実線型空間であることと、内積が実数値であることとが違うだけである)、この場合の内積は双線型(各引数について線型)になる。一辺の長さは他の二辺の長さの和を超えない」という三性質を満たすことを意味する。線型従属性と同値)からの帰結である。このようにして定義される距離関数に関して、任意の内積空間は距離空間となる。呼ぶこともある[4]。距離空間として完備であるような任意の前ヒルベルト空間は、ヒルベルト空間になる。内の列に対するコーシーの判定法(英語版)の形で表すことができる。内の元に収束することである。よっても特徴付けることができる。完備なノルム空間であるという点で、定義によりヒルベルト空間はバナッハ空間でもある。これらは位相線型空間であり、開集合や閉集合といった位相的概念を定めることができる。重要になるのが、ヒルベルト空間の閉部分空間の概念である。完備距離空間の閉部分集合は(そこへ距離を制限すれば)それ自身完備距離空間となるから、ヒルベルト空間の閉部分空間は(そこへ内積を制限するとき)それ自身ヒルベルト空間をなす。{w}}_{n}}で定義される。この右辺の級数が収束することはコーシー・シュヴァルツの不等式からの帰結である。何らかの元に収束する」ことを示せば言える。このことの証明は解析学の初歩であり、この空間の元からなる級数は複素数(あるいは有限次元ベクトル空間のベクトル)からなる級数と同程度容易に扱うことができる[5]。歴史[編集]ダフィット・ヒルベルトヒルベルト空間が開発される以前にも、数学や物理学においてユークリッド空間を一般化する別な概念が知られていた。19世紀の終わりに掛けていくつかの流れの中から抽象線型空間の概念が獲得される[6]。これは、その元同士の加法と(実数や複素数のような)スカラーによる乗法とを備えた空間のことを指すのであって、必ずしも物理的な系における運動量や位置といった「幾何学的な」ベクトルをその元が同一視される必要はないという性質のものである。自然に線型空間と看做すことができる。実際に、関数の場合なら、関数同士の和や定数をスカラーとする乗法が定義できて、それらの演算は空間ベクトルの加法とスカラー倍が従うのと同じ代数法則に従う。20世紀の最初の10年間で、ヒルベルト空間の導入に繋がる展開が同時並行的に現れた。その一つは、ヒルベルトとシュミットの積分方程式論の研究過程で見出された[8]。_{a}^{b}f(x)g(x)\,dx}を持ち、これがよく知られたユークリッド空間のドット積の性質の多くを有していた。これにより特に、関数からなる正規直交系の概念が意味を持つようになる。関して対称)なる形の作用素に対してスペクトル分解の類似物を示した。_{n}(y)\,}なる形の級数として表す。満たすという意味で、直交系を成す。この固有関数展開には、適当な意味で自乗可積分関数に収束するものとそうでないものがある。収束を保証するには完備性(系の完全性)が不可欠なのである[9]。いま一つは、ルベーグがリーマン積分に替わるものとして1904年に導入したルベーグ積分である[10]。ルベーグ積分は、より広範なクラスの関数で積分を定義することを可能にした。完備距離空間であることを示した[11]。このような幾何学的議論と系の完全性の議論が合わさった帰結として、19世紀に得られたフーリエ、ベッセル、パーシヴァル(英語版)らの三角級数についての成果を、これらのより一般の空間へ容易に持ち込むことができた。して得られた幾何学的かつ解析学的な仕組みは今日ではふつうリース・フィッシャーの定理として知られる[12]。更なる基本的結果が20世紀の初め頃に証明されていく。フォン・ノイマンは自身の非有界エルミート作用素の研究において「抽象ヒルベルト空間」という用語を創出した[14]。他のワイルやウィーナーのような数学者は(しばしば物理学的な興味を動機として)既に特定のヒルベルト空間については極めて詳細な研究を行っていたのだけれども、一般のヒルベルト空間をきちんと、しかも公理的に取り扱ったのはフォン・ノイマンが最初である[15]。後にフォン・ノイマンは、量子力学の基礎付けに関する金字塔的研究[16]においてこのヒルベルト空間の概念を用いており、ウィグナーへと続いていく。「ヒルベルト空間」という呼称は瞬く間に他へ広まり、例えばワイルは自身の量子力学と群論の教科書[17]で用いている。ヒルベルト空間の概念の重要性は、それが最も適切な量子力学の数学的基礎の提供を実現したことで強く認識されるようになった[18]。ユニタリ作用素との間の関係は、1928年のワイル[17]に始まる群のユニタリ表現論の発展の原動力となった。他方、1930年代の初め頃には、古典的な力学系のある種の性質が、エルゴード理論の枠組みのもとでヒルベルト空間を用いた方法で調べられるようになり、明らかにされた[19]。量子力学における可観測量の代数は、ハイゼンベルクの行列力学による量子論の定式化に従って、自然に或るヒルベルト空間上で定義される作用素環となる。1930年代のうちにフォン・ノイマンがヒルベルト空間上の作用素の成す環としての作用素環を調べ始め、フォン・ノイマンやその時代の人々が研究した種類の作用素環は、今日ではフォン・ノイマン環と呼ばれている。C∗-環と呼ばれる種類の作用素環の定義を与えた。これはヒルベルト空間の基盤となることはない一方で、それまで知られていた作用素環のもつ有用な特徴が当てはまる。C∗-環に対して一般化された。これらの手法は今や抽象調和解析や表現論において基本となっている。上の完全加法的測度)に付随する関数空間である。上の複素数値可測関数で、その絶対値の平方のルベーグ積分が有限となるようなもの全体の成す空間とする。測度零の集合の上でだけ異なる(殆ど至る所一致する)ような関数は全て同一視するものとする。(t)}で与えられる。対して、右辺の積分が存在することはコーシー・シュヴァルツの不等式から示されるから、これは確かに内積を定義している。実は完備になる[20]。積分がルベーグ積分であることは完備性を保証するために本質的である。実数からなる領域上でリーマン可積分関数を考えるのでは十分でない[21]。多くの自然な設定の下でルベーグ空間を考えることができる。成す空間とすると、それぞれの自然な定義域上でフーリエ変換とフーリエ級数が定義できる。別な状況では、実数直線上の通常のルベーグ測度ではない何か別の測度を用いることもある。{g(t)}}w(t)\,dt}で与えられる。_{A}w(t)\,dt}を満たすものと定める。空間は直交多項式を調べるのによく用いられる(これは種々の直交多項式系は、それぞれ別な重み関数に関する意味で直交することによる)。ヒルベルト空間になる。これらの空間は微分が行えるような関数空間の一種で、(ヘルダー空間のようなほかのバナッハ空間とは異なり)内積の構造も持つ特別な場合になっている。微分が使えることで、ソボレフ空間は偏微分方程式論に対して都合がよい[22]。変分法における直接法の基礎も与えている。L2-関数を全て含む。{g}}(x)\,dx}で与えられる。右辺のドット積は各階の偏導関数全体の成すユークリッド空間におけるドット積である。整数でない場合にもソボレフ空間は定義できる。ソボレフ空間は、(ヒルベルト空間のより具体的な構造に依拠する)スペクトル論の観点からも研究される。ベッセルポテンシャル(英語版)全体の成す空間として定義することができる[24]。)\}}のようなものである。スペクトル写像定理(英語版)によって捉えることができる。対するソボレフ空間の意味のある定義を与える必要があることをひとまず置いておけば、ソボレフ空間の定義はフーリエ変換のもとで特に望ましい性質を持ち、擬微分作用素の研究に対して理想的である。これらの方法をコンパクトリーマン多様体上で用いれば、例えばホッジ理論の基礎を成すホッジ分解が得られる[25]。複素解析や調和解析で用いられるハーディ空間は、その元が複素領域上の正則関数となっているような関数空間の一種である[26]。抑えられるようなもの全体の成す空間として定義される。{M_{r}(f)}}}で与えられる。\right)}なる形に書けることである。L2-関数で、負の周波数に対するフーリエ係数が消えているようなもの全体からなる。正則関数の成すヒルベルト空間の別なクラスにベルグマン空間がある[27]。属するようなもの全体の成す集合とする。おけるルベーグ測度に関してとる。部分空間であり、実は閉部分空間になっているので、それ自身ヒルベルト空間を成す。C_{K}\|f\|_{2}}からの帰結である。この評価自体はコーシーの積分公式から出る。属する正則関数列の収束はコンパクト収束でもあるから、極限関数もまた正則になる。上で連続であることがわかる。対して満たすようなものが取れる。備えたもの)の例になっている。セゲー核(英語版)と呼ばれる再生核を持つ[28]。再生核は数学のほかの分野でもよく用いられる。成すヒルベルト空間(これがヒルベルト空間を成すことは調和関数に対する中間値の定理からわかる)に対する再生核である。応用[編集]ヒルベルト空間の応用の多くは、ヒルベルト空間において射影や基底変換といったような単純な幾何学的概念が、ふつうの有限次元の場合に考えられるそれらの自然な一般化になっているという事実に依拠して行われている。スペクトル論は、行列のふつうのスペクトル分解の一般化であり、これはヒルベルト空間論を他の数学や物理学の分野に応用する際にしばしば大きな役割を果たす。