与えられた円に等辺で等角な五角形を内接させること。ἐγγράψαι.与えられた円に等辺で等角な五角形を内接させること。ABCDEを与えられた円とする。円ABCDEに等辺で等角な五角形を内接させることが求められている。点GとHにおける角がそれぞれ点Fにおける角の二倍であるような二等辺三角形FGHを描く[命題IV-10]。三角形ACDを、FGHに等角で、CADが角Fに、ACDとCDAが角GとHにそれぞれ等しくなるように円ABCDEに内接させる[命題IV-2]。ACDとCDAはそれぞれCADの二倍である。ACDとCDAを直線CEとDBによりそれぞれ二等分する[命題I-9]。AB、BC、DE、EAを結ぶ。ACDとCDAはそれぞれCADの二倍で、直線CEとDBによりそれぞれ二等分されているから、五つの角DAC、ACE、ECD、CDB、BADは互いに等しい。等しい円周角は等しい弧の上に立つから[命題III-26]、弦AB、BC、CD、DE、EAは互いに等しい[命題III-29]。したがって、五角形ABCDEは等辺である。これは等角であると主張する。弧ABは弧DEに等しいから、両方に弧BCDを加えると、弧ABCDは弧EDCBに等しい。角AEDは弧ABCDの上に立ち、角BAEは弧EDCBの上に立つ。したがって、角BAEは角AEDに等しい[命題III-27]。同じ理由で、角ABC、BCD、CDEの各々は角BAEと角AEDの各々に等しい。よって、五角形ABCDEは等角である。ゆえに、与えられた円に等辺で等角な五角形を内接させることができた。これが求められていたことであった。