以下のガウスの発散定理は、マクスウェル方程式の微分型「ガウスの法則」を導出するときに使われる。「面積分(左辺)と体積積分(右辺)をつなげる」ということである。ここではわかりやすく証明していこうと思う。発散はベクトルとベクトルの内積で表される。したがって発散はスカラー量である。復習すると定義は以下のようになる。イメージは湧き出しである。ある考えている点から「どのくらいのベクトル量が流れ出ているか」を調べる。この値がマイナスであればベクトルの流入を表す。あれば、電気力線が湧き出していることを意味する。あれば、電気力線が吸い込まれていることを意味する。蛇口から流れ出る水と排水口に吸い込まれる水のようなイメージを持てば良い。これは電気力線のようなイメージで考えてもらっても良い。証明の流れ証明は以下の考え方で進める。考えている領域を細かく区切る(微小領域)立方体の「微小領域」の6面のうち平行な2面について流出を調べる残りの2組の2面についても同様に調べる「微小領域」を足し合わせて、もとの領域に戻すこのように、「細かく区切って、微小領域内で発散を調べて、足し合わせる」(積分)ことで証明を進めていく。図に示したような任意の領域を考える。細かく区切るこの領域を立方体に「みじん切り」にする。絵では有限の大きさで区切っているが、無限に細かく切れば「端」も綺麗にくぎれる。区切ったうち、1つの立方体について考えてみる。向きはすべて「外向き」としよう。最終的な結果にそれは含まれる(符号は後からついてくる)。方向のベクトルの大きさ)である。考えている面でそれぞれの値は変わらないとする。したがって、の形をつくるのがコツである。用いて1次の項までとった。微小量なので無視できる。初学者のためのポイント「ガウスの発散定理」の証明に限らず、微小領域を用いて何か定理や式を証明する場合には、関数をテイラー展開することが多い。したがって、微分積分はしっかりやっておく。立方体の微小体積を表す。左辺は立方体の各面からの流出(マイナスなら流入)を表している。「微小領域」を足し合わせるみじん切りにした領域(立方体)を集めて元の領域に戻す。つけて足し合わせよう。方向に流出する電場の大きさを表す。