r[n]=nのとき-b・r[n]>(a+1)r[n+1]にn=1、b=1、a=-2を代入すると-1・1>-1・2となりこれは成り立ちますが、b=1、-a-1=1なのでb>-a-1は成り立ちません。回答ありがとうございました。引用r[n]=nのときに-b・r[n]>(a+1)r[n+1]にn=1,b=1,a=-3を代入すると-1・1>-2・2となりこれは成り立ちますが、b=1、-a-1=2なのでb≧-a-1も成り立ちません。引用ようやくわかりました。恒等式の逆の確認について質問です。整式x^100をx^2-1で割った余りを求めよ。[解答]x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+b......�@�@にx=−1,1を代入1=a+b1=-a+bよってa=0,b=1求める余りは1�@は恒等式でx=−1、1を代入したから逆にa=0,b=1のとき、�@が恒等式になるかを調べなくていいのですか。実際にQ(x)がわからないので、�@の右辺が本当にx^100になるのかを調べるのはできないと思いました。どの参考書も逆が成り立つのを書いていません。この式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。(x^100をx^2-1で割れば商と余りは必ず一つに決まるから)そしてx=-1,1を代入したときにこの式が成り立つのはa=0,b=1の場合のみですから、x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。恒等式ではありません。恒等式にならないとおかしいです。ちなみに、Q(x)は簡単に求められます。x^100=(x^100-x^98)+x^98=(x^100-x^98)+(x^98-x^96)+x^96=...=(x^100-x^98)+(x^98-x^96)+(x^96-x^94)+...+(x^2-1)+1=(x^2-1)(x^98+x^96+x^94+...+1)+1ですから、Q(x)=x^98+x^96+x^94+...+1です。この式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。(x^100をx^2-1で割れば商と余りは必ず一つに決まるから)↑なぜですか。x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。恒等式ではありません。恒等式にならないとおかしいです。この式を満たすa,bがただ一組だけ存在します。多項式の除算の商と余りも一意的に決まるからです。・まずQ(x)は98次式です。99次式以上だと(x^2-1)を掛けて101次式以上となり、98次式未満だと100次式未満になるからです。・98次の係数は(x^100の係数)÷(x^2の係数)なので1と決まります。・Q(x)-x^98に関して同じことを考えれば97次の係数は0、96次の係数は1と決まります。・同じことを2次の項まで繰り返せば、Q(x)とax+bはただ一通りに決まります。(実際に除算を行った答えは上に書いた通りです。代入すれば1=a+bかつ1=-a+bとなるからです。x^100=(x^2-1)Q(x)+1は確実に恒等式になります。その下のコメントで書いた理由からです。恒等式ではありません。恒等式とは「xに何を代入しても成り立つ式」のことです。「x=1を代入して成り立たない式」は恒等式ではありません。恒等式にならないとおかしいです。・a=0,b=1で恒等式でない・a=0,b=1以外では恒等式でない(x=-1,1のとき左辺と右辺が一致しないから)により「Q(x)がどんな式でa,bがどんな値であっても恒等式にならない」という結論になってしまいますが、これは・「x^100=(x^2-1)Q(x)+ax+bを満たすQ(x),a,bが存在する」すなわち「多項式の除算は除数が0でない限り常に可能である」と矛盾するからです。引用らすかるさんの丁寧な説明でよくわかりました。�@はxについての恒等式と考えたましたがこれで正しいですか。以下の私の解答のように考えてもいいですか。[解答]整式x^100をx^2-1で割った商をQ(x)とすると、余りは1次式だからx^100-5(x^2-1)Q(x)は1次式となる。余りをax+bとおくとx^100-5(x^2-1)Q(x)=ax+b......�@�@式は必ずxについての恒等式になる。�@はxについての恒等式である。引用x^100をx^2-1で割った商をQ(x)としたのなら、x^100-(x^2-1)Q(x)は1次式となりますがx^100-5(x^2-1)Q(x)は1次式にならないと思います。x^100-5(x^2-1)Q(x)は間違いでした。x^100-(x^2-1)Q(x)が正しいです。以下の形で正しいですか。[解答]整式x^100をx^2-1で割った商をQ(x)とすると、余りは1次式だからx^100-(x^2-1)Q(x)は1次式となる。余りをax+bとおくとx^100-(x^2-1)Q(x)=ax+b......�@�@式は必ずxについての恒等式になる。�@はxについての恒等式である。間違いではないですが、以下の3行は不要です。�@はxについての恒等式である。間違いではありませんので、書いても減点はされないと思います。上で「�@式は必ずxについての恒等式になる。最初から恒等式を立てているのですから、わざわざ断らなくても恒等式です。「よってa=0,b=1」からただちに余りは1と確定します。確かに3行は不要ですね。答えていただきありがとうございました。00:43:24以下のフォームに記事No.と投稿時のパスワードを入力すれば投稿後に記事の編集や削除が行えます。