位相空間という概念を定義していませんが、ここでは距離が定義されていることと考えてかまいません。命題3.5.2.7一般線形群とその部分群は位相群である。次に位相空間の連結性を定義しますが、ここでは弧状連結性として定義します。多様体上では連結性と弧状連結性が一致することがわかっており、ここで論じている線形Lie群も多様体です。path-connectedであるという。Yが連続写像ならば、f(X)も弧状連結である。命題3.5.2.14X,Yが位相空間であるとき、次が成り立つ。平面上において、一点だけからなる集合は弧状連結ですが、二点以上の有限集合は弧状連結ではありません。一般線形群の中で鏡映群Ref(2)は弧状連結ではありません。θは全単射になるので、SO(2)は弧状連結です。ユークリッド幾何における運動とは、平面上の図形を合同変換によって連続的に動かすことをいいます。言い換えれば、運動とは合同変換群の単位元からの道のことです。groupは合同変換群の単位元を含む弧状連結成分に他なりません。平面に付随するベクトル空間の回転群を次のようにおきます。SO(2)運動群の原点の固定部分群は回転群SO(V2)に一致します。平面における運動群Motion(E)は、平行移動群Trans(E)に内部自己同型によって回転群SO(V2)を作用させた半直積に同型である。