「桁」はこの項目へ転送されています。(建築)」をご覧ください。種類の記号(数字)を列べることによって数を表す方法である。(位取りのことを桁ともいう。いった「二の冪数」進法が用いられている。用語としては、「十進法」など「N進法」は「N進位取り記数法」を意味する語ではあるが、記数法以外にも「N進(Nで桁上がりする)命数法」という意味や、単に「ある特定の単位から上の単位を作る、冪乗による規則」という意味でも使用される。system」「N進位取り記数法」の意味でしか使われない。それ以外の場合については広義の記数法の記事を参照のこと。後述するp進数の概念とは(関連があるものの)別概念であるので注意が必要である。達したら数列を一つ増やす。数字を容れる一つの列を桁(けた)といい、桁の意味する数を位(くらい)という。「10」というように「整数第二位が"一"で整数第一位が"零"」として表記される。この「N進」と呼ばれる数列は、「Nの倍数」(Nの倍加)ではなく、「Nの冪数」(Nの冪乗)で進む。ここでの「進」とは「桁」を進めることである。派生して、Nの2乗は「100」、Nの3乗は「1000」、Nで1回分割は「0.1」、Nで2回分割は「0.01」、Nで3回分割は「0.001」として表記される。このように、整数第一位(N0)を「一の位」、整数第二位(N1)を「Nの位」、整数第三位(N2)を「N2の位」、整数第四位(N3)を「N3の位」、小数第一位(N-1、1÷N1)を「N分の一の位」、小数第二位(N-2、1÷N2)を「N2分の一の位」、小数第三位(N-3、1÷N3)を「N3分の一の位」として数を表現する。以下に、零(つまり無の数)も加えた一進法(桁上がりが無い)と位取り記数法の差異を、図形記号を用いて示す。◎を零、●を一として、●は六つごとに区切る。ここでは、単偶数進法である六進法と十進法を例に挙げる。アラビア数字を「ア数」と略記する。100このように、六進法なら六(五の次)、十進法なら十(五の五つ後)というように、決められた数値になったら新しい列を出す方法が「位取り記数法」である。一つの列に入る数は、六進法ならば五まで、十進法ならば九までとなる。六進法なら六の束の更に六の束、つまり三十六の束で新しい列の出現が二回目(=二乗)となっている。十進法なら十の束の更に十の束、つまり百の束で新しい列の出現が二回目(=二乗)となるが、六進法では百を「三十六が二つ、六が四つ、一が四つ」として表記する。新しい列の出現を「桁上がり」と呼ぶこともある。単位系にN進の考え方を適用すると、必ずNの冪乗で単位が設定される。数値観でも、N進法ではNの2乗が「満点」という数値観と、Nの冪数が「多数」という数値観が形成される。し」という数値観になる。従って、素因数が同じでも、冪数が異なれば数値観も異なる。「倍」ではない「時間は十二進法や六十進法」「時間は十二進数や六進数」というように、"倍"数と"進"法や、"倍"数と"進"数を混同している例が見られるが、十二"進"数なら「50は六十」「0.5は十二分の五」であらねばならず、六"進"数なら「50は三十」「0.5は六分の五」であらねばならない。N進"法"」は冪乗で位を進める法(system)、「N進"数"」は数をN進の表記法で表したものである。用例:六進法の100は、十進法では36である。用例:十二進数の6A.6は、二十進数の42.Aと同値である。底を「10」として表さない例編集アラビア数字やマヤ数字のように、桁の底と同じ数が「10」として表される方法が位取り記数法である。notation)が、便宜上この項で概説する。例として、十二進法を図形記号を用いて説明する。●ここで重要な点は、「どの数で新しい記号が現れるか」である。12A個統めた物として●、●を12A個統めた物として▲、▲を12A個統めた物として◆、◆を12A個統めた物として◎という記号が導入されている。純粋な十二進法は、24Aや60Aといった「▲の倍数を、桁や単位にすること」(=12Aの2倍、12Aの5倍)でもなく、288Aや432Aといった「◆の倍数を、桁や単位にすること」(=12Aの12A倍の2倍、12Aの12A倍の3倍)でもなく、144Aや1728Aといった「◆や◎などの新しい記号が現れる数を、桁や単位にすること」(=12Aの12A倍、12Aの12A倍の12A倍)なのである。{※この意味で、ローマ数字は5倍だけではなく10A倍でも新しい記号が現れるので、五進法でも十進法でもなく、「二・五進法」という。今日の日本において最も身近な十進法を例に説明する。十進法では、十個の数字と呼ばれる記号を用い、一桁に十個の数字を容れて、十倍毎に桁を増やす。数列は、十、二十、三十といった「十の倍数」ではなく、十、百、千といった「十の冪数」で進む。以下、アラビア数字を例に説明するが、漢数字の場合も同様である。十進法ではこれらの数字を列べる事で数を表現する。{1}{10^{2}}}}を表す。十進法では、以下の性質が満たされる。整数では、十倍する毎に一桁増え、十分割する毎に一桁減る。一桁で表せる数は10-1=9までで、10以降は二桁以上を必要し、100以降は三桁以上を必要とする。小数では、十分割する毎に一桁増え、十倍する毎に一桁減る。単位は、20や30といった10の倍数ではなく、100や1000といった10の冪数で設定される。単位も記数法も十進法であるメートル法の単位は、倍増の接頭辞として「ヘクト」や「キロ」、分割の接頭辞として「センチ」や「ミリ」などが使用されている。十の冪数のM倍」でもない。場合に敷衍する事で得られる。{1}{4^{2}}}}を表し、これは十進法の54.125にあたる。四進法では、十進法に類似した以下の性質が満たされる。整数では、四倍する毎に一桁増え、四分割する毎に一桁減る。一桁で表せる数は4-1=3までで、4以降は二桁以上を必要とし、16以降は三桁以上を必要とする。小数では、四分割する毎に一桁増え、四倍する毎に一桁減る。単位は、8や12といった4の倍数ではなく、16や64といった4の冪数で設定される。以上の話でも分かるように、同じ「312.02」でも四進法のものと十進法のものでは値が異なる。このため、位取り記数法の話をするときには、常に何進法の話であるのかを明示する必要がある。十より大きい場合は用いる数字は、アラビア数字だけでは足りなくなる。そこで、十以上の数を表記する「数字」として、ラテン文字のアルファベットの大文字を用いる事が多い。漢数字を使う際には、アルファベット大文字に相当する十干を用いて、十一を「甲」、十二を「乙」、十三を「丙」...と表記することになる。十六進法であれば、「数字」として0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、Fを用い、A、B、C、D、E、Fはそれぞれ十進法の自然数10、11、12、13、14、15を表す。{1}{16^{2}}}}を表し、これは十進法の755.652344にあたる。十六進法では、以下の性質が満たされる。整数では、十六倍する毎に一桁増え、十六分割する毎に一桁減る。15(F)までで、16以降は二桁以上を必要し、256以降は三桁以上を必要とする。小数では、十六分割する毎に一桁増え、十六倍する毎に一桁減る。単位は、32や48といった16の倍数ではなく、256や4096といった16の冪数で設定される。※ここでは、視認性のため拡大して表示しています。同じ「312.02」でも、四進法と十進法では値が異なる。そこで四進法であることを明記するため、Nが十未満である場合には、一桁の下付き数字を付けて312.024或いは数字本体か下付きのどちらかを括弧で(312.02)4312.02(4)と表記する事もある。234(K)とも表記できる。234(20)というように十を「A」ではなく「10」、十二を「C」ではなく「12」というように十進表記の複数桁で表記する方も一般的である。括弧書きではなく「N進法」という語を付ける場合には、前付きでも後付きのどれでも通じる。dozenal"の後付きの両方とも可能である。dozenal"というように数字を棒読みする。コンピューター言語により表記方法が若干異なる場合もある。以下の表に、代表的なN進法の位数と換算値を掲載する。底の特徴として、二と十六は「二の冪数」、三と九は「奇数」「三の冪数」、六と十は「奇数の二倍」、十二と二十は「奇数の四倍」が挙げられる。11C0このように、数字の種類が少なければ桁数が多くなり、逆に桁数が少なければ数字の種類が多くなる。六進法では「5154個」、十進法では「1150個」で共に四桁になる個数が、二進法だと「10001111110個」で十一桁、三進法だと「1120121個」で七桁に増え、十二進法では「7BA個」、二十進法では「2HA個」で共に三桁に減る。同様に、三進法では「100000000円」と表示され大威張りできるような金額は、六進法では「50213円」、九進法でも「10000円」と表示されるが、逆に十進法だと「6561円」であり、九進法以前が五桁以上に対して、十進法以降は四桁以下になる。ruleといえば通常は整数の範囲で割り切れるかどうかを問う整除の問題であるが、以下では有限小数として割り切れるかどうかについて述べる。素因数分解した時にどの素因数が含まれているかで決まる。従って、単に約数が多いというだけではなく、約数が素因数分解した時にどんな数になるかも見なければならない。割り切れない」が挙げられる。これらの要因は、八や十六は奇数(3や5など)が約数に含まれていないから、九や十五は偶数(2や4など)が約数に含まれていないから、十には3が約数に含まれていないから、十二には5が約数に含まれていないからである。各数を素因数分解すると、八は23、十六は24、九は32、十五は3×5、十は2×5、十二は22×3となる。Nの約数が2の冪数しか無いため、「2でしか割り切れない」。