[平面図形]左図のような、AB=AC=24cm、BC=12cmの二等辺三角形ABCがあります。ABの真ん中の点をDとします。この三角形を、DCを折り目として折り返し、さらにECを折り目として折り返します。このときBが移動した点をそれぞれB1、B2とします。DB2は何cmでしょうか。2.解答例1左図のように、EをACの中点として、DEの延長線上にEB1=6cmとなるようにB1をとる。この点が実はBを折り返した点になることを示す。中点連結定理により、DEとBCは平行、DE=BC/2=6cm。従って、DB1=DE+EB1=12cm。すると、DB1とBCが平行かつDB1=BC=12cmとなるので、DB1CBは平行四辺形。よって、B1C=DB=12cmとなる。これは、B1がDCを折り目にBを折り返した点に他ならないことを意味する。すると、EB2=EB1=6cm、B2C=B1C=12cmとなることが分かる。△ADE、△CB2E、△CB1Eは全て合同で、かつ△ABCに相似である(相似比1:2)。これから、∠CEB2=∠AED=∠ADEとなり、∠DEB2=180度−(∠AED+∠ADE)=∠DAB。△DEB2は二等辺三角形で頂点の角が△ADEの頂点の角と等しいので、△ADEと相似である。すると、DE=EB2=6cmであるから相似比は1:2。よって、DB2=DE/2=3cmとなる。以上3.解答例2私自身が最初に解いたときは、解答例1の最後の△DEB2が△ADEあるいは△ABCと相似であることに気が付かなかったので、次の補題を用いた。補題:△ABCでHはAからBCに引いた垂線の足とする。x2−y2=a2−b2(x−y)(x+y)=a2−b2しかるに、x+y=cより、x−y=(a2−b2)/cこれから、x、yを求めると補題のようになる。DB2とACは平行より、DB2の長さは、補題を△DAEの場合に適用したyの2倍。DB2=2*(122−122+62)/(2*12)=62/12=3cm。