8.まとめウィーンの変位則(1893年)1893年にウィーンが黒体輻射について導いた有名な法則です。本ではプランクの輻射法則を用いて説明していますが、プランクは彼の輻射法則を証明するのにウィーンの変位則を利用したのですから、これでは本末転倒です。ここでは、ウィーンによって最初に証明されたやり方を説明します。ウィーンの論理展開は難解なので、プランクがより解りやすく改良したものを紹介します。プランクの熱輻射法則そのものについては別稿「プランクの熱輻射法則(1900年)」を御覧下さい。1.ウィーンの着想シュテファン・ボルツマンの法則によって黒体輻射の空間エネルギー密度uと輻射輝度Kの温度依存性は決められる。輻射の振動数νに関する空間エネルギー密度uνや単色輻射輝度Rνの分布の仕方についての知識は得られない。任意の温度に対する黒体輻射(正常スペクトル)におけるエネルギー分布を決めることは極めて重要な課題ですが、その解決への重要な一歩がW.Wienによってなされた。いわゆる”ウィーンの変位則”です。それは空間エネルギー密度uνや単色輻射輝度RνがνやTに関してある特定の条件を満たさなければならないというものです。そのとき彼が考察の拠り所にしたのは、「完全反射壁で囲まれた真空の空洞内に閉じこめられた黒体輻射が、断熱・可逆的に圧縮あるいは膨張させられるときには、輻射はその中に(輻射の平衡状態を実現する相互作用の仲立ちをする)炭の小片のようなものが無くても黒体輻射の性質を常に持ち続ける。」ということに気づいた事のようです。それが証明できれば最初黒体輻射のエネルギー分布をしていた輻射場は、断熱・可逆変化してエネルギー密度が変化した後も輻射場のエネルギー分布は黒体輻射のエネルギー分布であるはずです。その際、このような輻射場の断熱的な変化では、炭の小片のような波長の変換を仲立ちするものが無いのだから、輻射の振動数(波長)変化とエネルギー分布の変化は完全反射壁の移動に伴って生じるドップラー変位のみで生じるはずです。その結果生じる輻射場のνとエネルギースペクトル分布の変化については力学と電磁気学を用いて計算できるので、その変化が黒体放射の性質を持つべきであるという条件と調和するためには、黒体輻射のエネルギー分布とνとTの関係について何らかの知見が得られるであろうと言うのです。これは素晴らしい着想です。構想に基づいた理論的考察をすすめるために、ウィーンはまず次の定理を証明した。排気された(つまり真空の)完全反射壁で囲まれた空洞内に閉じこめられた黒体輻射が、断熱・可逆変化で圧縮あるいは膨張させられるとき、輻射は真空容器内に炭の一片の様な物質が無くても黒体輻射の性質を常に持ち続ける。[証明]はじめ黒体輻射で満たされた十分排気された空のシリンダーを断熱的に無限に緩やかに圧縮する。ある輻射場は黒いと言われる振動数νに対する輻射輝度Rνのある特定のスペクトル分布を持っていることは別稿「キルヒホフの法則」で証明したが、今は熱力学的平衡状態を保障する炭の一片のような物質が無いので、その熱力学的平衡にない可能性があるというのである。その状態で、炭の小片を入れる。この小片は輻射エネルギーに比べて無視できるほどの物体熱しかもっていないとする。この挿入によって、輻射場はエネルギー一定、体積一定のもとで、絶対的に安定な輻射状態への移動を引き起こすであろう。これはエネルギー密度uは変わらず、ただ振動数に分けたエネルギー密度の分布uνが変わるだけであるが、とにかくその変化が生じて黒体輻射の分布となる。これは系の有限のエントロピー増加を引き起こす。[そのように熱力学的平衡にない輻射場のエントロピーについては6.章で論じる。]その後、炭の小片を空間にいれたまま、空のシリンダーを再びもとの体積になるまで断熱的に緩やかに膨張させて、炭の小片を取り除く。このとき熱は全く流出・流入はしない。そのため力学的仕事のやりとりだけを考えればよい。力学的仕事は輻射圧と体積変化で計算できるのであるが、“輻射圧は全放射エネルギー密度uのみに依存してそのスペクトル分布には依存しない”から、圧縮過程で加えられた仕事と膨張過程で外に対してなされた仕事は全く等しいので、この輻射場の系は外部に対して何らの変化を残さないでもとの状態に戻ったことになる。熱力学の第一法則に従って終わりの輻射場の全エネルギーは始めにおけるのと同じである。そのため黒体輻射の絶対温度も始めと同じである。そのとき炭の小片とその変化は無限に小さくできるので考慮にいれなくてよい。そのエネルギーもエントロピーも系のそれらの値に比べて無視できるほど小さいからである。従って、この過程は、上で述べたようにエントロピーは有限量増加しながら、全ての点で詳細に逆行でき、自然に何ら永続的変化を生じないで何回でも繰り返すことができるということになる。その様なエントロピー増加が起こると、どんな仕方によっても完全な逆行はできないからである。このような矛盾が生じたのは炭の小片を入れることによって有限のエントロピー増大が起こるようなエネルギー密度分布の組み替えが起こるとしたからである。従って、炭の小片を輻射空間に入れたから輻射が安定な平衡状態に移行するということが起こるのではなくて、炭の小片があろうと無かろうと、輻射は常に安定な平衡上態(黒体輻射のスペクトル分布)を保って変化しているのである。[証明終][補足説明]上記の証明はプランクによるものです。文献1.のウィーンによる証明はここと少し違ったやり方ですが、結論は同じです。プランクの証明の方がエレガントです。[補足説明]別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」3.(2)では黒体輻射の性質を保持すると言うことを確実にするために用心のために炭の小片を入れたが、この定理が成り立てば、それは余計な心配だったことになる。上記の証明を見れば解るように、炭の一片を入れなくても黒体輻射の性質を持ち続けると言えるのは準静的可逆変化の場合のみであって、非可逆変化[例えば別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」3.(3)で説明したような]では、この定理は成り立たない。[補足説明]上記証明の要は、赤で強調した“輻射圧は全放射エネルギー密度uのみに依存してそのスペクトル分布には依存しない”です。このような事が言えるのは輻射場という特殊な場合のみで、これが成り立つから上記の証明が可能なのです。プランクは以下のような例を挙げて特にこのことを強調している。<プランクが注意を促すために挙げた例>“空洞の中に飽和蒸気があり、それを断熱的に緩やかに圧縮する場合を考える。蒸気は有限な断熱圧縮に際して常に飽和状態を保って過飽和の状態まで圧縮されていくとする。その過飽和状態のままである体積まで圧縮されたのちに、無視できるほどの質量と熱容量しか持たない微小な液滴を挿入する。この挿入によって、一定体積、一定の全エネルギーのままで、一定量の水蒸気の凝縮が起こり安定状態への移行が生じ、系のエントロピーの有限量の増大を引き起こす。この後、再び断熱的に無限にゆっくりと体積を増大させ全ての液体が蒸発してもとの体積になるまで膨張させる。”この過程は外界に変化を残すこと無しに、もとの状態にもどせたといえるであろうか?実は輻射場の場合と違ってこの場合にはもとの状態に戻せていないのです。それは過飽和蒸気の圧縮の際になされる力学的仕事と、凝縮した水滴を含んだ飽和蒸気の膨張の際に得られる仕事は等しくないのです。シリンダー内壁に掛かる蒸気の圧力はシリンダー内のエネルギー密度のみの関数ではない。同じエネルギー密度でも過飽和で全てが蒸気の状態で存在する場合と、一部に水滴を含んだ飽和蒸気の状態の場合では圧力が異なるのである。この例から解るように“振動数分布の違いがあっても、エネルギー密度が同じであれば輻射圧は常に等しい”という輻射場の性質は注目に値する。これは言葉を変えれば、輻射場は気体の集合体の相変化の様な現象を起こすことは無い事を意味する。輻射場のエネルギー密度一定条件下での振動数分布の変化は輻射圧の変化を生じるようなものではないと言うことです。輻射場は完全に反射するシリンダー壁で囲まれており、シリンダー中のピストン(表面は完全反射する鏡でできている)を無限にゆっくりと動かして輻射場を断熱圧縮する過程を考える。このとき輻射は鏡により反射されるが、鏡が運動しているときには入射角θと反射角θ’は等しくならない。これは、高校物理でならう入射角と反射角の関係を示すホイヘンスの原理の図を、鏡を動かしながら、描き直してみれば直ちに了解できる。この図から解るように、反射面が入射光に向かって動いているときにはθ’<θとなり、その差(θ−θ’)は(v/c)[rad]程度の大きさになる。鏡は無限にゆっくり動くとしているのでθとθ’の違いは無視でき、実際にはθ’=θとして論じることができる。運動している鏡に輻射が当たって反射するとき、輻射はドップラー効果による振動数変化を受ける。振動数の変化量を求めるために、下図のようにピストンの鏡表面は時刻tにM、時刻t+dtにM’の位置にあるとして、入射角θで入射する光を考える。最初、反射角は上で注意した正しい角度θ’(<θ)であるとする。鏡から十分に離れている入射方向に垂直な固定平面BB’と反射方向に垂直な固定平面CC’を作るとBB’、CC’はいずれも波面である。振動数ν(波長λ)で入射した光がドップラー効果のために振動数ν’(波長λ’)になるものとする。BB’面上の一点Bを通る輻射がMと出会う点をAとし、M’と出会う点をA’とする。時刻tにおいてBA上にある波の数は(BA)/λであり、AC上にある波の数は(AC)/λ’であるから、時刻tにおいてBAC上にある波の数はである。同様にして、時刻t+dtにおいてBA’C’上にある波の数はである。この両波数の差は、固定平面BB’と固定平面CC’とで限られている空間から鏡(反射壁)がdt時間内に固定平面CC’より押し出した波の数に等しい。光の伝播速度cは変わらないのに波長は短くなっているのだから、CC’をより多くの波が追加しているのである。dt時間内にBB’平面を通過して今考えている空間に入る波の数はνtであり、CC’平面を通過して出るのはν’dtであるからである。これは以下の様に変形できる。鏡が輻射の方に向かって動いているときには、ν’>νであり、逆ならばν’<νである。色(振動数)の変化は、法線方向に入射したとき最大であり、すれすれに入射したときには変化しない。入射波の振動数νが同じでも入射角θが異なれば、反射波の振動数ν’は入射角に応じて変化する。このとき当然のことながら、入射ビームのスペクトル幅dνに対応する反射ビームのスペクトル幅dν’は、互いにの関係で結びつけられる。[補足説明]−高校物理による証明−上記の結論は高校物理で習うドップラー効果の公式を用いても導ける。下図の様に振動数νの音源に速度v近づいている壁によって反射された音の振動数ν’は次のようにして求めた。反射壁の所にいる観測者Bが音源に対して近づきながら音源の音を聞くと振動数ν”の音として聞こえる。次に、観測者Bが新たな音源となってそれと同じ振動数ν”の音を出しながら観測者Aに近づくと考えて、観測者Aの聞く音の振動数ν’を求めるのである。ここで音速をc、反射壁の速度をvとすると音を光に置き換えれば、この結論は上で求めたものと同じです。反射壁に対して斜めに当たる場合は、観測者Bが音源に近づく速度をvではなく(v/cosθ)とし、観測者Bを新たな音源と見なしたとき、反射B(新たな音源とみなす)が観測者Aに近づく速度を(v/cosθ)cos(θ+θ’)とすれば上記の考え方がそのまま適用できる。この場合も全く同じ結論が得られる。運動している鏡がそれに当たる輻射に与えるエネルギー変化を考える。単色(振動数ν)の偏光していない無限に細い輻射線ビームが入射角θで鏡の微小面要素dσに当たるとする。エネルギーが鏡の秒面積要素dσから反射角θ[前節で注意したように反射角θ’=θと置いて良いので今後そうすることにする]の方へ反射される。AB及びCDは二つのビームの波面を表している。このとき、エネルギー保存則から明らかなようにこの二つのエネルギーの差(I’δt−Iδt)は鏡の運動によってδt時間に輻射に与えられた仕事に等しくなければならない。[参考文献2.でプランクは、その詳細は記していないが、同じことが電気力学的な議論により、光波(電磁波)の強度変化として導けることを注意している。エネルギーが入射するときに鏡の法線方向に働く輻射線ビームの力学的圧力は、別稿「光の圧力[輻射圧]」2.(5)2.で求めた様にであったから、この圧力を用いてなされる仕事[力×距離]を計算するととなる。このとき輻射エネルギーの絶対量は、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(1)で説明した以下の関係を用いると、直線偏光成分でしかも振動数ν〜ν+dνの単色輻射輝度Rνで表すことができる。空洞内部で平衡状態にある輻射を考える。空洞内部に任意の面積要素dσを考え、それを時間δt内に立体角dΩの方向に通過する輻射のエネルギーを求める。ここで単位面積を単位時間に単位立体角の方向へ通過していく輻射のエネルギー流をKとする。Kの事を今後輝度と呼ぶことにする。一般にKは場所と時間と方向に依存するが、ここでの議論では、Kはすべての方向について一様と見なして良いであろう。今後その様に仮定すると問題のエネルギー流はとなる。IとKの意味の違いに注意。ここで単色(νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で偏光面が片寄った、単位立体角の方向へ進行する輻射の輝度Rνを定義しよう。電磁波は横波だから、必ずある一つの偏光面に沿った振動で伝播する。そのとき輻射の強度は振幅(電場と磁場)Aの二乗に比例する。その振幅Aを二つの直線偏光成分に分け、それぞれの振動成分をAxνとAyνとすると、ピタゴラスの定理よりA2=Axν2+Axν2となる。光線は二つの偏光面で振動する波が混じったものであると考えることができる。その為、それぞれの振動面(AxνかまたはAyν)に対する輝度の和Rxν+Ryνは片寄らない振動Aに対する輝度Kνに等しいと考えて良い。ここでx、y方向の取り方は任意だからここでの議論ではRxν=Ryνと考えて良いので、それを改めてRνとおくことにすれば結局Kν=2Rνとおくことができる。ここでRνは単色(振動数νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で直線偏光した単位立体角の方向へ進行する輻射輝度を表す。このように偏光していない光線を偏光した光線によって表すと係数2が乗ぜられるが、それは電磁波が横波なので二つの偏りを持つことができることによる。実際偏光していない輻射線をニコルプリズムなどを通して直線偏光成分だけにすると、そのエネルギー強度は1/2倍になることが確かめられる。そのため直線偏光した輝度Rνを用いると前記の結論はとなる。偏光していない振動数ν〜ν+dνの単色成分での値にするととなる。ここでのRνは直線偏光したものを意味しているで、前に掛かっている数因子2は偏光していない事を表すために掛かっている。ここでのIνは振動数ν〜ν+dνのものを、Iν’は振動数ν’〜ν’+dν’のものを考えているのでとなる。最後に輻射線が、運動している鏡による反射によって受ける方向の変化を考える。ピストンが非常に短い経路を非常に小さい速度で進んだ後ある時間静止続けるなら、容器内に存在する輻射の非等方性は、シリンダー壁の白い壁での反射によってならされすぐに消えてしまうであろう。全過程を非常に多くのそのような小さな区間に分けて考えることができる。このやり方を十分ゆるやかに続けるならば、初めの体積の何分の1にも小さくなるまで輻射を圧縮することができ、その際、輻射は常にあらゆる方向に一様であると考えることができる。この補償過程は輻射の方向による差異についてのみ関わる。輻射の色の変化も強度の変化も一度起これば、どんなに小さな量でも静止している反射壁全体からの反射によって、時間と共に一様にならされることは決してなく、変化せずに存在し続けるであろう。(4)まとめ以上3.(1)〜(3)の考察から以下の事柄が言える。このとき前記の(1)〜(3)式により、それらの間にはの関係が成り立つ。8.まとめ4.輻射のエネルギースペクトル分布の変化(1)考え方これまでに得られた結果を使うと、一様な輻射で満たされた十分に排気された(つまり真空の)シリンダーを無限にゆるやかに断熱圧縮した場合の各振動数にたいする輻射エネルギー密度uνの変化を計算することができる。振動数がν〜ν+dνの間のものに着目する。この振動数範囲の輻射エネルギー密度uνdνは、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)で説明したように以下の意味を持つ。ここでのRνは直線偏光した振動数νの輝度成分を意味しているで、前に掛かっている数因子2はRνが偏光していない事を表すために掛かっている。おいては{V・uν+δ(V・uν)}dνである。単色の輻射エネルギー密度uνは、互いに独立な二つの変数νとtの関数と考えられる。よってtに関する微分を表すことにする。単色輻射エネルギーの変化は、運動する鏡での反射の際に起こる二つの原因による。第一に、時刻tにおいて区間(ν〜ν+dν)に属する輻射線が反射の際に受ける色の変化によってこの区間から出て行く。第二に、時刻tに区間(ν〜ν+dν)内に無い輻射線が反射の際に受ける色の変化によってこの区間に入ってくる。この二つの影響を計算すればよい。このとき、区間の幅dνは非常に小さくと仮定して計算する。(2)振動数範囲(ν〜ν+dν)外に出るもの時刻tにおいて区間ν〜ν+dνに属し、δt時間に運動している鏡での反射によってこの区間から出ていく輻射線は、すべてδt時間の間に運動している鏡に当たるとして良い。区間幅dνは、そのような輻射線が受ける色(振動数)の変化よりも遙かに小さいとしているからです。したがって、δt時間の間に区間ν〜ν+dνに属する輻射線によって鏡に照射されるエネルギーのみを計算すればよい。入射角θで鏡面の要素dσに入射する要素輻射ビームのエネルギーはであったから、全鏡面(その面積をSとする)に入射する単色輻射の全エネルギーは、φを0→2πまで、θを0→π/2まで、dσを0→S(鏡面の面積)まで積分すればよい。このとき輻射はあらゆる方向に対して一様であり、振動数νも入射方向によらず一定であるからRνdνは積分の外に出せてとなる。δt時間の間に振動数区間ν〜ν+dνから出ていく輻射エネルギーはとなる。(3)振動数範囲(ν〜ν+dν)内に入るものδt時間の間に運動する鏡からの反射によって振動数区間ν〜ν+dνに入ってくる輻射のエネルギーを計算するには、様々の入射角で鏡に当たる輻射線ごとに異なった振動数区間の入射波で別々に考察せねばならない。vが正の場合、振動数は反射によって大きくなる。ここで問題とする入射波の振動数ν1は反射後に変化すべき振動数νよりも小さい。時刻tで振動数区間ν1〜ν1+dν1の単色輻射線ビームが入射角θで鏡にあたるとすると、それはを満足するときのみ、反射によって区間ν〜ν+dνの中に入るだろう。これらの関係式は3.(1)で求めた(1)式のν’をνに、νをν1に変え、(2)式のdν’をdνへ、dνをdν1に変えれば得られる。3.(1)で求めた(3)式を考慮すると、反射前と反射後の輻射エネルギーはに従って増大する。このことを考慮すると、ピストンの全面積の移動によって振動数ν1の輻射線ビームがδt時間の間に振動数区間ν〜ν+dνにもたらすエネルギーはとなる。δt時間の間に振動数区間ν〜ν+dνに入る輻射エネルギーはとなる。(4)出るものと入るものの差4.(1)で説明したところの、振動数範囲ν〜ν+dνの間の空洞内の輻射エネルギーの時間δtの間の変化δ(V・uν)dνは(5)式と(4)式の差であるからとなる。ここで、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)で証明したようにであるからなる関係が成り立つ。これを用いて上式を変形するととなる。δt時間の間に輻射状態におこる変化は無限小の速度vに比例し、その符号によって逆になるから、方程式はδVのそれぞれの符号に対して成り立つ。従ってこの過程は可逆的である。最後に得られた式は、輻射場を断熱・可逆的に変化させるとき、決まった振動数νのエネルギーの空間密度がどの様に変化するか示す偏微分方程式である。このときvδt=δVの関係からわかるように同じδVの変化を生み出すのならばピストンの動きの速度vに関係なく同じ結論が得られる。そのため、いままでuνはνとt(又はv)の関数であるとしてきたが、νとVの関数と見なして良い。以後、uνはνとVの関数であるとする。導出の仕方からわかるように、この偏微分方程式は黒体輻射についてばかりではなく、初めのエネルギー分布が全く任意の輻射についても成り立つ。そのとき(6)式から明らかなように、断熱・可逆変化に伴うuνの変化δuνは、もともとの体積Vや体積の変化量δVに依存するのはもちろんですが、最初の分布におけるuνのνにたいする依存性(∂uν/∂ν)にも関係します。その依存性の違いにもかかわらず、さらに一般的に成り立つ性質が導き出されるではないかと期待しているわけです。[補足説明]上記の関係式は、「断熱圧縮の際に生じる全輻射エネルギーの変化は、圧縮の際に外から輻射圧に抗して輻射場に対してなされる仕事に等しい。」と言うエネルギー原理そのものを表している。実際、断熱圧縮の際にδtの時間で生じる全輻射エネルギーの変化はとなる。圧縮の際にδtの時間内に外から輻射場に対してなされる仕事は、輻射圧の公式を用いるととなる。となり確かにエネルギー原理が成り立っている。今までは、uνはνとtの関数であるとしてきたが、(6)式にtがあらわに現れていないので、uνを振動数νと体積Vの関数と見なすことができる。これ以後の議論ではそのように考えることにする。すると(6)式はのような偏微分方程式になる。これは、ある定まった体積Vにおいてuνがνの関数として知られれば、他のすべてのVにおけるuνがνの関数として定まることを意味する。この偏微分方程式の一般解はとなる。これが解となることは上記の偏微分方程式に代入して見れば容易に確かめられる。とおくことによってと書くこともできる。この二つの式のどちらもウィーンの法則と言う。これらの式は、真空の容器に閉じこめられた輻射場が断熱・可逆変化により体積変化させられたときに、体積の変化に応じて容器内の振動数νの輻射のエネルギー密度がどの様に変化するかを示す式です。ここまでの第3章、4章の議論には温度Tは全く関わっていなかったことに注意して下さい。ここで得られた結論は熱力学とは関係なく導かれたのです。そのため完全に反射する壁で囲まれた真空の箱の中の輻射であれば黒体輻射でなくても任意のエネルギースペクトル分布の輻射の断熱・可逆変化に対して成り立ちます。よって導かれたもので、温度の定義できる黒体輻射に対してのものです。次章で第2章と第3、4章の結論の整合性を図りますが、その過程で温度Tとの関係が明らかになります。8.まとめ5.ウィーンの変位則(1)黒体輻射の断熱・可逆変化ここで、エネルギーのスペクトル分布が始め黒体輻射に対応する正常分布であるという仮定を導入する。際にその輻射は黒体輻射(正常分布)の性質を変えずに保つ。そのために、別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」3.(2)で証明した黒体輻射の断熱・可逆変化について成り立つ結論が利用できる。そこの結論は、その稿の2.(2)で説明したように、輻射場とやりとりされる放射エネルギーの出入りを熱の移動と見なして絶対温度TとエントロピーSを導入する熱力学的考察で導かれたものでした。この過程で絶対温度Tが関わってくる。そこで説明したように輻射場が断熱・可逆変化する途中のそれぞれの状態で温度Tが定まりの関係式がなりたつ。断熱・可逆変化では黒体輻射場の温度Tと体積V、圧力pは上記の式で関係づけられる。この関係式を用いると、前章の結論はとなる。黒体輻射のエネルギースペクトル分布uνは、振動数νと温度Tの関数と見なすことができて、温度Tが変化した場合上式に従ってそのスペクトル分布(振動数νへの依存性)が変化する。ここで、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(5)3.で証明したように、黒体輻射の場合には積uνq3なる量(真空中ではq=c)はすべての媒質において温度Tと振動数νの普遍関数F(ν,T)になる。この法則を考慮すれば、上式はと書くこともできる。上式を直線偏光した単色輻射線の輝度Rνで表すととなる。[補足説明]上記の結論を全波長にわたって合計して、真空中の黒体輻射のエネルギー密度uを求めるととなり、シュテファン・ボルツマンの法則が得られる。前節の結論を変形する。ここでuνλ3dνは一片が一波長λの長さの立方体中に含まれる振動数ν〜ν+dν間の輻射エネルギーを意味する。これをηと表すことにする。ここで断熱・可逆圧縮により輻射がさらに高い温度T’に移るとき、ν’とν’+dν’のスペクトル区間を考える。このときF(T/ν)が普遍関数だからを満足する区間を考えている。第二の状態の振動数ν’は初めの振動数νに対して温度に比例して大きくなるものを考えている。このときF(T/ν)は普遍関数だからが成り立つ。上に求めた温度TとT’に関係する二式の片々を割り算する。F(T/ν)が普遍関数であるからT’/ν’=T/νのときF(T’/ν’)=F(T/ν)となるのでが成り立つ。これらの結論から黒体輻射のスペクトルの温度が断熱・可逆変化によりTからT’へ移行したとき以下の事が言える。振動数νは絶対温度Tに比例して変化する。その振動数変化に応じた波長λを一片とする立方体中の輻射エネルギーηは絶対温度Tに比例して変化する。単色輻射エネルギー密度uνは絶対温度Tの3乗に比例して変化する。このときuν=(8π/c)Rνであることを考慮すると偏光した単色輻射輝度Rνは絶対温度Tの3乗に比例して変化する。無限小スペクトル幅の輻射エネルギー密度uνdνは絶対温度Tの4乗に比例して変化する。uνdνを全振動数範囲で加え合わせた空間エネルギー密度uは、絶対温度Tの4乗に比例して変化する。[シュテファン・ボルツマンの法則]2.波長λとの関係これらの関係式は振動数νではなく波長λであらわすこともできる。媒質中の光速度をq、波長をλとするととなり、上記の関係式は以下のようになる。ここでEλは直線偏光した波長がλを中心とした単位波長幅に含まれる輻射の輝度をあらわす。真空中ではq=cとおけばよい。上記の関係を用いれば5.(2)の最後の式はとなる。ここで実測値からも明らかなようにλ→0とλ→∞でEλ→0となる[λ→∞でEλ→0とならなければエネルギー密度uは無限大になってしまう]。そのため、Eλはλに関して最大値を持つ。最大値を取る波長をλmとすると、その波長に対してが常に成り立つ。関数Fを変数(λT/c)で微分したものを示す。上記の式の左辺は(λmT/c)の値だけで定まることを示している。なる解が存在して、そのとき上式が常に満足される。従って、絶対温度Tの黒体輻射のEλが極大となる波長λmは次式に従って絶対温度Tに反比例して変化する。普通この式で表されたものを、黒体輻射に関するウィーンの変位則と言う。1901年]などにより測定された。