自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数学のサイトではありません。区間−1≦x≦1で定義された関数について、次の問いに答えよ。とおいて、f(x)をtの関数として表しなさい。tの取りうる範囲を求めなさい。f(x)の最大値、最小値を求めなさい。して、両辺を2乗する。よって、(2)極値では、dt/dx=0になるので、x=−1/√2は解として不適。増減表はしたがって、1≦t≦2+√2(3)とする。x−y=tとおきtの変化の範囲を調べよ。関数の最大値、最小値を求めよ。上の点だからとあらわすことができる。したがって【別解】x−y=tだから、y=x+t。共有点を持たないといけないので、などなど、(1)については、色々な方法でtの範囲を求めることができる。aを0<a<1なる実数とする。放物線に点(0,1)から2本の接線をひき、その接線とx軸との交点をそれぞれQ、Rとするとき、△PQRの面積が最小となるように、aの値を定めよ。接点のx座標をαとすると、接線の方程式はこれが点(0,1)を通るので、よって、接線の方程式はQ、Rのx座標をそれぞれq,rとする。Q、Rは、上記の接線とx軸、つまり、y=0との交点だから、y=0を代入すると、よって、△PQRの面積Sはここで、t=√aとおくととなる。Sが最小のとき、分母が最大になるのでとおき、g(t)の増減を調べる。0<t<1だから、g(t)はt=1/√3のとき、極大かつ最大になる。t=√a=1/√3だからa=1/3のとき、Sは最小になる。閉区間[a,b]で連続な関数f(x)は、必ず、最大値と最小値をもつ。関数f(x)が最大・最小になる点の候補は、極値をとる点、区間の両端、そして、微分可能でない点など。1≦x≦3のとき、関数の最大値、最小値を求めよ。0<x<πのとき、関数の最小値を求めよ。x>0のときの最小値を求めたい。おき、Pをtの関数として表しなさい。その結果を用いてPの最小値ならびにそのときのxの値を求めなさい。したがって、(2)これをtで微分すると、したがって、Pは単調増加。よって、t=2のとき最小で、最小値3/2。解は1だから、x=1のとき、Pは最小で、最小値は3/2である。(解答終了)ちなみに、のグラフは次の通り。関数について、次の問に答えよ。sinx=tとおいて、yをtの式で表せ。yを最大にするxの値はいくらか。13/2減少1よって、x=1/2のときに、yは最大になる。解くと(解答終了)問題2、問題3のように、変数を変換することによって、最大・最小値を求めることが楽になる場合がある。問題2、3のように変数の範囲、定義域が変化することに注意が必要。第1象限の定点P(a,b)を通る直線と両軸の正の部分との交点をA、Bとするとき、△OABの面積の最小値を求めよ。定点P(a,b)をとおる直線の傾きをm(m<0)とすると、この直線の方程式はしたがって、Aのx座標はBのy座標はよって、△OABの面積Sはここで、とおき、mで微分すると、したがって、f(m)はのとき、極大。したがって、Sはこの時に極小、最小になる(f(m)とSは正負が逆転しているから)。このとき、x=2a、y=2bとなり、最小値はまた、このとき、PはA(2a,0)、B(0,2b)の中点である。(解答終了)こう解いたものの、この解答は良くないね。相似を使って、解くことにする。【別解】A、Bの座標をそれぞれ(x,0)、(0,y)とし、P(a,b)からx軸におろした垂線の足をHとする。△AHP∽△AOBだからしたがって、△OABの面積Sはこれをxで微分すると、したがって、x=2aのとき、極大かつ最大になる。わかりやすさで雲泥の差があるようだ。悪い解答例として、問題3の【解】は、そのまま残しておくことにする。問題1(1)関数の極大値がb、極小値が1/bのとき、aとbの値を求めよ。(1)で得られたaに対する関数y=f(x)のグラフの概形をかけ。【解】(1)(i)a+1>0のとき、x=−1で極大、x=1のとき極小。bを消去するとa+1>0だから、a=1。a+1<0のとき、x=−1で極小、x=1のとき極大。bを消去するとよって、不適。以上のことより、a=1、b=3。関数はx=π/4で極大値をとる。x>0におけるすべての極大値の和を求めよ。極値をとる点ではf'(x)=0でなければならない。x>0における、sinx=cosxの解はf''(x)を求めるとよって、したがって、のとき、極大。したがって、極大値はの等比数列。極値および極値を与えるxの値を求めよ。x≧0のとき、を求めよ。平均値の定理を用いて次の不等式を証明せよ。(1)の不等式を用いて、次の極限値を求めよ。この問題の(1)は、対数の次の性質を使うと、になるので、f(t)=logtとし、[x,x+1]においてf(t)に平均値の定理を使えばとなるcが少なくとも一つ存在する。x<c<x+1だからとなり、になる。よって、(1)は証明された。問題は(2)!!とおき、これの対数をとる。平面上を運動する点Pがある。点Pはどんな曲線をえがくか。点Pの速さが最大になるときのPの座標を求めよ。Pの速さをvとするととおくと極値をとる点ではf'(t)=0だから、sin2t=0のときcos2t=−1/16のとき,f''(t)<0となり、このときが極大、かつ、最大になる。よって、で、速さは最大になる。(解答おわり)大学入試の問題の多くには、大体、元ネタある。上の問題の元ネタは、リサージュ図形と呼ばれるもの。リサージュ図形のもっともシンプルなものは次の形で表される。αとβの値を変えると、次のような図形が得られる。赤はα/β=3のとき、青はα/β=4のとき、そして、紫はα/β=3/2のとき。理系のヒト、音響や電気の仕事に携わっている人ならば、この図を見て、すぐに、ピンとくるのではないだろうか。オシロスコープのあの図形です。関数f(x)が閉区間[a,b]で連続、開区間(a,b)で微分可能ならば、であるcが少なくとも1つ存在する。平均値の定理は、微分積分において最も重要な基礎定理。応用範囲の広い定理でもある。この平均値の定理を不等式の証明に利用するというのが今回の目的である。平均値の定理を不等式の証明に使う場合、1よりは、次のように変形したほうが使いやすい。f(b)−f(a)という関数の差の形が出たら、平均値の定理の利用を考える。平均値の定理を利用して、x>0のとき、次の定理を証明せよ。【解】logtは、[x+1,x]で連続、(x,x+1)で微分可能。したがって、平均値の定理より、となるcが少なくともひとつ存在する。x<c<x+1だから(解答終わり)問題2とする。0<x<aで減少関数であることを証明せよ。0<x<aでyの値の範囲を求めよ。yを微分するとx<cだからx−a<0だから、y'<0よって、yは0<x<aで減少関数である。(2)よって、また、yは減少関数だからよって、(解答終わり)(2)は胡散臭くて嫌だな・・・。すべての実数xに対して定義された関数f(x)の第2次導関数f''(x)がつねにf''(x)>0を満足するとする。このとき次の命題を証明せよ。cを定数とするとき、すべての実数xにたいしてが成立する。任意の実数p、q、rに対してが成立する。f''(x0)>0だから、x=cのとき、g(x)は最小で、g(c)=0。よって、(2)とおく。[ネコ騙し数学]平面上を動くの運動2前回に引き続き、平面上の運動に関する問題を解くことにする。x軸上を一定の速さで運動する点Pがある。y軸上の定点Aから見るとき、APの角速度はAP2に反比例することを証明せよ。【解】A(a,0)、P(x,0)、さらに、∠OAP=θとすると、これをtで微分すると、で、よって、したがって、APの角速度はAP2に反比例する。平面上を運動する点Pの座標を(x,y)とし、時間tとの間になる関係が成立するものとする。原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定であることを示せ。点Pが点(1,1)を通過してからはじめてx軸に到達するまで何秒かかるか。原点と点Pの距離はtで微分すると、よって、原点と点Pとの距離は時間に関係なく一定である。(2)よって、この運動は原点Oを中心とする等速円運動。ベクトルの終点はどのような曲線をえがくか。上の点Pの速さの最大値、最小値を求めよ。【解】(1)よって、したがって、楕円をえがく。(sin4πt=−1のとき最小)(解答終わり)(1)で行っているのは、という連立方程式を行列を使ってsin2πtとcos2πtについて解き、その後、sin22πt+cos22πt=1に代入しているだけ。1+2×2から2×2−1からと解いたほうがずっと楽。問題がベクトル的だったので、行列を使っただけです。物理的な思考法で解く数学的な思考法ではなく、物理的な思考法で、等速円運動をする加速度の大きさを求めることにする。原点を中心とする半径rの円周上を運動する動点があるとする。半径OPと半径OQのなす角度をΔθとする。作る速度ベクトルの三角形は、頂角をΔθとする等辺の大きさがvである二等辺三角形になる。大きさはΔθの大きさが十分に小さいとき、と近似できるので、1よりしたがって、加速度の大きさaはと近似される。等速円運動なので、角速度ωは一定で2に代入すると微分積分を使わずに、等速円運動の加速度の大きさを求めることができた。9で微分の知識を使っているのではないか?△OPQの面積はであり、Δθが小さいときと近似できることは図形的に明らかだから、9で微分は使っていない。速度ベクトル平面上を運動する点Pの座標x、yが時刻tの関数としてで与えられているとする。