従って、fはC2級だから2次偏導関数は連続で、(h,k)→(0,0)のとき、になる。なっているのは偶然ではなく、f(x,y)がC2級だからである。成立するので、片方だけを計算すればよい。2回偏微分可能な関数f(x,y)にを対応させる写像をであらわし、ラプラス微分作用素またはラプラシアンという。Δf=0をラプラスの微分方程式、その解を調和関数という。次の関数z=f(x,y)が調和関数であるかどうか調べよ。よって、調和関数である。よって、調和関数である。f(x,y)をR2の開区間(a,b)×(c,d)で定義された関数とする。fはyだけの関数である。連続ならば、fはxだけの関数とyだけの関数の和である。この定数をφ(y)とおくと、f(x,y)=φ(y)である。(1)よりf(x,y)=φ(y)。よって、したがって、φ(y)は定数である。xだけの関数h(x)に等しい。x0∈(a,b)の定点とする。xについて連続だからここで、とおけば、(証明終了)(注)(a,b)×(c,d)は開区間(a,b)と開区間(c,d)の直積のことでである。意味で、「fが定数」とはDのすべての点(x,y)でf(x,y)=定数、つまり、関数fが定数関数であることを表す。2定義1階の全微分方程式の左辺がある関数f(x,y)の全微分、すなわち、であるとき、全微分方程式を完全形であるという。連続であるとき、次の条件は同値である。P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形である。【証明】(1)⇒(2)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形だから、になる関数f(x,y)が存在する。したがって、(2)⇒(1)点(x0,y0)を定義域内の点とする。代入すると、Pの偏導関数は連続だから、微分と積分の順序の交換が可能。よって、そこで、と定めると、したがって、になり、P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0は完全形である。一般解z=f(x,y)はである。次の微分方程式の一般解を求めよ。P(x,y)=x、Q(x,y)=yとおくと、だから、この微分方程式は完全形。Q(x,y)=y2–xとおくと、よって、この微分方程式は完全形。x0=0、y0=0とすると、公式より(解答終)公式を用いれば、このように機械的に計算することができる。一般解z=f(x,y)をとしているものがあるので、これを証明することにする。代入すると、Pの偏導関数は連続だから微分と積分の順序の交換が可能だから、したがって、よって、一般解は(略証終)確かに、一般解はこのようになるけれど、積分を3回、さらに偏微分を1回しなければいけないので、この公式から一般解を求めるのは大変。使わないほうが身のためだケロ!!そもそも、前回紹介した完全形の全微分方程式の解法は、これと同じことをやっている。したがって、この公式は覚える必要は全く無いように思う。z=f(x,y)の全微分はである。ある関数z=f(x,y)の全微分が(1)、(2)で与えられているとき、関数zを求めなさい。φ(y)はxを含まないyだけの関数。この問題は(全)微分の性質を用いて、次のように解いてもよい。1階の全微分方程式の左辺がある関数z=f(x,y)の全微分dzに等しいとき、すなわち、であるとき、完全形であるという。問題2関数f(x,y)の全微分が、であるとき、関係式f(x,y)=C(Cは定数)によって、微分方程式の解が得られる。次の方程式がを満たすことを確かめて、これを解け。