一意に定まるという意味で逆が成り立つ。これは、スペクトル論によって精緻化することができ、自己随伴作用素を「実」作用素と看做すことが有効であると分かる。{(A-A^{*})}{2i}}}に分解され、各項は互いに可換になる。正規作用素をその実部と虚部とに分けて考えることも有用である。ユニタリであるという。満たすこと」とも言い換えられる。等距変換群と呼ばれる群を成す。元がコンパクトであるとは、それが有界集合を相対コンパクト集合へ写すときに言う。多くの積分作用素はコンパクトであり、事実ヒルベルト=シュミット作用素として知られるコンパクト作用素のクラスが積分方程式論において特に重要な働きをする。フレドホルム作用素は恒等変換の定数倍の分だけコンパクト作用素とは違うけれども、核と余核が有限であるような作用素としても特徴付けられる。\,T.}で定義される。この指数はホモトピー不変量であり、アティヤ・シンガーの指数定理を通じて微分幾何学で深い役割を果たす。非有界作用素[編集]ヒルベルト空間においては非有界作用素もある程度きれいに扱うことができ、量子力学にも重要な応用を持つ[54]。線型部分空間であるような線型作用素であるものとして定義される。量子力学の数学的基礎において可観測量の役割を持つ。は台がコンパクトな可微分関数。(Bf)(x)=xf(x).}などが挙げられる[55]。これらはそれぞれ、運動量と位置の可観測量に対応する。全域で定義されてはいないことに注意すべきである。掛けられた関数が自乗可積分とは限らないことがその理由である。稠密な部分集合になる。作ることができる[56]。_{H_{2}}.}で定めたものになっている。_{H_{i}}}で定めることによって定義される。直和空間の中へ閉部分空間として埋め込まれる。どの二つも互いに直交する。たちの直和に同型である。たちの内部直和であると言われる。