ノルムに関して収束する。多くの積分作用素、特にヒルベルト=シュミット作用素から生じるものはコンパクトであり、この定理は積分方程式論において基本的な役割を果たす。自己随伴作用素に対する一般のスペクトル論には、無限和というよりもある種の作用素値リーマン・スティルチェス積分が関係してくる[71]。{A^{2}}}+A)}で定義される自己随伴作用素の正部分を表す。自己随伴作用素の間に定義される半順序に関して単調増大である。}}なるスペクトル論が得られる。ノルムに関して収束する。分解で置き換えられなければならない。スペクトル上で定義される連続な複素関数を施すことができるようになる。このような連続汎函数計算(英語版)は特に擬微分作用素への応用を持つ[72]。「非有界」な自己随伴作用素のスペクトル論は、有界作用素に対するものと比べてさほど難しいわけではない。非有界作用素のスペクトルは有界作用素に対するのと全く同じやり方で定義される。)^{-1}}が連続作用素として定義されないときである。随伴性から、やはりスペクトルが実であることが保証される。自身のスペクトル表現が得られる。同様の方法論で、例えばラプラス作用素のスペクトルも調べられる。場合に成立するスペクトル定理は以下のようなものである[73]。対するスペクトル定理も存在する。標準的な関数解析学の教科書を見れば載っている。第二引数に関して線型であると約束する場合もある。