勉強法ツイートこの記事は最終更新日から1年以上が経過しています。内容が古くなっているのでご注意ください。はじめに三角関数の勉強をしている時、「こんなに沢山の公式は覚えられない」と悩んだ経験はありませんか?三角関数は数学の中でもトップクラスに公式の数が多い単元です。中心となる「加法定理」さえ覚えておけばその場で作れる公式も多いのですが、公式になっている以上覚えておくことで役立つ場面が多いのも確かです。今回はそんな公式の1つ「半角の公式」について覚えやすい覚え方やどういった場面で使うのか、センター試験ではどんな風に役立つのかということを解説します!半角の公式とは?実は覚えるのは1つだけ!説明の前にまずは半角の公式がどういったものなのか、その公式の形を見てみましょう。「半角の公式」とは次の3つの式のことです。左辺がx/2の三角関数になっていることから「半角の公式」という名前がついています。この公式の重要なポイントとして左辺が2乗した値になっていることに注意してください。半角の公式の証明は2倍角の公式で半角の公式の証明は2倍角の公式を使って証明します。2倍角の公式は加法定理が元にあるので、半角の公式も加法定理から派生した公式だといえますね。2倍角の公式よりです。-1を移項して両辺を2で割るとが求められます。この式のxをx/2に置き換えるととなって半角の公式の1つが求められました。後の2つの式はといった三角関数の性質を用いればすぐに導くことができます。証明からも分かる通り、3つの式からなる半角の公式ですが実は「1つ覚えておくだけ」で残りの公式も芋づる式に導かれるのです!覚え方のコツなのですが、「1つ覚えておくだけでいい」半角の公式ですが、覚えるのはcosの式にしましょう。cosの式なら左辺にも右辺にも登場するのはcosです。加法定理などを覚えている時に「ここに入るのはsinだっけcosだっけ?」という風に悩んだ人は多いと思います。半角の公式はcosに絞って覚えることで、「両辺ともcosが出てくる」ということで余計な勘違いを防ぐことができます。公式の便利な使い方2つ求め方を見れば分かる通り、半角の公式は2倍角の定理さえ覚えていれば簡単な操作で導くことができます。cosの2乗について整理して、xをx/2に置き換えるだけです。それではなぜわざわざ半角の公式として覚えておく必要があるのでしょうか?2倍角の公式を覚えておくだけではいけない理由はどこにあるのでしょうか。確かに半角の公式は2倍角の公式とほぼ同じことをいっていますが、「2倍角の公式では見えない視点を与えてくれる」公式なのです。実際に半角の公式を使う場面は大きく分けて2つあります。1sin15°やcos75°など有名角の半分の大きさの三角関数の値を求めるとき2三角関数の高次方程式や不等式の次数を下げるとき具体例を見てみましょう。1三角関数の値を求める今回はわかりやすく一番シンプルな例を使って説明します。15=30/2であることに注目して半角の公式を使います。sin15°>0なので、両辺の√を取ると二重根号を外して整理するとこのようになります。一見すると求められないsin15°のような値も半角の公式を使うことで求めることができます。2次数を下げる両辺の√を取って次数を下げようと思っても右辺が2重根号になって上手く行きません。半角の公式を使うときれいに次数を下げることができます。このように半角の公式を使うとcos2xの1次式にすることができました。あとは0<2x<πという2xの範囲に注意して解けば解答が求まります。今回は説明のために簡単な方程式を用いましたが、4次の不等式の次数を下げて2次不等式にして解くなど様々な形で応用することができます。「三角関数の次数を下げようと思ったらまず半角公式」と思いつけるようにしておくと解ける問題が増えると思います。半角の公式が公式になっている理由はこういった「有名角の半分の大きさの角度を求める」とか「次数を下げる」問題が数多く出題されるからです。した時2倍角の公式だけを覚えていたら、それを変形させて解くという発想はなかなかできません。半角の公式の存在が頭に入っていることで「半角の公式を使えば良いんだ!」と気付き解くことができるのです。半角の公式の実際の問題での応用さて、半角の公式ですが実際にどういった場面で使うのか問題を見てみましょう。sin15°を求めよ、と言われることは少ないですが、次の問題のような形で最終的にsin15°を求める場合があります。正24角形の面積を求める上の図のような正24角形の面積を求めるのに、半角の公式が役立ちます。正24角形は1つの角が15°、2辺の長さが1の二等辺三角形が24個集まってできています。この三角形の面積を求めることができれば正24角形の面積も求まります。これを使うと、上の三角形の面積はsinを用いて次のように表せます。半角の公式を使ってよって正24角形の面積はとなります。このように、図形の面積を求めるときに半角の公式を使わないと解けない場面が多々あります。この正24角形の面積の値を計算すると3.1058...という値になります。この正24角形は半径1の円(面積はπ)に内接しているので、π>3.1058を示しているともいえます。三角関数の計算から、円周率πの評価まですることができるのです!(円周率が◯◯より大きいことを示せ、という問題は東京大学など大学入試で出題されたことがあります!)最後に半角の公式の実際の使いみちが幾つか想像できたのではないでしょうか?たしかに三角関数は公式がたくさんあります。1個1個全部覚えるのは面倒です。問題を通してそれらの公式が公式になっている理由を実感することでやる気を出して勉強していけると思います。あなたの勉強を後押しします。平方根(ルート)の計算や問題の解き方を完璧に理解しよう!中学数学のヤマ場の1つである「平方根(ルート)」。りほ因数分解のやり方・公式と解き方のコツ教えます!高校レベルまで対応!因数分解とは、「足し算・引き算で表されている数式をかけ算の形に変形する」ことです。数学の色んな場面で出てきます。そんな因数分解には、公式だけでなく早く計算できる解き方があります。二次方程式は「1解の公式2因数分解3√」による解き方で解きます。本記事では「二次方程式とは何か」という説明から、3つの解き方の使い分けまでを解説します。数列の単元や数学3の積分計算でとてもお世話になる、大切な式変形なんです。中学数学の中でも、図形問題はなかなか難しいものの1つです。進路を決める大学を探す。