大学入試など受験勉強に役立つかも!?面白い良問から難問までまとめた、解いてすっきりできる問題集です。学生時代を思い出して挑戦してみよう!もし問題が解けたらコメントください。ときどき問題を追加する予定です♪あと最近はタイトルに反して高校数学だけでなく、算数や中学数学、パズルっぽい問題も増えてきました(笑)問11計算問題<コメント>様々なカテゴリを組み合わせた問題です。答えはすっきりシンプルになります。これも計算問題で、捻りようもなさそうですが。問題の式をP=lim(n→∞)∫(0~1)[∑(k=1~n)x^k/k]dxとおく。limの(n→∞)はnを∞としたときの極限値を、∫の(0~1)は積分区間が(0,1)であることを、∑の(k=1~n)はkを1~nで変化させたときの和であることを示す。普通に解くとこんな感じでしょうかね。∫(0~1)x^k/kdx=[1/k/(k+1)×x^(k+1)](0~1)=1/[k(k+1)]=1/k-1/(k+1)なので、P=lim(n→∞)∑(k=1~n)[1/k-1/(k+1)]=lim(n→∞)[1/1-1/2+1/2-1/3+・・・+1/n-1/(n+1)]=lim(n→∞)[1-1/(n+1)]=1。f(0)/dx^k=(k-1)!となる関数f(x)のテイラー展開ともとれる。テイラー展開の係数が符号交替しない、階乗が出てこない、0~1の範囲で収束するとなると、思いつくのは1/(a-x)(aは定数)、あるいはその導関数か原始関数あたり。題意を満たすように適当に修正すると、f(x)=log(1-x)が候補に挙がる。f(0)/dx^k=(k-1)!。よって、f(x)=-log(1-x)=∑(k=1~∞)(k-1)!×x^k/k!=∑(k=0~∞)x^k/k。ここでロピタルの定理により、lim(t→0)tlogt=lim(t→0)[logt×{t^(-1)}^(-1)]=lim(t→0)[t^(-1)×{-t^(-2)}^(-1)]=lim(t→0)t=0なので、[t-tlogt](0~1)=1。P=lim(n→∞)∫(0~1)[∑(k=1~n)x^k/k]dx=1。ここで[F(x)](a~b)=F(b)-F(a)。真面目に書くと、思ったより面倒でした。これでも-log(1-x)を天下り的に持ってきたんですけど(その代わりテイラー展開がPの級数になることを示した)。テイラー展開やロピタルの定理って、高校生でしたよね?こんにちは。テイラー展開を使った解答ですか!関数を見つけるのが面倒になりますが、斬新な方法ですね☆ちなみにテイラー展開とロピタルの定理は、どちらも大学の一年目に初めて習ったことを覚えています。私は高校で習った覚えがあったので。なんにしろ、これはいけませんでしたね。関数の候補も知ってるかどうかで、だいぶ違いますし。知ってても、ロピタルの定理を知らないと積分ができませんし。世代か高校によるかは分かりませんが、少なくとも大学入試では使わないと思いますね。ロピタルの定理としてではなく、sinx/xが1になることだけは全員高校で習っていますね。余りにも味気ないので積分と級数の順序を入れ替えてみました。順序入れ替えてもあっさりのつもりが、順序を入れ替えたら異常にカオスになってしまいました(^^;入れ替えるならやりにくい定積分を何とかして「サンドイッチ」に持ち込まないとどうしようもないみたいですね。何とかやりました感バリバリでかなり端折っていますが、別解にできませんでしょうか?もし可能なら皆さんの意見も募りたいです。出したら面白いことに・・・大学でも定期試験には使えそうですね。記事もいろんなところで書いています。