一致するものが唯一存在する。以下の位相体は局所コンパクトである。任意の体に対して、離散位相を入れた位相体は局所コンパクトになるので、この様な位相体を分類することはできないが、離散位相以外の位相を入れた位相体が局所コンパクトになるのは、かなり限定されることが知られている。そこで、以下において、位相は離散位相ではないとすると、局所コンパクト位相体は以下の様に分類することができる。連結である局所コンパクト位相体は、以下のいずれかの体と同型となる。Hさらに、これらの体の位相は、それぞれの体の絶対値で与えられる距離空間と同相である。次に連結ではない連続体は、以下のいずれかの体と同型である。有限階数の斜体さらに、これらの体の位相は、p-進体もしくは有限体上の一変数ローラン級数体上の非アルキメデス付値によって得られる距離による距離空間と同相である。以上の結果、位相体が連結であるかないかによらず、局所コンパクトな位相体は乗法付値で得られる距離の距離空間に同相であり、さらにその距離で完備となる。従って局所コンパクトな位相体は、完備な付値体である。コンパクトである離散ではない位相体は完備であったが、今度は、局所コンパクトではない位相体の完備化を考える。{\!K}}}は、一般には体にならず、たとえ体であったとしても位相体であるとは限らない。位相体であっても乗法に対して完備になるとは限らない。得られるが、これが体もしくは加法に対して完備な位相体になるとは限らない。同相であり、体ではない。{\!K}}}は乗法に対しても完備となる。{\!K}}}が位相体であれば、乗法に対しても完備となる。p-進体の部分体と同型となる。注意:この項では、例として挙げた具体的な場合を除いて、体の乗法の可換性は必ずしも仮定していない。体を可換体もしくは斜体の総称として使用している。一元集合である場合も同様)。