等を挙げることができる。無限次元の場合には、正規直交基底は線型代数学でいう意味での基底にはならない(これを区別する意味で後者をハメル基底とも呼ぶ)。基底ベクトルの張る部分空間が全空間において稠密であるということから、空間の各ベクトルが基底ベクトルの無限線型和として書けることが従う。直交性からはそのような和としての表示の一意性が従う。}を満たすもの全体からなる集合(に、項ごとの和、スカラー倍、標準内積を入れたもの)である。\end{aligned}}}が存在する。\right.\right\}}で定義される。有限部分空間すべてに亘って取る)。{y(b)}}}と内積を定めれば、この空間は実際にヒルベルト空間となる。でない項が高々可算個しかないから意味を持ち、またコーシー・シュヴァルツの不等式によって無条件収束であることがわかる。添字付けられた族によって与えられる。