自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。u(x,t)=f(x−ct)であるとき、であることを示せ。ξ=x−ctとおき、合成関数の微分法を用いると、したがって、(解答終)したがって、fを微分可能な任意の関数とすると、u(x,t)=f(x−ct)はの(一般)解になる。f(x)=sinxとおくと、となり、これが(1)の(特殊)解になることから分かるように、(1)は波の方程式の一つである。(1)式の左辺第1項をと、時間微分に関しては前進差分を用いて近似し、(2)式の左辺の第2項をと、空間微分に関しては中心差分を用いて近似すると、(1)式はと近似することができ、これからという漸化式を得ることができる。(6)式の無次元数(物理の単位をもたない数のこと)をクーラン数という。いうことで、初期条件をさらに、c=0.2、Δx=1、Δt=1として、(1)を解いた結果は次のようになる。赤い曲線はx=1、黄色の曲線はx=2、緑はx=3、茶色はx=4におけるuの数値解の時間tにおける変化を表している。c=0.2だからx=1に高さ1の波が到達するのはt=5なのにも関わらず、t=Δt=1に既に波の一部(?)が到達しているだけでなく、t=5になっても波の高さは1にならない。波の高さは、約t=20以降、正弦曲線のような曲線を描き、振動する。x=2、x=3、x=4と下流にいけばいくほど、波の最大の高さは高くなり、より激しく振動するという、物理的にありえない、数値的に振動する解を(7)式は求めてしまう。Space)は、数値的に不安定な解法で、この解法を(1)式に用いると物理的にありえない振動解を求めてしまうということ。そこで、なぜ、FTCS法は不安定なのか、フォン・ノイマンの安定判定法を用いて調べることにする。し、(7)式に代入すると、となり、したがって、フォン・ノイマンの安定判定法によると、クーラン数に関わらず、FTCSは無条件不安定!!ということで、FTCSは微分方程式(1)の数値解を求めることに使えないことが明らかになった。そこで、(1)式の第2項の空間微分をと風上化(上流化)すると、c>0のとき、(1)はしたがって、となる。(8)式を(13)式に代入すると、よって、したがって、の時に安定になる。風上(上流)差分を用いて、c=0.2、Δx=1、Δt=1、すなわち、クーラン数C=0.2として計算した結果は、次の通り。高さ1の波の到達時刻は実際とは異なるけれど、今度は振動することなく計算できていることが分かる。下図を見ると、この波の解はでなければならないのに、風上差分を用いた(13)の数値解は、波の形が崩れていることが分かるだろう。参考までに、同一の条件でFTCSを用いて計算した結果を下図に示す。コメント(0)あなたは既にnice!を行っています。一定件数以上前のnice!は表示されませんのでご了承ください。0コメントを書くコメント投稿に失敗しました。未入力の項目があります。認証コードが一致しませんでした。半角英数字のみのコメントは受け付けできません。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。