形で解く方法を解説しました。連立方程式を解くために明示的に逆行列を求める必要はありません。\boldsymbol{b}=\begin{bmatrix}9\\3\end{bmatrix}\tag{1}\]とおいて、\[\begin{bmatrix}4&1\\2&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}9\\3\end{bmatrix}\tag{2}\]という連立方程式を考えます。\boldsymbol{b}]=\begin{bmatrix}4&1&9\\2&-1&3\end{bmatrix}\tag{3}\]という行列をつくります。これを拡大係数行列または拡大行列とよびます。変数を消去していく手法と本質的に同じものです。対して・ある行に別の行の定数倍を加える・ある行全体を定数倍する・ある行と別の行を交換するを繰り返して最終的には\[\begin{bmatrix}1&0&\alpha\\0&1&\beta\end{bmatrix}\tag{4}\]という形を作り出します。行列形式の方程式で表すと\[\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\alpha\\\beta\end{bmatrix}\tag{5}\]となります。それでは実際に拡大行列\[\begin{bmatrix}4&1&9\\2&-1&3\end{bmatrix}\tag{7}\]を操作して連立方程式を解いてみましょう。倍\[\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&1\end{bmatrix}\tag{11}\]左側の正方行列の部分は単位行列となりました。