|^{2}}が得られる。H}が得られる[60]。ノルムを超えないということである。二次元の場合で言えば、これは正三角形の足の長さは斜辺の長さを越えないということになる。ベッセルの不等式はからは、より強力なパーシヴァルの等式が得られる。これはベッセルの不等式の不等号を等号に取り替えたものになっている。e_{k}}という形に書くことができる。等しいことが保証される。|^{2}}と書ける。ヒルベルト次元[編集]ツォルンの補題の帰結として、「任意の」ヒルベルト空間が少なくとも一つの正規直交基底を持つことが分かる。濃度(これは有限な整数かもしれないし、可算あるいは非可算の基数であるかもしれない)である。_{H}}を満たすことがわかる。ヒルベルト次元に等しい。可分ヒルベルト空間[編集]ヒルベルト空間が可分であるための必要十分条件は、それが可算な正規直交基底を持つことである。ヒルベルト空間の定義の中に可分であることを含めることが多かった[62]。ヒルベルト空間」とかあるいは単に「ヒルベルト空間」と呼ぶこともしばしばであった[63]。場の量子論においてさえ、殆どのヒルベルト空間は事実可分であり、ワイトマンの公理系として明記された。場の量子論において非可分なヒルベルト空間も重要であるというような反論が時には為された。大きい次元を持つ空間の)無限個のテンソル積はどれも非可分であることが理由である[64]。ボソン場は自然に、その因子が空間の各点において調和振動子で表現されるようなテンソル積の元と考えることができる。この観点からは、ボソンの空間は非可分であると見るのが自然である[64]が、しかし全テンソル積の小さな可分部分空間にしか(その上で可観測量が定義できる)物理的に意味のある場が含まれていない。一つの非可分ヒルベルト空間モデルは、空間の非有界領域に存在する無限個の素粒子の状態である。この空間の正規直交基底は素粒子の密度を表すある連続なパラメータによって添字付けられる。これは非可算となりうるから、基底は可算ではない[64]。S\right\}}を考える。閉部分空間である(これは内積の連続性と線型性用いて容易に示せる)から、それ自身ヒルベルト空間になる。直交補空間と呼ばれる。なる形に一意的に表すことができる。内部直和になっている。上への直交射影と呼ぶ。満たすもの全体の成す集合との間に自然な一対一対応が存在する。