Consortiumの略称であるW3C乗数が右にある。演算のメソッドがないためである。順序があると見ることもできる。ように乗数を右に記述することになる。絵を描くことに飽きてきた子どもは、大人に指示されなくても簡略化した図を描くようになる。これは良いが、かけ算の順序をまもらないのは認められない。「なぞって絵を描きましょう」また、「かけ算の順序が逆になっているのは、かけ算の意味を理解していないからであり、かけ算の意味を理解していないと、わり算を理解できない。」などとして、「かけ算の正しい順序」の正しさを主張したりする[要出典]。これは、以下のような論法である。「わり算はかけ算の逆算だ」と指導するだけでは、じゅうぶんな理解を得られない。わり算には、「12個のミカンを3人で分けると、1人何個もらえるか」(等分除)というパターンと「12個のミカンを3個ずつ分けると、ミカンをもらえるのは何人か」(包含除)というパターンがある。同じわり算とよばれているものなのに出題パターンが2つあるので、ただ単に「わり算はかけ算の逆算だ」と指導するだけでは、じゅうぶんな理解を得られない。それゆえ、かけ算の学習のときに、何個でひとかたまりになっているか・かたまりがいくつあるかを意識して、問題文の読み取りをさせる必要がある。このように、「かけ算の順序に意味をもたせることによって、読み取りが正しくできているか判断できる。」という考えにもとづいて、「問題文の読み取りをしてから立式するように指導しないとただ計算ができるだけで応用問題に対応できなくなる。」「わり算を理解できなくなる。正木孝昌は、問題の答えを求めるには,どちらの順序でもどちらでもいいにもかかわらず、「式には,その情景を表現するという機能がある。中心メンバーの田中博史は、意味づけのためにかけ算の式の数値に順序性を求めるのが当たり前だという考えを示した[29]。割り算の初期指導まで等分除、包含除の理解の際に順序が決まっているほうが児童にもわかりやすいと主張した[29]。「船が5そうあります。1そうに4人ずつ乗ることにします。」このような問題文になっていると子どもたちは必ず式を間違えますよね。今まで文の中に出てきた順番に数を使って式を書くだけで、ずっと丸をもらえていた子たちは、必ずこういう問題で引っかかります。ところが、この前2年生の子に聞いてびっくりしたことなのですが、「そろそろ式は反対に書かなきゃいけないころだ」と言うんです(笑)。「何で?」と聞くと、「プリントは、後の方になるとそういうふうにしないとバツになることが多い」と言うのです。まとめのテストの文章題の終わりは、必ず式が逆になる場合の問題が多いのです。統計的にみる力は素晴らしいものがあるかもしれませんが(笑)、それではやはり意味がありません。そこで、この文の後に「何人乗ることができますか」と聞くのを一度やめて、絵にしてみようと指示をします。絵にすることでイメージ化させるのです。文章題は読んだら絵にさせます。絵にするところが考えるところです。絵が描けたら、文章を読み取っていることになります。読み取った絵を見て式をつくるところは、教えていいと思います。「この場面を、このような式に書くんだよ。算数の式は外国語と一緒で、子どもにとっては新しい言葉ですから、教えなければいけません。p62と述べ、文章題の内容を正しく絵に描ければ読み取りができていると判断できるが、それだけでは不十分で「かけ算の正しい順序」をまもらないのは間違いであるとした。その理由として、「算数の式は外国語と一緒で、子どもにとっては新しい言葉ですから、教えなければいけません。」と述べ、「文章題の内容を式に翻訳する」という考え方を支持した。そのうえで、「抽象化」については、以下のような見解を示した。「子どもが大作の絵を描き、いつまでたっても抽象化しません」と言うから、「本当にたくさん絵を描かせていますか」と私が聞き返したところ、それほどたくさんは描かせていないのです。文章題を読んでは絵に描く。それだけでいいんです。式や、答えを求めさせないで、お話を読んだら絵に描くことをいっぱいやらせると、子どもはそのうちに飽きてきます。p62絵を描くことに飽きてきた子どもは、大人に指示されなくても、文章題の内容を表わす簡略化した図を描くようになり、抽象化して考えるようになるという。4」と書いたとすると、この子は読み取りができないのではなくて、式の意味を間違えて覚えているだけとなります。治療するところが変わりますよね。4」と書いた子どもに「ちゃんと文章を読んでごらん」といくら指導してもだめです。この子は逆に覚えているわけですから。5」と書くんだよと、ここは確認していいところです。5と言うんだよ」と教えるのです。p62として、かけ算の式には具体的な状況を表わす意味があるので正しい順序があるという考えを示し、正しい順序に従わない子どもは治療しなければならないと主張した。ディポール大学教育学部の高橋昭彦は、かけ算の式において特定の順序のみが正しいという考えを前提に、どちらでもよいと考える先生・学生が多いアメリカの教育レベルを低く評価する考えを示した[27]。等分除と包含除編集この記事には独自研究が含まれているおそれがあります。問題箇所を検証し出典を追加して、記事の改善にご協力ください。議論はノートを参照してください。(2013年11月)この記事の内容の信頼性について検証が求められています。確認のための文献や情報源をご存じの方はご提示ください。出典を明記し、記事の信頼性を高めるためにご協力をお願いします。議論はノートを参照してください。(2013年11月)かけ算の順序問題と関連し、除法について初等的な教育手法として、(整数の)除法の「意味」として等分除と包含除の2種類に分類し導入をはかる、というものがある。ある量が「基準となる量」の「幾つ分」に除されるかを考えるとき、「基準となる量」を求めるのが等分除、「幾つ分」になるかを求めるのが包含除である。かけ算」で述べたように、「3×4」の式の意味は、図のように「3個の集まり」が「4つ分」あること、つまり「同じ数ずつの集まり」が「いくつ分」かあるときに、全体の個数を求める計算がかけ算でした。数学的にはたし算の逆算がひき算であり、かけ算の逆算がわり算です。したがって、わり算とは、かけ算の式の意味の「同じ数ずつ」と、「いくつ分」を求めるときに使う演算なのです。p79と述べている[30]。ここで「式の意味」なる語が出てくるが、『「3×4」の意味は「3個の集まり」が「4つ分」あること』といったような「式の意味」の定義(「立式」といった、やはりその世界のみの用語が使われる)は、日本の一部の初等教育の世界にだけ存在する「定義」である(かけ算の順序問題)。積と、左右が対等な形で教え、両方の順序を示している[10]。(全部の数)であり、日本のそれとは順序が逆である」とされる[27]。数学教育において、式の順序は重視されていないようである。2か、と問うと、教員養成課程の学生ばかりでなく、現場で算数を教えている先生も、ほとんどが、どちらでもかまわないという。その理由は、「どっちでも答えは6だから」というのである。驚くなかれ、大学で数学教育を教えている人の中にもこのような人は少なくないのである。(試案)昭和26年(1951)改訂版[24]において「一冊5円のノートを,6冊買ったら,いくら支払えばよいでしょう。」という問題を解くときには,「5円×6」として,その結果を求めるのが普通である。ところが,この問題を,「ノートを6冊買いました。どれも1冊5円でした。ぜんぶでいくら支払ったらよいでしょう。」とすると,「6×5=30(円)」として結果を求めるこどもがでてくるであろう。こどもが,このような誤った解決をするのは,かけ算の意味をひととおり理解しているにしても,その理解が形式的になっていることを示しているといえる。いくつかの条件がどんな順序で書いてあろうとも,かけ算を式で示すとすれば,(グループの大きさ)×(グループの個数)=(量全体の大きさ)であることが,こどもにじゅうぶん理解されておらなければならない。この一般化がふじゅうぶんなために,6×5=30(円)というような式を書くのである。記述したが、正式な学習指導要領および学習指導要領解説にはこのような記述がなされることはなかった。1951年4月16日に数学者の遠山啓らを中心に数学教育協議会が結成された。ように累加として導入するのはよくないと主張した。いくつ分と考えるべきであると主張した[要出典]。6」が正しいと指導されたという。これに異議をとなえ文部省に質問状を送る親も現れ、かけ算の順序の「正解」をめぐって論争が起こった。6だけを正解とすることについては否定的な見解を示した。その理由は「6人に1個ずつミカンを配ることを4回繰り返すと、6個ずつのまとまりが4つあると考えられるから」というものである[8]。1977年、数学者の森毅は、『科学朝日』に『数の現象学』を連載し、5月号に「次元を異にする3種の乗法」として出版した中で、「大学入試などでは、『1人に1個ずつ配ると6人に対しては6個必要になる。1人当たり4個にするためには、それを4回繰り返さなければならない』というように書かなければ大減点される。6人を6個/回に、4個/人を4回に転換するところを書かないと、それぞれ1割程度減点、わざわざ間接的にマワリミチしたことで1割ぐらい減点。4と書く、日本のほうが合理的」と主張した[31]。1984年、数学者の矢野健太郎は、『おかしなおかしな数学者たち』[32]を出版した。この本で遠山啓についての項[33]で、名古屋のラジオ局から、名古屋の小学校で「ミカンを4つずつ6人の人に配りたいと思う。24と答えた子どもがいて、教師はこれを0点にしたということを聞かされ、意見を求められたのに対してどちらでも良いと答えたことを記している。矢野は理由付けを1時間ほどかけて考えたが、一週間後に遠山啓に話したところ、遠山啓はそう言うように考える子がときどきあることおよび、カード式配りとよんでいてもともと知っていたというエピソードを述べている。小学生に算数を教える教師に整数環Zの代数的構造などの数学的素養が必要であるとする論文[34]を出版した。3でなければならない」と指導したことである[34]。2ではないこれを同数累加という。」などの主張をしたことが報告されている[34]。1994年、心理学者の守一雄は伊藤武広ら(1993)の論文[34]について、なぜ環と加群の知識が必要な素養なのか示されていないと批判する論文[35]を出版した。このなかで、守一雄は教師の対応は十分だったと評価している[35]。)は特に今の教員免許状を取得する課程において、特に小学校、中学校において、専門の課程の勉強が少な過ぎると思うんです。きのうも、私の友人が広島地方の新聞の投書欄を送ってきたんですけれども、小学校で、長方形の面積の計算をしなさいというテストが出ていて、式が△になって、答えが○になっていた。式が△になったかというと、学校では、長方形の面積は縦×横だと教えたのに、その子は横×縦に書いていたからだというんですね。長方形、横、縦というのは、ひっくり返せばどうでもなることですから、そんなことどうでもいいことですし、掛け算は順番を変えてもいいわけですからね。皆さん、お笑いになるけれども、現実に起こっていることなんです。私の息子の場合も、中学校の幾何の問題で、わからないから聞かれたことがありまして、息子のノートを見ると、私が言ったことと違う書き方がしてあるんですね。して、さっき言ったのと違うのと聞いたら、教科書ではこう書いてある。それは、「ゆえに」か、「よって」か、「したがって」かの言葉の違いなんです。書いても正しいのにその教科書どおりに書いておかないと5点引かれるというんですね。ばかげているんですけれども、これは先生が本当にはわかっておらないから、自信がなくて、つい教科書に書いてあるものにしか○をあげられなくなってしまっているのだと思います。いうことを改善するためにぜひ、何らかの対策を打ってほしいと思います。2007年、数学者の岩永恭雄は伊藤武広ら(1993)[34]と守一雄(1994)[35]の論文を再検討する論文を発表した[36]。岩永は教師の誤りと断じるとともに、その原因を考察し、教科書および指導書の記述が不適切であることを指摘した[36]。p147[37]では(長方形の面積)=(縦)×(横)(もしくは(横)×(縦))と但し書きが書かれている。8は2本足のタコが8匹いるという意味になります。[20]2008年、京都大学の田中耕治は、作問法によるパフォーマンス評価の出題例として「4×8=32となるようなお話をつくってください」を挙げ、採点基準の一つに、「乗数と被乗数の意味が区別されているか(とくに正比例型では「4」は「一あたり量」,「8」は「いくつ分」と区別されているか)」を示した[38]。ここで正比例型は「一あたり量×いくつ分=全体量」で表される[39]。2だと3本耳のウサギが2羽いることになる。8だと2本足のタコが8ひきいることになる。」という授業を肯定的にとりあげた。2011年5月26日、算数教育史家の高橋誠は『かけ算には順序があるのか』[7]を著し、「指導書[16]は「式」と「計算」を区別して扱っており、「計算」では交換法則が成り立つが「式」には順序に意味があるので勝手に順序を変えることはできないとしている」と指摘した[40]。このような指導に対しては以下のような批判がなされていると指摘した[41]。1あたり量」という順序で書いてもよい。いくら分」の順序で書くとしても、どちらの数を「1あたり量」としてもよい。そもそも、かけ算は「1あたり量」と「いくら分」の積だけではない。高橋誠、『かけ算には順序があるのか』[41]高橋は、小学校の算数教育に浸透しつつある、かけ算の式には順序が存在するという指導法に警鐘を鳴らしている。本来「正しい」式の順序とはかけ算を教える上での単なる道具だったはずなのに、教師たちは「数学的にも算数的にも」根拠があると信じ始めているようにみえるからである[42]。2012年12月25日小林道正『数とは何か』[43]が発行された。坪田耕三は、九九の三の段の学習において、「(一つ分)×(いくつ分)=(全体)の式の意味を確認していきたい。」としたのち、「チューリップがたくさんありました。そこで,このチューリップを3本ずつくばったら,ちょうどなくなりました。チューリップは何本あったのでしょう。」という文章題では、式の約束にそって「3×7」と書くことを確認するよう主張した[44]。指導書とは、教科書出版社が現場教員向けに作成するマニュアルで、文部科学省が作成する学習指導要領とは関係ない。学校関係者以外の者が指導書を閲覧したり購入したりすることは非常に困難である。複写を認められていない。2012年10月25日閲覧。数学的には、交換法則を満たす代数系では左作用と右作用の区別がなくなることが保障されている。交換法則を満たす自然数と自然数のかけ算を1つ分×いくつ分のように左右を区別する必要性は数学的にはない。コンピューター・シミュレーションなどでよく使用される行列のかけ算は、交換法則を満たさないため、作用(被作用)という観点で扱われるべきである。(試案)昭和26年(1951)改訂版』、1951年。978-4491023731。PDF文書が以下より入手可能。978-4316300139。PDF文書が以下より入手可能。]』、2009年3月。http://www.nier.go.jp/seika_kaihatsu_2/。ライブラリー〉、2011年。978-4000295802。プレミアム講座ライブ〉、2009年。978-4-491-02398-4。978-4-491-02781-4。2』文溪堂、2011年、48頁。978-4894237230。978-4-491-02781-4。388〉、1989年。4-02-259488-8。4-10-121906-0。オリジナルの2015年6月10日時点におけるアーカイブ。2012年10月25日閲覧。1972年1月26日、17面。2012年11月5日、6面。2013年1月25日、37面。[リンク切れ]小林道正『数とは何か』ベレ出版、2013年。978-4-86064-340-9。2013年9月22日閲覧。2013年9月28日閲覧。