いうのが二項関係の最も一般的な定義ですが、こんな一般的なことは結構どうでもいいです。実際によく使われる2種類の二項関係を押さえておけば大体OKです。それが順序と同値関係です。同値関係は次回やるとして、今回は順序について見ていきましょう。順序というのは、その名の通り順序を表す関係を一般的に定義したものです。順序というものが満たすべき性質をまとめて定義としています。順序(あるいは順序関係)であるとは、次を満たすことを言う。順序が定義された集合のことを順序集合という。上記3つの条件に加えて次を満たすとき、全順序という。全順序が定義された集合のことを全順序集合という。全順序でない順序を半順序とも言う。考えてみると、順序の典型例となっています。(自分で確かめてみて下さい。当たり前のことを言っています)いくつか例を見ていきましょう。よって順序集合となります。通常の大小関係というものを定めることができないため、このやり方では順序集合にはできません。全順序を入れるためには、例えば次のような辞書式順序を考えます。この種の順序は、あたかも辞書を引くかのように手前から順序を参照しているので、辞書式順序と言われています。実際にこれが全順序であることを、一つ一つの定義に立ち戻って示してみましょう。上の辞書式順序の定義より、です。成り立っているとします。すると、上の辞書式順序の定義から、が成り立ちます。ここから、を示せば、上の辞書式順序の定義から、が言えます。論理式の演算を行います。その5を参考)多少見やすくするために、で表すと、は、と書けます。ここから、を代入して、したがって、推移律は成立します。成り立っているとします。すると、上の辞書式順序の定義から、が成り立ちます。ここから、を示しましょう。見やすくするために、とします。すると、は、と書けます。成り立つので、示されました。成り立つことを示します。論理式の変形を行い、示すべき命題を同値変形で簡単にしていきましょう。すると、はと書けます。常に成り立つことから、この式は常に成り立ちます。よって、示されました。全順序の入れ方は一つとは限りません。複素数平面上からの距離の大小で順序付けすると、これは全順序となります。実数の大小関係が全順序であることから、この順序が全順序であることが従います。条件2は満たさないということが知られています。