各元と直交することを意味する。=\|u\|^{2}+\|v\|^{2}}が成り立つ。+\|u_{n}\|^{2}}が成り立つ。三平方の定理の主張は任意の内積空間で有効であるにも拘らず、この等式を級数(無限和)に対して拡張するには完備性を課さねばならない。}\|u_{k}\|^{2}}が満たされることである。言えば、互いに直交するベクトルからなる級数の和は、それらのベクトルの和をとる順番に依らずに定まる。なることを示すものである。言葉で書けば、対角線の平方和は任意の隣り合う二辺の平方和の二倍に等しい。\|u+v\|^{2}+\|u-v\|^{2}=2(\|u\|^{2}+\|v\|^{2})}も成立する。逆に中線定理が成り立つような任意のバナッハ空間はヒルベルト空間になり、その内積は極化恒等式(英語版)によってノルムから一意的に定まる[43]。{1}{4}}(\|u+v\|^{2}-\|u-v\|^{2}+i\|u+iv\|^{2}-i\|u-iv\|^{2})}で与えられる。中線定理は、任意のヒルベルト空間が一様凸バナッハ空間(英語版)となることを示している[44]。一つ存在する[45]。ノルムが最小となる点が存在するとも言い換えられる。内の点に収束するが、それがノルム最小であることを示すことで証明できる。一般に、一様凸バナッハ空間でこのことは成り立つ[46]。F}によって特徴付けることができる[47]。上への直交射影に他ならない。この結果は、最小自乗法の基礎を成すもので、応用数学、特に数値解析において有意である。よって生成されるかを見るのに有効な判定法が得られる。あるとき(かつそのときに限る)である。その係数体への連続な線型写像全体の成す空間のことをいう。(x)|}で定義される自然なノルムが入る。このノルムは中線定理を満足するので、この双対空間もまた内積空間になる。これは完備であり、従ってそれ自身ヒルベルト空間を定める。リースの表現定理は、この双対空間の簡便な記述を与えてくれる。反線型写像(英語版)になる。リースの表現定理はこの写像が反線型同型であるというのである[48]。