[平面図形]左図のようなAB=CD=5cmの平行四辺形ABCDがあります。いま、辺ADの中点Mと頂点Cを結び、線分MC上の点Pと頂点Aを結びました。すると、AP=AB(=5cm)、MP=2cm、PC=4cmとなりました。このとき、平行四辺形ABCDの面積を求めて下さい。DOLPHINさん、名倉っちさん、永井暁さん、きょえぴさん、高橋道広さん、あやのりんさん、あまれっとさん、Parpunteさん、萬田銀次郎さん、他多数)△CDMを180度回転し、辺DMをAMにくっつけたものを△ECMとします。∠EMA+∠AMC=∠CDM+∠AMC=180度、より、三点E、A、BおよびE、M、Cは一直線上に並びます。△EBPにおいて、EA=AB=AP=5cmより、∠APBは直角になります。(∠EPA+∠APB=(∠PAB+∠EAP)×1/2=90度)EB=EA+AB=CD+AB=5+5=10cm、EP=EM+MP=CM+MP=6+2=8cm。従って、△EBPは辺の長さが3:4:5の直角三角形と相似。よって、BP=6cmとなります。平行四辺形ABCDの面積=△EBC=1/2×EC×BP=1/2×12×6=36cm2となります。直線BA、CMの交点をEとする方法でも、△EAM≡△CDMより上記同様に求まります。他)対角線BDと辺MCの交点をQとします。△QBCと△QDMは相似で比はBC:DM=2:1。従って、CQ:QM=2:1。よって、CQ=4cm、QM=2cmとなり、QとPは一致します。点AからBPにおろした垂線の足をHとすると、BH=HP。よって、BH=HP=PDとなります。DM:MA=DP:PHより、△DMPと△DAHは相似、よって、AH=MP×2=2×2=4cm。従って、△ABH、△APHは辺の長さが3:4:5の直角三角形。よって、BD=BH+HP+PD=3×3=9cm。平行四辺形ABCDの面積=△ABD×2=1/2×BD×AH×2=1/2×9×4×2=36cm2となります。(sugitakukunさん、中川幸一さん、アークさん、他)APの延長線とCDの交点をN、およびDPの延長線とACの交点をOとします。AM=MD、CP:PM=4:2=2:1より点Pは△ACDの重心となります。よって、DN=NC=2.5cm、PN=AP×1/2=2.5cm。従って、∠DPC=90度となります。辺DP=3cmとなります。従って、△MCD=1/2×MC×DP=1/2×6×3=9cm2。平行四辺形ABCD=△ACD×2=△MCD×4=36cm2。(有無相生さん、他)点Dを通り辺PAと平行に引いた直線と辺CMの延長線を点Qとします。QDとAPが平行でAM=MDより△QMD≡△PMA。よって、QM=PM=2cmとなります。すると、△DQCはDQ=DC=5cmの二等辺三角形で、しかも、QP=PC=4cmより、点Pは辺QCの中点、よって、DP⊥QCとなります。辺DP=3cmと分かります。以下、解答例3と同じ。