これらの雑誌に掲載された論文は下記URLに行って検索すると全文を見ることができます。http://de.wikisource.org/wiki/Annalen_der_Physik前項で述べた事柄を波長λと絶対温度Tの関係で言い直すと、黒体輻射のスペクトルの温度が断熱・可逆変化によりTからT’へ移行したときが成り立つので以下の事が言える。波長λは絶対温度Tに反比例して変化する。波長範囲dλはTに反比例して変化する。偏光した単色輻射輝度Eλは絶対温度Tの5乗に比例して変化する。このときuλ=(8π/c)Eλであることを考慮すると単色輻射エネルギー密度uλは絶対温度Tの5乗に比例して変化する。無限小スペクトル幅の輻射エネルギー密度uλdλは絶対温度Tの4乗に比例して変化する。uλdλ=(8π/c)Eλdλを全波長範囲で加え合わせた空間エネルギー密度uは、絶対温度Tの4乗に比例して変化する。[シュテファン・ボルツマンの法則]黒体輻射のばあいの関数Fの具体的な形はまだ解っていないが、別稿で導く予定のプランク輻射公式を用いて、T=1000KとT’=2000Kの場合で、これらの関係を示すと次図のようになる。3.注意事項[補足説明]Eλの最大値Eλmaxは、ウィーンの変位則を用いるととなる。黒体輻射のスペクトルにおける単色輻射強度の最大値Eλmaxは絶対温度Tの5乗に比例する。このとき、単色輻射の強度をEλではなくて、Rνによって測るならば、すでに述べた様に、定まった任意の振動数のRνに関してとなり、上記とは全く異なった関係式となる。ここでの関係式からわかるように、(c/λ2)が掛かっているために同じ絶対温度Tに関するスペクトル分布でも縦軸をEλ、横軸λで表したグラフと縦軸Rν、横軸νで表したグラフではEλとRνの最大値を与えるλとνが互いに異なっている。Eλのグラフの最大値を与える波長λmで光速cを割った値(c/λm)=νはRνのグラフの最大値をあたえる振動数νmに一致しないことに注意してください。そのため上記の定数bは単色輻射強度の最大値が振動数ではなくて波長に関係づけられているときに限り成り立つものであることは特に注意しなければならない。[補足説明]EλとRνの違いを説明しましたが、これらはいずれも直線偏光した単色輻射強度(輝度)であることに注意して下さい。多くの本では偏光していない、すなわちこれらの値を2倍したものを強度(輝度)KλorKνとしていますのでそれらと間違えないで下さい。[別稿「偏光とは何か(光の強度と偏光)」6.(1)を参照]また、黒体表面の単位面積からある特定の方向に単位時間に放射される単色エネルギー流IνやIλと上記の強度(輝度)を間違えないで下さい。ここではIνやIλは一つの面からある特定の方向に出るエネルギー流を意味しますが、強度(輝度)KλorKν(あるいはEλとRν)はある一つの面に垂直な方向に進むエネルギー流に関係するものです。公式のエネルギー流がどちらを意味しているのかをハッキリ認識して下さい。[別項「シュテファン・ボルツマンの法則(1884年)」2.(4)2.を参照]本によっては、ある一つの面から半球方向のあらゆる方向に出るエネルギー流を半球立体角積分して加え合わせたものをIνやIλで表している場合がありますので、その場合とも混同しないで下さい。それはシュテファンボルツマンの法則で言う全放射エネルギーSのことで、ここで言うIνやIλを振動数や波長の全範囲で積分したものです。[別項「シュテファン・ボルツマンの法則(1884年)」2.(3)を参照]輻射場の単色空間エネルギー密度uλやuνは、普通上記の直線偏光した単色輻射の強度(輝度)EλとRνがあらゆる方向に等方的であると仮定した上で、方位積分(全方位についての立体角積分)を実施して求めたことを思い出して下さい。そのため(4π/c)×2が掛かったのです。そのとき光のエネルギーは光速で伝わるために光速cで割っています。このなかの2は偏光していない輻射輝度だから掛かった2です。[別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)を参照][輻射のエネルギー密度:u]、[輻射強度(輝度):K(又はRやE)]、[全放射エネルギー:S]のお互いの関係はとても解りにくいのですが、これらを混同するとわけが解らなくなりますのでくれぐれも注意して下さい。8.まとめ6.任意のエネルギースペクトル分布の輻射(1)単色輻射のエントロピー5章では黒体輻射の場合を論じたのですが、4.(5)で得られた結論は完全に反射する壁で囲まれた真空の箱の中であらゆる方向に一様な輻射のエネルギースペクトルならば任意のエネルギー分布に対して成り立つ。任意のエネルギースペクトル分布の輻射が断熱・可逆変化するときに受ける変化を与える。そのとき、輻射空間に輻射を放出・吸収する物質が含まれていなければ、この式で与えられる変化に従って生じるエネルギースペクトルの変化は、どれも完全に定常的に無限に長い時間保持される。このようなスペクトル場には温度なる量を定義することはできない。そのとき、輻射空間内に微小な物質を挿入すると、その物質と輻射のやりとりを通じて、最初のエネルギー分布は非可逆的に黒体輻射に対応する安定な分布に変化する。最初に仮定した任意のエネルギースペクトル分布の場合には温度が定義できないのであるが、各振動数の輻射に関しては互いに独立に熱力学第2法則が成り立つと仮定しても良いであろう。すれば単色輻射ごとにエントロピーsνdνが定義できて、全体の輻射のエントロピー密度sを単色輻射のエントロピーsνdνの総和として良いであろう。すれば容器内全体の輻射のエントロピーとしてS=V・sが言える。ここでsνdνは単位体積中に含まれる振動数ν〜ν+dνの間の輻射のエントロピーを表す。sνは二つの独立変数、すなわち振動数νと輻射エネルギー密度uνの決まった関数である。以下ではいつもその様なものとして扱う。任意のエネルギースペクトル分布の輻射に関して、前節で導入した輻射のエントロピーsνの解析的表現が与えられれば、そのエネルギースペクトル分布が黒体輻射のスペクトルであるかどうかは次のようにして判定できるであろう。黒体輻射であれば、輻射の全体積Vと全エネルギーUが一定のもとで可能なすべてのエネルギー分布の変化に対してとならねばならない。このときのエネルギー分布の変化は、各振動数νのエネルギーuνが無限小の変化δuνを受ける事であると考えれば、このときの制約条件はを意味する。変化δuνの変化はνに対して全く独立に起こる。δS=0はを意味する。δuνのすべての任意の値に対して(7)式と(8)式が同時に成り立つためには、すべての振動数νに対してでなければならない。これは振動数νの輻射に付随するエントロピーは振動数νの輻射の輻射エネルギー密度uνにリンクしていることを示している。黒体輻射のエントロピーの振動数νに対する分布の仕方はは黒体輻射の場合のエネルギー密度uνの分布と同じである。この式の定数は黒体輻射の温度と簡単な関係にあることが以下のようにして解る。一定体積V(つまりδV=0)の黒体輻射が一定の熱量(輻射)を供給されてエネルギー変化δUを受けるとするとであった。前述の結論を用いると黒体輻射ではとなる。(9)式と(10)式を比較するととなる。上式の左辺は、黒体輻射の場合にはすべての振動数に対して等しい事は示したので、各振動数において(∂sν/∂uν)は黒体輻射の温度の逆数になることが解る。この法則によって、温度の概念は任意のエネルギースペクトル分布の輻射に対して意味を持つ。sνはuνとνのみに依存するので、一定のエネルギー密度uνを持つあらゆる方向に一様な単色輻射輻射も(11)式で与えられる完全に決まった温度を持つとすれば良い。すれば、考えられるすべてのエネルギースペクトル分布のうちで黒体輻射(正常分布)と言われるものは、すべての振動数の単色輻射がすべて同じ温度を持つという事によって特徴づけられることになる。エネルギー分布のいかなる変化も、詰まるところある単色輻射から別の振動数の単色輻射へのエネルギー移行である。第一の輻射の温度が高いか、第二の輻射の温度が高いかに従って、このエネルギー移行過程は温度の異なる二つの物体間の熱の移動と同様なことが起こる。温度の高い単色輻射から低い単色輻射へのエネルギー移動は、輻射場以外の外界に何の変化も残すことなく、全エントロピーの増大を伴った不可逆過程として実現できる。温度の低い単色輻射から高い単色輻射へのエネルギー移動は、輻射場以外の外界に何らかの変化の痕跡を残しながら行わないと実現することはできない。その場合には着目する輻射場の全エントロピーは減少することもあるが、外界のエントロピーはその減少分と等しいか、あるいはそれ以上に増大している。(3)単色輻射のウィーンの変位則ここで導入した単色輻射に対するエントロピーsνの変数uνとνに対する依存性について黒体輻射のWienの変位則から何が言えるか調べてみる。uν=ν3・φ(ν3V)から導かれたものであったので、任意エネルギー分布の場合にも適用できるだろうと考えている。]をTについて解いた関数をF’として、(11)式を適用してTを含まない形に戻してみる。ここで(c3/ν3)は波長λの立方体の体積を意味することに注意。関数であるが、これを変数uνで積分するとが得られる。sνは波長λの立方体中に含まれる単色輻射のエネルギー[(c3/ν3)uν]の関数となる。これが求めたかったsνの解析的表現です。F’に一致する様な関数であるから、が成り立たねばならない。(12)式の形のウィーンの変位則は、各単色輻射に対して、従って任意のエネルギースペクトル分布の輻射に対しても意味を持つ。(4)任意分布輻射の断熱・可逆変化1.全エントロピーの不変性(12)式を使えば、以下の定理が証明できる。任意のエネルギー分布の輻射についても、断熱・可逆変化では輻射の全エントロピーが不変に保たれる。[証明]任意のエネルギー分布の輻射を断熱・可逆変化させたときのエントロピー変化をδSとするととなる。任意のエネルギー分布の輻射の断熱・可逆変化に対して、4.(4)で証明した(6)式が成り立つ。ここでは(6)式のuνのνについての微分は、任意の分布で最初に与えられた輻射のエネルギースペクトル分布に関わるものだから、偏微分∂ではなくて微分dで表すことができる。[証明終わり]2.単色輻射の変化5.(2)で説明した、黒体輻射の断熱・可逆変化に関する法則を任意のエネルギー分布の輻射に拡張する。そのため、ここでも一辺が波長λの立方体に含まれる振動数ν〜ν+dνの間の単色輻射エネルギーηと単色輻射エントロピーσを導入する。このとき、輻射の全体積中に、波長λを一辺とする立方体はN個含まれる。今、任意のエネルギー分布の輻射を断熱・可逆変化させて体積V’になったとする。ここでN’=Nを満足する新しい振動数範囲ν’〜ν’+dν’を考える。その場合の波長λ’の立方体に含まれる振動数ν’〜ν’+dν’の間の単色輻射エネルギーをη’、単色輻射のエントロピーをσ’とする。ここで、N’=Nとしているのでとなる。uν=ν3・φ(ν3V)よりが言える。ηとη’に関してとなる。6.(3)で求めた(12)式を用いるとσとσ’に関してが言える。6.(3)で求めた式を用いるとが言える。これらの事柄をまとめると任意のエネルギー分布の輻射の断熱・可逆変化に対して以下のことが言える。各色の振動数νは変化するが、波長を一辺とした立方体の数Nは体積変化にもかかわらず不変に保たれる。波長を一辺とした立方体に含まれる単色輻射エネルギーηは振動数νの変化に比例して変化する。各振動数の輻射の温度Tは振動数νの変化に比例して変化する。波長を一辺とした立方体中に含まれる単色輻射エントロピーσは振動数νが変化しても不変に保たれる。単色輻射の全エントロピーSν=σ×Nは、σもNも不変に保たれるので、不変に保たれる。熱力学第二法則から、輻射線ビームも一定のエントロピーを持つことが結論される。放出という行為によって物体の熱は輻射熱に変わるのだが、そのとき放出物体のエントロピーは減少する。全エントロピー増大の原理によって、その補償として別の形のエントロピーがどこかに生じなければならない。それは放射された輻射のエネルギーの中以外には考えられない。従って、直線偏光した個々の単色輻射線ビームはそれぞれ一定のエントロピーを持ってビームとともに空間に伝播し広がる。それはエネルギーの輻射と同様に単位時間に単位面積を通過するエントロピーの量として測られる。各輻射線ビームはエネルギーと共にエントロピーも持ち運ぶのである。そのエントロピー量は輻射ビームのエネルギーと振動数のみに依存するはずである。そのとき、別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(1)でした輻射のエネルギー流について説明と全く同様な事柄が輻射のエントロピー流についても成り立つ。そこでの説明のエネルギーをエントロピーに置き換え、単位面積を単位時間に単位立体角の方向へ通過していく輻射のエネルギー流である輝度Kに相当するものとして、単位面積を単位時間に単位立体角の方向へ通過していく輻射のエントロピー流の輝度[今後はエネルギー流との混同を避けるために比強度と呼ぶ]Mを考えればよい。空洞内部で平衡状態にある輻射を考える。空洞内部に任意の面積要素dσを考え、それを時間δt内に立体角dΩの方向に通過する輻射のエントロピーを求める。ここで単位面積を単位時間に面に垂直な方向へ通過していく輻射のエントロピー流をMとする。Mの事を今後輝度改め比強度と呼ぶことにする。一般にMは場所と時間と方向に依存するが、ここでの議論のように、Mはすべての方向について一様と見なして良い場合には、dσを通って一方の立体角2πの半球領域に向かう全輻射エントロピーはφについて0→2π、θについて0→π/2まで積分してとなる。ここで単色(νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で偏光面が片寄った、単位立体角の方向へ進行する輻射エントロピーの比強度を定義しよう。電磁波は横波だから、必ずある一つの偏光面に沿った振動で伝播する。そのとき輻射の強度は振幅(電場と磁場)Aの二乗に比例する。その振幅Aを二つの直線偏光成分に分け、それぞれの振動成分をAxνとAyνとすると、ピタゴラスの定理よりA2=Axν2+Ayν2となる。光線は二つの偏光面で振動する波が混じったものであると考えることができる。その為、それぞれの振動面(AxνかまたはAyν)に対する直線偏光した単色エントロピーの比強度をそれぞれLxνおよびLyνとすると、すべての振動数のエントロピー輻射の比強度Mはと表される。このときLxνおよびLyνは直線偏光した振動数νのエントロピー輻射の比強度で、それぞれ輻射エネルギーの偏った輝度RxνおよびRyνの値によって決められる。直線偏光した振動数ν〜ν+dνの単色輻射に対するエントロピー比強度についてMと同様にが成り立つ。ここでLνは単色(振動数νを中心とした単位の振動数幅に含まれる)で直線偏光した単位面積を単位時間に面に垂直な方向へ進行する輻射エントロピーの比強度を表す。偏光していない輻射線についてはLxν=Lyνであるから、それを改めてLνとおくことにすればの関係が成り立つ。前に掛かっている数因子2はMが偏光していない事を表すために掛かっている。以前、KνはKの単色成分とし、RνでもってKの単色かつ直線偏光成分を表すことにした。ここでのLνはMの単色かつ直線偏光した成分である事に注意。偏光していないMの単色成分はMνで表すことにする。このように偏光していない光線を偏光した光線によって表すと係数2が乗ぜられるが、それは電磁波が横波なので二つの偏りを持つことができることによる。実際偏光していない輻射線をニコルプリズムなどを通して直線偏光成分だけにすると、そのエネルギー強度は1/2倍になることが確かめられるが、エントロピーについても同様に考えることができる。そのため直線偏光したエントロピー比強度Lνを用いると前記の結論はとなる。別稿「キルヒホフの法則(熱的放射平衡における)」3.(2)で示したように、あらゆる方向に一様な輻射場では進行するエネルギー輻射の強度Kから輻射エネルギーの空間密度uが得られた。同様に、進行するエントロピー輻射の強度Mから輻射エントロピーの空間密度sが得られる。そこでのエネルギー密度uをエントロピー密度sで、輻射輝度Kを比強度Mで、直線偏光した単色輻射輝度Rνを直線偏光した単色比強度Lνで置き換えればよいのである。あらゆる方向に一様な輻射場の単位体積当たりのエントロピー密度sはエントロピーの輻射比強度Mで表すととなる。Mは密度測定点でのエントロピーの輻射比強度と考えることができる。次に、振動数ν〜ν+dνの間のエントロピー密度をもとめる。スペクトル分解を行いの関係を用いて比較すれば、以下のようになる。3.Rν、Lνと温度Tの関係エネルギー輻射Rνとエントロピー輻射Lνと絶対温度Tの関係を求める。ここ6.(2)の(11)式よりである。6.(3)で求めた(12)式よりとなる。F”の変数(c3Rν/ν3)の導関数である。これらの式よりとなる。これらの関係はもともと(11)式、(12)式と同様にあらゆる方向に一様な偏光していない輻射について導かれたものであるが、任意の輻射の場合にも個々の直線偏光性について一般的妥当性を持つ。個々の輻射線は互いに全く独立に振る舞い伝播するので、ある輻射線のエントロピー輻射の強度Lνはエネルギー輻射の強度Rνのみに依存するからである。したがって、個々の単色輻射線は、そのエネルギーの他に(13)式で決められるエントロピーと(14)式によって決められる温度を持つとして良いであろう。ここで行われた温度概念の個々の単色輻射線への拡張によって、任意の輻射線の通過している一つの場所には、そこを通る輻射線が各々固有の温度もち、さらに同じ方向に進む種々に色づいた輻射線が各々エネルギースペクトル分布に従って様々な温度を示すために、一般に無限に多くの温度が存在することになる。安定な熱力学的平衡の場合にのみ、そこを横切る様々の方向の様々の色のすべての輻射線に共通の一つの温度が与えられる。ここでもし輻射の温度を輝度Rνと振動数νの関数として与える(14)式の関数Fが完全に決定できれば、輻射の温度の概念を物体温度の概念と完全に分離することができる。すれば、任意の物体表面の温度を、その物体が放出した輻射線の温度によって決めることができるであろう。黒体以外の物体では放出される輻射の温度は振動数ごとに異なるであろうから、各振動数の放射線の温度が定まったとしても、その輻射を放出した元の物体の表面温度が一意に定まるわけではない。黒体と黒体からの放射の場合のみ、各振動数の放射線の温度と黒体の温度がすべて同じになって一つに定まる。前節の議論を黒体輻射の場合に適用してみる。黒体輻射のエントロピーの全空間密度は別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」2.(6)ですでに求めている。その式を使うと、一方向への全エントロピー輻射の比強度Mと空間の面要素dσを通過して一方の半球立体角方向に通過する全エントロピー輻射はそれぞれ以下のようになる。いま[温度Tの黒体表面]にあらゆる方向から[温度T’の黒体輻射]が当たる場合を考える。エネルギーを放出する。上で求めたようにのエントロピーを放出する。外の黒体輻射場から以下のエネルギーとエントロピーを吸収する。よって物体のエントロピーの変化量と輻射場エントロピーの変化量を合わせたものは正か又はゼロとなる。全エントロピー変化ΔSはとなる。このとき、ΔSが常に正かゼロとなることは、ΔS/T3のグラフを描いてみれば、ただちに確認できる。グラフより明らかなようにT=T’の場合のみ、系のエントロピー変化が起こらない、平衡状態を保った可逆的な過程となる。T’→0の場合は黒体からの放射のみ起こって、輻射場からの吸収は無いのであるが、系のエントロピーは単位面積当たり、単位時間当たり(ac/12)T3の割合で増加していく不可逆過程となる。T→0の場合は、黒体からの輻射は起こらず、輻射場からの吸収のみが起こることになる。この場合はエントロピー増大は∞となるので有限の補償過程では元に戻せなくる。そのため、このような場合は自然界では起こりえない。5.非可逆過程ここで、別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」3.(3)で取り上げたのと同じような非可逆過程を考察する。ここでは、最初炭の小片の様な黒体輻射の条件を満たすための放出・吸収物質は存在しないとする。周りを完全反射壁で囲まれた体積Vの空洞が温度Tの黒体輻射で一様に満たされているとする。次に、この空洞の壁に小さな穴を開け、そこを通って輻射が別の同じように完全に反射する固定壁で囲まれた真空の空洞に漏れ出てるようにして、空洞の合計体積がV’となるように輻射が拡散する非可逆過程を考察する。ここでは放出・吸収物質は存在しないとしているので、熱力学第一法則により輻射の全エネルギーはもちろん保存されるが、固定壁による完全な反射では振動数の変化もエネルギーの変化も起こらないので、各振動数のエネルギーも保存される。そのとき、壁による乱反射のために輻射は再びすべての方向に一様になり、uνV=uν’V’となる。上に求めた(14)式によって[まだ関数Fの形は解っていないが]最終状態の振動数νの単色輻射の温度Tν’が決定される。輻射の全エントロピー[すべての振動数の輻射のエントロピーの和]は熱力学第二法則に従って最初の状態よりも増大しているであろう。Tν’は異なる振動数に対して異なる値を持つから、最終状態の輻射はもはや黒体輻射ではない。ここで、炭の小片を空洞に入れると、エネルギースペクトル分布に変化が起こり、エントロピーはさらに増大して別稿「シュテファン・ボルツマンの法則」3.(3)で計算した値S’になる。等方性の仮定を用いた簡潔な証明です。手順に誤りは無いのですが、何か誤魔化されたような気がするアクロバティクな証明です。Barth,(初版は1906年刊)これは熱輻射論の参考書として一番に挙げられる有名な本です。文献1.と同じことの説明なのですが、プランクらしい几帳面で丁寧な証明です。込み入っていますが一歩一歩たどることで理解できました。プランクの熱輻射法則そのものについては別稿「プランクの熱輻射法則(1900年)」を御覧下さい。Warme”(1930年刊)文献2.よりも簡潔に展開されており、より明快ですが理解するのは難しい。文献2.と対比しながら読むことでなんとか理解できました。「熱輻射論と量子論の起源」大日本出版(1943年刊)日本人による熱輻射論の解説書として有名な文献です。]から、その全文をダウンロードして読むことができます。ウィーンの原論文(文献1.)とプランクの文献2.の証明もこの中で翻訳紹介されていますので上記文献1.〜3.をお持ちでない方は上記URLを参照されて下さい。この中で天野は、プランク以外の様々な人による変位則の別証明も紹介しています。熱輻射論がきちんと説明されている数少ない教科書の内の一つですが、「断熱不変量の定理」を用いたウィーンの変位則の別証明が与えられています。8.まとめ8.まとめ(追記)ウィーンの変位則はプランクの輻射公式の証明で重要な働きをしますが、その意味するところを理解するのは難しい。T(増訂新版)」東京図書(1969年刊)の§83,§84(p254〜257)がその的確なまとめになっているので以下に引用しておきます。この稿でuνとした量を以下ではρνと書いている。ウィーンの変位則は黒体(空洞)輻射に対してのものであることを忘れないこと。A.完全黒体の輻射法則(§83)[補足説明]シュポルスキーは「ウィーンの変位則」から「シュテファン・ボルツマンの法則」が導ける事を指摘していますが、この稿の5.(1)を読まれたら解るように、ウィーンの変位則を導く過程で、シュテファン・ボルツマンの法則から導かれた結果を用いています。ウィーンの変位則の中にシュテファン・ボルツマンの法則が含まれているのは当然です。変位則こそウィーンによって新しく導かれた成果です。