受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。2010年度理系甲乙共通の問題さあ今日もどてらしていこか。意味わからんこと言いだしか。京都大学2010年度理系甲乙共通の三角関数の問題[問題]xを正の実数とする。座標平面上の3点A(0,1),B(0,2),P(x,x)をとり,△APBを考える。xの値が変化するとき∠APBの最大値を求めよ。[解答と解説]もうこれはベクトルの内積やろ。PA→=(-,1-x)PB→=(-x,2-x)やからcosθ=PA→・PB→/|PA→||PB→|=(2x^2-3x+2)/(√(2x^2-2x+1)√(2x^2-4x+4))これをxで積分して...ぐうるえ~!!って意味わからんことになります。何のキャラクターで、何を意図として、何が起こってるのかさえわかりません。この問題は簡単な類の問題やけど、やっぱりこの辺に京大らしいやらしさがあるねんな。○頑張るんじゃなくて、やり方をかえてみるってところをポイントになります。そこで京大の問題でよく使う思考の方法として○アニメーションさせて類推するです。いうことかと言うとy=xの直線とA,Bをとって、点Pをy=x上をx>0で動かしてみます。Oの方から動かしていくと、どうも∠BAPが直角の時に∠BAPが最大になるような気がするやろ。これをどう証明するかやねん。そこでこれもまたよく京大の問題で使う論理やけど次の最大値や最小値の求め方を意識して使ってください。○大小関係の意味としての不等式を作る○等号成立を言えば最大値や最小値が言えるです。相加平均相乗平均って不等式の証明やのに、最小値とか出すのに使ったりしますやん。x+1/x≧2√(x(1/x))=2と言う不等式がなりたっていて、等号成立はx=1/x⇔x^2=1⇔x=1だから、x+1/xは2以上x=1でx+1/xは2をとるつまりx=1で最小値2をとるって言えるねん。この最小値や最大値の求め方を覚えてほしい。この問題に使うとすると、∠APBが最小になりそうなところはBPがy=xと垂直になるから最小になっていて√2sin∠BAPも∠BAPが90°だから1で最大になります。なんかこの辺を上手く使えへんかってとこやな。いう難関大学の図形問題では意外と正弦定理ですんなりいってしまうことがあるねん。正弦定理も試してみるこれを意識してやってくれ。△ABPに正弦定理を使うとAB/sin∠APB=BP/sin∠BAP⇔sin∠APB=ABsin∠BAP/BP≦1・1/√2=1/√2これで∠APBが45°で最大とこれで言えそうですやん。sinθが大きいほど角度θが大きいといえるのは、θが90°以下の時やから、∠APBが90°以下であることも断らないとあかんとこやな。したら解答書いていきますわ。点H(1,1)をとるとBH⊥OHよりBP≧BH=√2またπ/4<∠BAP<πでsin∠BAP≦sinπ/2=1正弦定理よりAB/sin∠APB=BP/sin∠BAP⇔sin∠APB=ABsin∠BAP/BP≦1・1/√2=1/√2等号成立は「∠BAP=π/2かつP=H」⇔「P=H」PA→・PB→=2(x-3/4)^2+7/9>0より0<∠APB<π/2だから∠APBの最大値はsin∠APB=1/√2の時、つまりπ/4最後の∠APBはπ/2より小さいは、ベクトルの内積が正と言うのが一番簡単かなって思ってやりました。それとかPはABを直径とする円の外側にあるからπ/2未満とか答えるとカッコはええな。最後にもう少し単純な計算でいけないかってとこやけど、もう一つ座標を導入した図形でよくやるのが直線PAの傾きをtanθ_1直線PBの傾きをtanθ_2とするとニ直線のなす角θ=θ_1-θ_2よりtanθ=tan(θ_1-θ_2)=(tanθ_1+tanθ_2)/(1-tanθ_1tanθ_2)を使う方法ですわ。これも現実的に思いつきそうな自然な解答やと思う。解答の流れ自体はさっきと同じような感じでtan∠APBを出すと相加平均相乗平均で最大値がだせますわ。後は解答見ておいてくれ。なんかええ加減なおっさんやな思ってるやろ。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/427-51ce886bこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。