H)}を満たすという意味での随伴になっている。{\|Px\|}{\|x\|}}=1}に等しい。この適当な射影作用素がとれるという性質はヒルベルト空間を特徴付ける性質である[66]。満たすものが存在することである。この結果はヒルベルト空間の距離構造を特徴付けるものだが、位相線型空間としてのヒルベルト空間の構造は補空間の存在の言葉で特徴付けられる[67]。一致するようなものが存在することである。直交補空間については、いくつかのより初等的な事実が成立する。閉包に含まれるとき、かつそのときに限る」という意味で、直交補空間をとる操作は単調写像である。これはハーン・バナッハの定理の特別の場合である。部分空間の閉包は直交補空間の言葉で完全に特徴付けることができる。従って、直交補空間をとる操作は、ヒルベルト空間の部分空間全体の成す半順序集合上のガロワ対応(英語版)になっている。一般に、部分空間の合併の直交補空間は直交補空間の交わりに一致する[68]。