線型性を回復するためである。その双対空間への反線型同型は実際には線型同型になるから、実ヒルベルト空間はその双対空間と自然に同型になる。得るには以下のようにする。(v)}}\,v}を満たすようにする。物理学ではお馴染みのブラ・ケット記法で大いに活用されている。作用したものと見ることができる。リースの表現定理は内積の存在に関して基本的であるばかりでなく、双対空間の完備性に関しても基本的である。事実、定理からは任意の内積空間の位相的双対がもとの空間の完備化と同一視できることが導かれる。その二重双対空間への自然な写像が同型となることも挙げられる。}をみたすことをいう。弱収束することが、ベッセルの不等式から従う。一様有界性原理(英語版)により有界である。上の連続関数に対してボルツァーノ・ヴァイエルシュトラスの定理を用いるのと同じやり方で、連続凸関数に対する最小値定理の証明に用いられる。この事実(とその種々の一般化)は変分法における直接法の基礎を成している。回帰性により弱コンパクトになるという事実からも直接的に得られる。弱収束部分列の存在性は、エーベルライン・スムリアンの定理(英語版)の特別の場合である。バナッハ空間の性質[編集]バナッハ空間が一般に持つ性質はヒルベルト空間においても成立する。開写像定理の主張は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続かつ全射な線型写像は、開集合を開集合に写すという意味で開写像である」ことをいい、その系としての有界逆写像定理は「バナッハ空間からバナッハ空間への連続全単射な線型写像は(逆写像も連続であるような連続線型写像の意味で)同型である」ことを主張する。ヒルベルト空間版のこの定理の証明は、一般のバナッハ空間でやるよりも随分と簡単になる[51]。開写像定理は閉グラフ定理と同値である。後者は「バナッハ空間からバナッハ空間への線型写像が連続となるための必要十分条件がそのグラフが閉集合となることである」ことを主張するものである[52]。ヒルベルト空間の場合には、これが非有界作用素の研究において基本になる(閉作用素参照)。(幾何学的な)ハーン・バナッハの定理は、閉凸集合をその外にある任意の点からヒルベルト空間の超平面によって分割できることを示すものである。これは最適近似性から直ちに得られる。垂直で、その中点を通る平面が求める分割超平面である[53]。有界集合を有界集合へ写すという意味で「有界」である。逆に、有界な線型作用素は連続になる。1\}}が定義される。写す写像は線型かつ連続である。}の形で表現可能である。あることが確かめられる。満たすとき自己随伴作用素もしくはエルミート作用素と呼ばれる。