説明のように、1次式、2次式と分解していくというより、RLCの直並列接続、つまり「ラダー(はしご)回路」として、「連分数展開」という考え方を用いて素子定数を得ていきます。最後に次回予告ようやく「分母多項式で表された任意のカーブのフィルタ特性をサレン・キー型LPFに変換させるためには」という議論の、非常に俯瞰的な話題について、4冊の技術ノートを使って説明できました。次の技術ノートではサレン・キー型LPF自体について、その素子定数とパラメータQとω0の関係について、なりたちを深く考えてみたいと思います。実はそろそろこの技術ノート・シリーズの最初であるTNJ-044にお話しした、「とある日のとある方との、とあるメールのやりとりで、横道の興味が湧いてきました」ということもお話ししていきたいと考えてはいますが、まだそこには到達できそうもありません...。実は次々回のTNJ-048でそれを狙ってはいるのですが...。それこそ、何冊続くか分からない...、なんという、先の見えない(いいかげんな?)サレン・キー型LPF技術ノート・シリーズです...。聡1963年千葉県生まれ。メーカ入社、長く電子回路設計業務に従事。1994年技術士(電気・電子部門)合格。