自分のブログログアウトねむねこ幻想郷ネムネコ・ファミリーのために、大昔に書いたファンタジー小説を公開。数値解法2前回に引き続き、差分法を用いた熱伝導方程式の数値解法について述べることにする。この方程式の時間微分を右辺の空間微分をと近似すると、(1)式はとなる。とおくと、という3重対角行列を係数を持つ連立方程式が得られる。(1)の解をT=T(x,t)とし、初期条件を境界条件をとする。すると、初期条件より境界条件よりとなる。したがって、という連立方程式が得られ、逐次的に、3重対角行列アルゴリズム(TDMA)を用いて解くことによって、微分方程式(1)の近似解を求めることができる。このような解法を陰解法という。陰解法は、前回紹介した陽解法とは異なり、無条件安定である。もとで、Δx=1、Δt=1として解け。解かせたものは次の通り。この問題の場合、厳密解と比較すると、陰解法による近似解は厳密解よりも大きいことがわかる。前回の陽解法による結果を加え比較したものが次のグラフである。込み入っていて、少しわかりづらいと思うのだけれど、厳密解は陰解法と陽解法の間に位置している。いうことで、陰解法と陽解法によって得られた数値解を足して2で割ると厳密解に近い結果が得られることが予想できる。この予想は正しく、陽解法と陰解法の中間的な解法、クランク・ニコルソン法という解法が存在する。Δt=1、Δx=1という非常に粗い計算でありながら、クランク・ニコルソン法は、厳密解とよく一致していることが分かる。この事実をもって、陽解法や陰解法は精度が悪いと思わないで欲しい。Δt=0.1程度にとれば、陽解法、陰解法ともに良好な結果を得ることができる。陽解法はともかく、陰解法は熱や流れなどの数値計算ではよく使われている、優れた解法である。問題の初期条件を境界条件をと変え、陰解法を用いてΔt=0.5、Δx=0.4として計算した結果を以下に示す。このようにあらい格子でも、厳密解をよく再現していることが分かる。t→∞の定常解に収束することが確認できる。誤差は最大で10%くらい。Δt=0.1、Δx=0.4にすると、誤差は最大で約3%。陰解法よりより高精度な計算ができる、クランク・ニコルソン法は、次回ということで。計算に使用したFortranプログラムは次の通り。コメント(0)あなたは既にnice!を行っています。一定件数以上前のnice!は表示されませんのでご了承ください。0コメントを書くコメント投稿に失敗しました。未入力の項目があります。認証コードが一致しませんでした。半角英数字のみのコメントは受け付けできません。今,確..コメント、ありがとうございます。..Cもお願いしますベートーヴェンについて。ベートーヴェン..ルートヴィヒ・ヴァン・ベートーヴェ..コメントありがとうございます。ソネットポイントこの広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。