\)に依存していることに違和感をもたれるかもしれない。\)に関心をもっているからである。\)に課されている条件は正であること以外なにもないから補題の証明は完了した。\))が混在することに注意。最初の変形で極限関数の連続性が、関数列の連続性で議論できる項と、関数列の一様収束性で議論できる項の和でおさえられることがわかり、さらに分解された各項では動的要素がひとつに限られ、議論が明解になっているのである。\)を十分小さくとれば、結局極限関数も連続であることがわかる。この直観的洞察の結晶が、最初の評価で用いた三角不等式に他ならない。\]とできることをいう。具体的な例をもとに一様収束と区別しなければならない理由を考える。\)上での一様収束極限であることは簡単に確かめられる。\)に一様収束するだろうか。\)に依存してしまっている。\)上でそうではないためである。一様収束関数列とは限らない。補題aによって次の補題bが成り立つことは直ちにわかるだろう。次に、極限と積分、また極限と微分の交換を保証してくれる補題を証明する。