常微分方程式論において、微分方程式の固有関数および固有値の振る舞いを調べるのに適当なヒルベルト空間上のスペクトル法が利用できる。ヴァイオリンの弦やドラムの調波の研究から生じたスツルム・リウヴィル問題は、常微分方程式論の中心的な問題である[29]。'y'(b)=0.\end{cases}}}を満足するものである。対してだけ解を持つのだが、それのことはこの系に対するグリーン関数によって定まる積分作用素にコンパクト作用素のスペクトル論を適用した結果として得られる。無限大に発散する単調増大列に並べることができる[30]。偏微分方程式論[編集]ヒルベルト空間は偏微分方程式を調べる基本的な道具である[22]。ような偏微分方程式の多くのクラスでは、考える関数のクラスを拡張して弱解と呼ばれる超関数解を考えることができるが、弱解の定式化(弱定式化)の多くはヒルベルト空間を成すソボレフ関数のクラスを含むものになっているのである。対して、かなりのクラスの問題が一意的に解けることを保証する幾何学的結果の一つがラックス・ミルグラムの定理(英語版)である。この方法論は、偏微分方程式の数値解法に対するガレルキン法(英語版)(有限要素法の一つ)の基盤をなしている[31]。ディリクレ境界問題である。中で求めることに帰着される。}gv}で与えられる連続な双線型形式および連続な線型汎関数である。強圧的(英語版)であることが従う。故に、ラックス・ミルグラムの定理は、この方程式の解の存在と一意性を保証する。対して同様のやり方でヒルベルト空間による定式化ができるので、それ故にラックス・ミルグラムの定理はそれらの解析における基本的な道具となる。対しても、適当な修正を施せば通用する。エルゴード理論[編集]ブニモヴィチスタジアムにおける力学的ビリヤード球の軌道は、エルゴード力学系で記述される。エルゴード理論の分野では、カオス力学系の長期的振る舞いを研究する。エルゴード理論が有効な原型的な場合というのは、熱力学における系である。この系の微視的な状態は(微粒子の間の個々の衝突の集まりとしては理解できないという意味で)極めて複雑であるにも拘らず、十分長期間にわたるその平均的振る舞いは素直であり、熱力学の法則が主張するのはこのような平均的挙動である。熱力学の第0法則は「十分長い時間スケールを経れば平衡状態にある熱力学系の、その機能的に独立な測度は、温度の形でのその全エネルギーのみである」などと定式化できる。エルゴート力学系は、(ハミルトニアンで測られる)エネルギーを除けば、相空間上の機能的に独立な保存量を持たないような系である。f(T_{t}w)=f(w)}を満たすものがない場合に限る。時間並進不変なものが存在する。フォンノイマンの平均エルゴード定理[19]の主張は次のようなものである。_{0}^{T}U_{t}x\,dt}が成り立つ。(y)}となることが従う[32]。長期平均は、そのエネルギー面に亘ってとった期待値に等しい。フーリエ解析[編集]正弦波基底関数(下)の重ね合わせが鋸歯状波(上)になる。成すヒルベルト空間の正規直交基底を成す球面調和関数を、半径方向に沿ってグラフ化したものフーリエ解析の基本目的の一つは、関数を付随するフーリエ級数、即ち与えられた基底関数族の(必ずしも有限とは限らない)線型結合に分解することである。)}なる形の級数である。鋸歯状波関数に対するフーリエ級数の最初の数項を足し上げた例を図に示す。整数)をもつ正弦波が基底関数である。全ての基底関数が鋸歯状波の折れるところで交わり(結点)を持つが、基本波を除く全ての基底関数はそれ以外にも結点を持つ。鋸歯の周りでの基底関数の部分和の振動はギブズ現象と呼ばれるものである。フーリエ級数がもとの関数に収束する(ことが仮にあったとする)ならば、それはどのような意味においての収束であるか」を問う問題がある。これに対して、ヒルベルト空間を用いた方法で答えを与えることができる[33]。この問題を抽象的な観点からも見ることができる。任意のヒルベルト空間は正規直交基底を持ち、ヒルベルト空間の各元はそれら基底に属する元の定数倍の和として一意的に表すことができるが、この展開に現れる各基底元の係数のことをその元の抽象フーリエ係数と呼ぶことがある[34]。空間で別の基底関数系を用いることがより自然であるようなときに、特に有用である。関数を三角関数系に分解することは不適当だが、例えば直交多項式系やウェーブレット[35]および高次元において球面調和関数[36]へ展開することが適当であるような状況はたくさんある。+a_{n}e_{n}(x)}で近似することができる[37]。できるだけ小さくするように定める。{e_{j}(x)}}f(x)\,dx}によって計算することができる[38]。最小化することはベッセルの不等式とパーセヴァルの公式からの帰結である。種々の物理学的問題においては、関数を物理的に意味を持つ微分作用素(典型的なものはラプラス作用素)の固有関数系に分解することができ、微分作用素のスペクトルに関連して、関数のスペクトル研究の基礎を成している[39]。物理学への具体的な応用として太鼓の形を聴く(英語版)問題が挙げられる。これは「太鼓の皮が引き起こす基本振動モードを与えたとき、太鼓自身の形が推定できるか」というものである[40]。この問題の数学的定式化は、平面上のラプラス作用素のディリクレ固有値に関わるものになる(これはヴァイオリンの弦の基本振動モードを表す整数の直接の対応物である)。スペクトル論も関数のフーリエ変換のある種の側面を下支えしている。フーリエ解析ではコンパクト集合上定義された関数を(ヴァイオリンの弦や太鼓の皮の振動に対応する)ラプラス変換の離散スペクトルに分解するのに対して、関数のフーリエ変換はユークリド空間の全域で定義された関数をラプラス作用素の連続スペクトル(英語版)に関する成分に分解する。フーリエ変換があるヒルベルト空間(「時間領域」)から別なヒルベルト空間(「周波数領域」)への等距変換であることを主張するプランシュレルの定理として、フーリエ変換は幾何学的な意味を持つ。このフーリエ変換の等距性は、例えば非可換調和解析に現れる球関数に対するプランシュレルの定理などが示すとおり、抽象的な調和解析では繰り返し登場する主題である。量子力学[編集]水素原子における電子の軌道はエネルギーの固有関数である。複素数の違いを除いて)表現される。取りうる状態はあるヒルベルト空間の射影化(ふつうは複素射影空間と呼ばれる)の元である。このヒルベルト空間が実際にどのようなものになるかは系に依存する。して表現され、可観測量の固有状態はその作用素の固有ベクトルに、固有ベクトルに対応する固有値は固有状態にある可観測量の値にそれぞれ対応する。量子状態の時間発展はシュレーディンガー方程式によって記述され、そこに現れるハミルトニアン(全エネルギーに対応する作用素)は時間発展を生み出す。二つの状態ベクトルの間の内積は確率振幅として知られる複素数になる。量子力学系の理想的な測定の間で、系が与えられた初期状態から特定の固有状態に崩壊する確率は、初期状態から終期状態の間の確率振幅の絶対値の平方によって与えられる。測定の結果として可能なのは、作用素の固有値であり(これは自己随伴作用素のとり方を説明する)、全ての固有値は実数でなければならない。与えられた状態の可観測量の確率分布は対応する作用素のスペクトル分解を計算すれば求められる。自己随伴作用素)で与えられる純粋状態の統計的混合(あるいは混合状態)として表される。一般の量子力学系では、単独の測定の効果は系のほかの部分に影響を及ぼしうるが、それは測度が正の作用素値測度(英語版)で取り替えたものとして記述される。従って、一般論として状態と可観測量の両方の構造は、純粋状態の理想化したものより相当に複雑である。ハイゼンベルクの不確定性原理は、ある種の可観測量に対応する作用素が互いに可換でなく、特定の形の交換子を与えるという主張として表される。