大学入試など受験勉強に役立つかも!?面白い良問から難問までまとめた、解いてすっきりできる問題集です。学生時代を思い出して挑戦してみよう!もし問題が解けたらコメントください。ときどき問題を追加する予定です♪あと最近はタイトルに反して高校数学だけでなく、算数や中学数学、パズルっぽい問題も増えてきました(笑)問33最小値を求める問題<コメント>前回の問題と数字の並びが良く似ていますが、全く解き方が違う別の問題です。どちらの問題も計算しやすい数字を選んだら、奇跡的によく一致しました。<追加コメント1>今回必要なのはひらめきのみで、計算はすぐ終わる問題です。ヒント1:高校数学では必須の関係式を使います☆<追加コメント2>数学的に解く以外に、a,b,cに分数も含めていろいろな数字を入れてみて、できるだけ小さくなる値を探す方法もあるかもしれませんね。大部分の問題は完全なオリジナル問題ですが、アイデアがつきてきたときには数学オリンピックや大学入試の良問などの解き方を参考にして作成しているものもあります☆(今回はちょっと似すぎてしまいましたが。)数字などの内容や解き方は違いますが、問32も数学オリンピックのある問題を参考にしました。回答a3b4b-1ですか?初めての投稿です。再チャレンジa4b2c0答え32どだ!!気になって寝れない。::編集たみひかのろさんう〜ん、何か違いますね。c=6/7を最初の式に代入すると、最小値は12ではなく30以上になりますし、a+b+c=6という条件があっても最小値は30以下にすることもできますよ。した解法、思いついたらまたアップします。頭使ってなくてすみません。グラフソフトで描画して確認してみたら、最小値っぽかったので、合ってそうです。答えはa=4,b=3/2,c=1/2で、最小値28。最初は相加平均と相乗平均の関係式を使おうと思ったんですが。拘束条件があっても使えないと考え直しまして(3変数なのに関係式と拘束条件の2方程式しか出てこないので)。結局微分で極値を求めるという、オーソドックスな方法に落ち着きました。多変数の極値は注意が必要ですね。X=2^a+4^b+16^c=2^a+2^(2b)+2^(4c)と置く。a=6-b-cを代入してX=2^(6-b-c)+2^(2b)+2^(4c)。∂X/∂b=-2^(6-b-c)×log2+2×2^(2b)×log2=0、つまりA)-2^(6-b-c)+2^(2b+1)=0。∂X/∂c=-2^(6-b-c)×log2+4×2^(4c)×log2=0、つまりB)-2^(6-b-c)+2^(4c+2)=0。A-B=2^(2b+1)-2^(4c+2)=0なので、b=2c+1/2。-3c+11/2=4c+2だからc=1/2。よって、b=1+1/2=3/2,a=6-b-c=6-3/2-1/2=4。X=2^4+2^(3/2*2)+2^(4*1/2)=16+8+4=28。最小値の条件∂^2X/∂b^2>0,∂^2X/∂c^2>0の確認をしておく。∂^2X/∂b^2=2^(6-b-c)×log2+2×2^(2b+1)×log2=[2^(6-b-c)+2^(2b+2)]log2>0。∂^2X/∂c^2>0=2^(6-b-c)×log2+4×2^(4c+2)×log2=[2^(6-b-c)+2^(4c+6)]log2>0。上記のa,b,cは最小値を与える。ちなみに、任意の正の実数A,B,Cについて、相加平均と相乗平均の関係A+B+C>=3(ABC)^(1/3)、等号はA=B=Cで成立、を適用しようとすると。A=2^a,B=2^(2b),C=2^(4c)として、A=B=Cは2^a=2^(2b)=2^(4c)だから、a=2b=4c。b=a/2,c=a/4。a+b+c=6に代入して、a+a/2+a/4=7a/4=6だから、a=24/7,b=12/7,c=6/7。=3×2^(24/7)~32.3>28。上で求めた最小値28より大きい値になる。一見したところa=24/7で解けているようなので、恐い。∂Y/∂b=2^[(6+b+3c)/3]log2>0、∂Y/∂c=3×2^[(6+b+3c)/3]log2>0となり、この条件では相乗平均には最小値が存在しない。1つ拘束条件が必要である。相加平均と相乗平均の関係が必ずしも最小値を与えないことに注意。シンプルに、P=2^p,Q=2^q,p+aq=dの場合、X=Yはp=qのときで、p+ap=dだからp=q=d/(a+1)。Y=P+Q=2(PQ)^(1/2)=2^[d/(1+a)+1]。d,aが既知であれば右辺は定数となり最小値を与えるが(x,yの2変数に2つの条件式で確定する)、一方でも未知だと拘束条件が足りなくなる。偏微分を使った解答ですか☆偏微分は高校では習いませんが、ほかの方からも偏微分の解答が送られてきました。このタイプの問題では、高校以上では偏微分がオーソドックスな方法かもしれませんね!相加相乗平均の関係を使っても28を導けますよ♪この場合、等号成立の条件は使いません。こちらもshah-sanさんと同じ解答が以前送られていて32.3になっていました。間違いですね!そもそも等号成立の条件を使って、不等式や最小値を出してはいけなかったと思います。等号成立の条件は基本的には解き終わったあとに、等号が本当に成立するか確認するときに計算するだけだったような気がしますね。3文字の相加相乗平均を使おうとすると文字が消えないので危うく騙されることになりますね。ここで、相加相乗平均の関係を用いたいのですが、積の部分には変数を残してはいけないのでちょっと工夫をします。