a、b、cを正の定数とし、xの関数f(x)=xの3乗+a・xの2乗+b・x+cを考える。定数は全て実数とする。(1)定数p、qに対して次を満たす定数rが存在することを示せ。x≧1ならば、│p・x+q│≦r・x(2)恒等式(α-β)(αの2乗+α・β+βの2乗)を用いて、次を満たす定数k、lが存在することを示せ。x≧1ならば、│{f(x)}の1/3乗-x-k│≦l/x(3)全ての自然数nに対して、{f(n)}の1/3乗が自然数であるとする。このとき関数f(x)は自然数の定数mを用いてf(x)=(x+m)の3乗と表されることを示せ。(1)はr=│p│+│q│とおいたら合ってました。(2)も一応合ってました。恒等式をα-β=(αの3乗-βの3乗)/(αの2乗+α・β+βの2乗)として、α={f(x)}の1/3乗、β=x+kとおき、右辺の分子=(a-3k)・xの2乗+(b-3kの2乗)・x+c-3kの3乗であり、k=a/3とすれば、(1)より│(b-aの2乗/3)x+c-aの3乗/27│≦l・xと書けます。右辺の分母はx≧1、a>0、b>0、c>0から、3xの2乗+sx+t(s>0、t>0)と書けますので、これはxなの2乗より大きいので、以上より│α-β│<l/xです。ここでよくわからないのですが、右辺の分母の評価の仕方から不等号に等号は入らないように思えます。して等号が入ってるのでしょうか?(3)は×でした。(2)より│{f(n)}の1/3乗-n-k│≦l/nですが、n→∞のとき、l/n→0ですので、このとき{f(n)}の1/3乗=n+kであり、{f(n)}の1/3乗、nは自然数ですので、kも自然数です。よってf(x)=(x+m)の3乗と書ける、とまとめたのですが、この部分は0点でした。この解答ではだめなのでしょうか?正しくはどのようにすればよいでしょうか?よろしくお願いします。ここでよくわからないのですが、右辺の分母の評価の仕方から不等号に等号は入らないように思えます。なるような定数k、Lが存在する」としてもまちがいではないです。回答ありがとうございます。