受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。誘われてから、行くレストランが本物やと言うことでセンター試験2012年度数学2Bの第2問の解説します[問題]座標平面上で曲線y=x^3をCとし,放物線y=x^2+px+qをDとする。(1)曲線C上の点P(a,a^3)におけるCの接線の方程式はy=3a^[ア]x-[イ]a^[ウ]である。放物線Dは点Pを通り,DのPにおける接線と,CのPにおける接線が一致するとする。以下,p,qは1を満たすとする。(2)放物線Dがy軸上の与えられた点Q(0,b)を通るときb=[ケコ]a^3+a^[サ]...2が成り立つ。与えられたbに対して,2を満たすaの値の個数を調べよう。そのために,関数f(x)=[ケコ]x^3+x^[サ]の増減を調べる。関数f(x)は,x=[シ]で極小値[ス]をとり,x=[セ]/[ソ]で極大値[タ]/[チツ]をとる。関数y=f(x)のグラフをかくことにより,[ス]<b<[タ]/[チツ]のとき,2を満たすaの値の個数は[テ]であることがわかる。(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるのは,a=[ト],[ナ]/[ニ]の二つの場合である。a=[ト]のときの放物線をD_1,a=[ナ]/[ニ]のときの放物線をD_2とする。D_1,D_2とx軸で囲まれた図形の面積は2^[ヌ]/3^[ネノ]である。[解答と解説](1)まず微分ですね。y=x^3を微分してy'=3x^2よってx=aにおける傾きは3a^2で(a,a^3)を通るわけやから接線はy=3a^2(x-a)+a^3=3a^2x-2a^3次はCとDが点Pにおいて共通接線を持つか。これは直線は傾きと一つとの通る点を決めれば、決まるから点Pにおける接線の傾きが等しいと言うことから(x^2+px+q)'=2x+pより3a^2=2a+pまた点Pを通るからa^3=a^2+pa+qこの二つでええねん。これをまとめてp=3a^2-2aq=a^3-a^2-pa=a^3-a^2-3a^3+2a^2=-2a^3+a^2以下これを満たすらしいな。いうのが忘れそうで、センター特有の難しさやな。(2)Dが(0,b)を通るからy=x^2+px+qに代入してb=q=-2a^3+a^2それでとりあえずf(x)=-2x^3+x^2を考えるらしい。わからんままにやっていくのがコツやねん。微分してf'(x)=-6x^2+2x=-6x(x-1/3)だからx=0で極小値0をとりx=1/3で極大値1/27こんなん増減とか考えずに解答欄の形からこれしか入らんから、入れるねん。なんでも入れられるときに入れとかな、後から後悔するわけや。いやいや、そういう意味じゃないよ。それでy=f(x)のグラフをかくことで、あれやろな。定数分離のことやろな。y=f(a)のグラフを書いて、y=bと交わる個数でaの値の個数がわかるからちょうど極大と極小の間やな。(3)放物線Dの頂点がx軸上にあるってことはx^2+px+q=0の判別式が0ってことやな。a=4/9でp=-8/27よりx=-4/27でD_2はx軸に接するやからy=x^2とy=(x-4/27)^2で交点は、中点の2/27対称性から左側の2倍すればええから2∫(0,2/27)x^2dx=[2x^3/3](0,2/27)=2・2^3/(3^9・3)=2^4/3^10こうやって、早く正確に解けるにしていくわけやな。解けるけど、時間が足りないと言ってるとq=-2a^3+a^2にもaの値を代入してp,qを求めてからy=x^2+px+qに入れてまともに積分やってたら、それは解けるのレベルがやっぱ低いねん。解けるつもりでも、繰り返したり、解答例を覚えて吸収していかなあかん。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/458-90ac5035この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。