内積∑(i=1~n)a[i]b[i]=0を示すのが、普通に考える方法でしょうか(∑(i=1~n)の(・・)はi=1~nの和であることを示す)。∑(i=1~n)a[i]b[i]=∑(i=1~n)(i-3)(i-8)=0となるnを求める。n(n+1)(n-16)/3+24n=n/3×[(n+1)(n-16)+72]=n/3×(n^2-15n+56)=n(n-7)(n-8)/3=0。n>0と仮定すると、n=7,8。よって、ベクトルaとbは7次元または8次元ベクトル。多次元ベクトルでも成立する三平方の定理で計算。|b-a|^2=∑(i=1~n)|b[i]-a[i]|^2=∑(i=1~n)[i-8-(i-3)]^2=25n。|a|^2=∑(i=1~n)(i-3)^2=∑(i=1~n)(i^2-6i+9)=n(n+1)(2n+1)/6-3n(n+1)+9n。|b|^2=∑(i=1~n)(i-8)^2=∑(i=1~n)(i^2-16i+64)=n(n+1)(2n+1)/6-8n(n+1)+64n。|a|^2+|b|^2-|b-a|^2=n(n+1)(2n+1)/3-11n(n+1)+48n=n(n+1)/3×(2n-32)+48n=2n(n-7)(n-8)/3=0。n>0と仮定すると、n=7,8。よって、ベクトルaとbは7次元または8次元ベクトル。今回はa,bが単純なので、どちらで解いても差は出てないです。三平方の定理というと直交の条件下で使うイメージがありますが、当然直交判定の条件にも使えます(頭の引き出しの角にでも転がしとけばいいかな)。いえば7次元は外積が定義できる最大の次元だそうですね(15次元でも定義が出来るかも知れないけど、構造が難しくまともに計算できないそうです)。正解です♪外積の場合には、次元に上限があるとは知りませんでした!限界があるというのもちょっと不思議ですが。記事もいろんなところで書いています。