function)とは、冪乗における指数を変数として、その定義域を主に実数の全体へ拡張して定義される関数の一種で、対数関数の逆関数である。原点x=0の周りで、m回微分する。f(0)=1f'(0)=nf''(0)=n・(n-1)f'''(0)=n・(n-1)・(n-2)f(m)(0)=n・(n-1)・(n-2)・・・(n-m+1)=n!/(n-m)!n次元の多項式であるので、次式で表わされると仮定する。・・・・an・x^n上式をm回微分した係数と元の式をm回微分した係数が一致するようにamを決める。:n個からm個選ぶ場合の数ゆえに、次の2項定理が成立する。数え始める)した三角形をパスカルの三角形と呼ぶ。†ネイピア数は、定義より、上式のxに1/nを代入して、n-->無限大にしたものである。そこで、m番目の項だけ、考える。1+1+1/2!+1/3!+1/4!+・・・・ネイピア数は無限級数で表わされる。指数関数の場合も、上と同様に、f(x)=(1+x)^nのxにx/nを代入して、nを無限大に近づけることで求められる。1+x+x^2/2!+x^3/3!+x^4/4!+・・・・これは、指数関数のマクローリン展開と同じ結果を与える。微分を使わなくても、この展開式がえられる。微分は指数関数e^xとなることの証明。eの定義からeになる。微分性質より、これをマクローリン展開すると、http://upload.wikimedia.org/math/b/5/8/b588258fb20dfcc5b1c6cda050222522.pngとなることから、定義域を、任意の実数から、複素数全体へと拡張することが出来る。書き、複素指数関数と呼ぶ。乗じたものに他ならない。†この公式は、全く起源の異なる指数関数と三角関数が複素数の世界では密接に結びついていることを示していると見ることができる。対応していることが分かる。http://upload.wikimedia.org/math/9/4/f/94fa1f0222f3926261892f575ddb9da7.pnghttp://upload.wikimedia.org/math/4/0/b/40b8ead57403bf720ae36308356ab5fd.pngと置き換えることで、初等関数は全て指数関数の一部であるとみなすこともできる。