0<\frac{1}{n^2}\leqq\frac{1}{n}\)となります。\lim_{n\to\infty}0<\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\leqq\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\)なります。含まれていませんので。\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}\)はこれから求めるのでそのまま。は?これは先ほどの考察から\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0\)ですよね。以下であるということになるわけです。\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n^2}=0\)とできますよね。これが間接的に極限を求めるという意味です。下限と上限で挟んでしまって極限を求めることからこの方法ははさみうちの原理と呼ばれます。やりたいことは求めたい極限を求めずに、わかっている極限で挟んで間接的に極限を求めてしまおうということですね。今の例だとあまりこの原理の有用性がわからないかも知れませんが、この後に挙げる例はこの「はさみうちの原理」がないと極限が求められないものになっています。やってることは単純です。正しい不等式を作って極限を取るこれに尽きます。<例1>三角関数の極限をはさみうちの原理で考える。ここからははさみうちの原理の威力を存分に感じてもらいます。今まで全く三角関数の極限が出てこなかったのは、普通に極限をとっても求められないからです。ここで初めて溶ける問題が出てきます。問題はこちら\(\displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sin\frac{n\pi}{3}\)普通に解こうと思っても無理ですね。\cdots\)のように値が小さくなったり大きくなったりするのでした。無限大にしたときの値はよくわかりません。掛け算の値がどうなるかは簡単ではありませんね。いう時に「はさみうちの原理」が大活躍します。いえば、その計算結果には範囲がありました。