大学入試など受験勉強に役立つかも!?面白い良問から難問までまとめた、解いてすっきりできる問題集です。学生時代を思い出して挑戦してみよう!もし問題が解けたらコメントください。ときどき問題を追加する予定です♪あと最近はタイトルに反して高校数学だけでなく、算数や中学数学、パズルっぽい問題も増えてきました(笑)問18素数の問題<コメント>倍数判定法をまとめている途中ですが、あまり関係のない問題を載せてしまいます!この問題を作成した時点ではそれなりの難問の予定でしたが、案外あっさりと解けるような気がしてきました。ちなみに、コメントのやりとりもしっかりヒントにさせていただきました。このサイトはほんとに勉強になりますね。他の問題も頑張ります。先ほどは問86でお情けをいただきまして、ありがとうございます。治らない、計算ミス癖です。問題の式が因数分解できるとは(笑)。これ以外の方法が思いつきません。一応、見かけだけ違うというか、あまり知られてなさそうな定理を用いた方法を最後に載せました(見かけだけで、中身は因数分解です)。P=(n-2)^2×(n^2-8)+12とする。Pを因数分解することを考える。よってPが素数ならm^2-2m+2=1かつm^2+6m+6が素数、またはその逆である。m^2-2m+2=1なら(m-1)^2=0だからm=1なので、m^2+6m+6=13。よって、n=m+2=3でP=1×13=13が素数。m^2+6m+6=1なら(m+1)(m+5)=0。m=-1,-5だが、m=-5はn=-3でNG(P=37×1=37で素数にはなる)。m=-1ならn=1でm^2-2m+2=5。よって、n=1でP=5×1=5が素数。以上から、Pが素数になるのはn=1でP=5、及びn=3でP=13の場合のみ。表せる、という定理がある。そこで、Pがこの形式で書けるかどうかを考える。実はこの条件は、P=ak+k(k-1)=k(k+a-1)と2つの約数の積に分解し、約数kが1になるかどうかで合成数かどうかを判定する、つまり、上記の因数分解のケースと同じことになる。一応解いてみると、n<2、つまりn=1のとき、k=n^2+2n-2(=1)でP=k[k+(13-8n)-1]=1×5=5。k=1だから合成数ではない、つまり素数。n>1のときは、k=n^2-6n+10でP=k[k+(8n-11)-1]。n=3でk=1となりP=1×13という素数が得られるが、それ以外のn>1ではk≠1でPは合成数。(*******)(*******)=pの形でないとこの方法も意味がないというのは気付いていたんですがどうも問題の4次式が因数分解が出来ず。そんなこんなで4日も考えててやっと先ほど因数分解が出来て解けました。何度か立てたのですが、さすがに解けるわけないと諦めていました。この6次方程式も簡単に解けたのでしょうけど...。変形出来ることが分かりました。2パターンの場合わけとそれに対応する解が出ました。いうことで取り得る素数は、5,13(,37)でした。記事もいろんなところで書いています。