組合せ論的群論は、群を生成元と基本関係の側面から研究する学問である[2]。これは、特に何らかの有限性条件、例えば有限生成であるとか有限表示を持つ(つまり、有限生成かつ基本関係が有限個しかない)というような条件が仮定されている場合に有用である。この分野は、その基本群を通してグラフ理論との関係を利用することができて、例えば自由群の任意の部分群が自由であることが示せる。群を生成元と基本関係によって与える方法から、いくつかの問題が自然に生じてくる。語の問題というのは「群の生成元からなる二つの語が、いつその群の同じ元を定めるか」というものである。この問題をチューリングマシンに関連付けることにより、この問題を一般に解決することのできるアルゴリズムが存在しないことを示すことができる。同じくらい困難な問題に「異なる表示によって与えられる二つの群が、いつ互いに同型となるか」という同型問題がある。1〉とも表すことができるが、この表示と先ほどの表示とが同型な群を与えるということは、表示だけ見れば自明なことではない。ケイリーグラフ幾何学的群論とは、語の問題や同型問題といった問題に対して、群を幾何学的対象として見たり、群が作用する適当な幾何学的対象を求めるといったような幾何学的な視点から解決を試みるものである[3]。前者の方法としては、群の元を頂点とし、右からの乗法によって写りあう元を辺で結んだケイリーグラフがある。二つの元が与えられれば、それらの元を結ぶ最短経路の長さとして語の距離が定義できる。あるという定理がある。上定義された全単射で群構造と両立するものを定めることをいう。構造が入っているときは、それに応じて表現の概念に制限を加えるほうが有効である。GL(V)のことをいう。ρ(gh)が成り立つということである。K-理論のような)数学のまったく新たな領域を生じる。ついて新たな情報をもたらすものである。通じて(特に表現が忠実のとき)群演算は行列の積という非常に具体的なものに対応付けられることになる。ひとつは、よく知られた群が与えられ、それが複雑な対象に作用しているものとすれば、そのような対象を調べるのが簡単になるというものである。全体を考えるよりもずっと扱いやすい。表現としてどのようなものが存在しうるかを問うものである。状況設定はさまざまで、どのような手法を使えるかとか、どのような結果が得られるかというようなことがそれぞれの場合で変わってくる。有限群の表現論およびリー群の表現論は表現論における二大主要テーマである。群の表現の全体像は群の指標によって統制されている。指標として解釈することができる。それ自身の上への構造を保つ変換のことを言う。それ自身への全単射のことであり、その全体として対称群が得られる。上の任意の二点間の距離を保つもの(等距変換)のことである。等距変換群と呼ばれる。先ほどと同じ集合で距離の代わりに角を保つものは共形写像あるいは等角写像と呼ばれる。等角写像の全体からは、例えばクライン群が得られる。対称変換は何も幾何学的対象に限ったものではなく、代数的対象にも同様に定義することができる。持つが、このとき、この二つの根を入れ替えるという対称変換が考えられ、これによって得られる群が、この方程式に属するガロア群と呼ばれるものである。一変数の任意の代数方程式が、その根の上のある種の置換群としてのガロア群を持つ。群の公理は対称変換の本質的な性質を定式化するものであり、対称変換の全体は群を成す。実際、対象に対称変換を施してからさらに別の対称変換を施せば、得られる結果は再び対称変換であるから、対称変換は写像の合成に関して閉じている。対称を固定して動かさない恒等変換はかならずそ対象の対称変換である。逆元の存在については、対称変換の取り消しができるということによって保証され、群演算の結合性は対称変換が空間上の写像であり、写像の合成が結合的であることから従う。「任意の群は、あるグラフの対称変換群である」ことを主張するものである。従って任意の抽象群は、実際にある具体的な対象の上の対称変換の成す群として得られることになる。対象の「構造を保存する」という言及は、圏で考えればもっと厳密に扱うことができる。構造を保つ写像とは射のことであり、対称変換群(対称性の群)とは考えている対象の自己射群である。群論の応用は広く、抽象代数学における殆ど全ての構造は群の特殊なものと見ることができる。環はアーベル群(加法に対応)に第二の演算(乗法に対応)を合わせて考えたものと見ることができる。したがって、それらの代数的構造の理論の多くの部分が群論的な議論を下敷きとして行うことができる。ガロア理論は群を多項式の根の対称性(もっとちゃんと言えば、根が生成する多元環の自己同型)を記述するのに用いる。ガロアの基本定理は体の代数拡大と群論との関係性を与えるものである。これにより、代数方程式の可解性の効果的な判定法が、対応するガロア群の可解性によって与えられる。可解でないということから、五次の一般方程式が(低次の方程式で可能であったようには)冪根を用いて解くことができないという事実が従う。(代数トポロジー)は、その研究の対象となるものにはっきりと群が付随しているもう一つの領域である。ここでは、群は位相空間のある種の不変量を記述するのに用いられる。「不変量」というのは、空間がある種の変形を受けてもそれらが変化しないということを示すものである。基本群は、空間に本質的に異なる道がいくつあるかを「数える」ものである。(2002年と2003年にグレゴリー・ペレルマンによって証明がなされた)ポワンカレ予想はこのような考え方を用いた顕著な応用例であるが、その影響はこの方面に留まるものではない。所定のホモトピー群を備えた空間であるアイレンバーグ-マクレーン空間が用いられる。K-理論は群の分類空間についての重要な手法を与える。(無限群の)捩れ部分群という名称は、群論における古い形の位相幾何学の影響を示すものである。トーラスのアーベル群的な構造は以下の写像で表される。シーザー暗号の基礎となっている。代数幾何学と暗号理論は、同じように群論を至る所で取り入れている。アーベル多様体は、群作用の存在によって、詳細な調査が可能になる。一次元の場合では、楕円曲線が詳細に研究されている。これらは理論的にも応用的にも興味深いものである[4]。楕円曲線暗号では、非常に大きな素数位数の群が構成され、公開鍵暗号として役に立っている。代数的整数論は、群論の特殊な場合である。{1}{1-p^{-s}}}}は「任意の整数は素数の積にただ一通りに分解される」という算術の基本定理に基づく。これがもっと一般の環では必ずしも成立しないことで、イデアル類群や正則素数の概念が生じた。クンマーがフェルマーの最終定理を扱う際に用いている。リー群(数学者ソフス・リーの名前にちなむ)は、微分方程式と多様体の研究において重要である。これは、連続幾何的構造および解析的構造の対称性を記述するものである。リー群などの群の解析を調和解析という。ハール測度(リー群の平行移動不変積分)は、これはパターン認識や画像処理に使われている[5]。組合せ数学においては、置換群や群作用の概念がしばしば使われ、集合の個数を計測する助けになる。五度圏は巡回群の構造を与える。五度圏には12周期群(巡回群)が現れる。物理学においては、群は物理の法則に現れる対称性を記述するために使われる。物理学者は、群の表現、特にリー群の表現に興味を持っている。それはしばしば、「可能な」物理法則を指し示すからである。物理における群論の応用には、たとえば標準模型、ゲージ理論、ローレンツ群、ポアンカレ群などがある。化学、材料科学においては、群はおもに結晶構造や分子対称性を分類するのに使われる。構造に対応した点群により、物理的な性質(極性やキラリティ)や分子軌道を決定できる。ラマン分光法や赤外分光法も参照。概念として定式化される。リー群は可微分多様体の圏における群対象であり、アフィン代数群はアフィン代数多様体の圏における群対象である。ミレニアム問題の一つであるバーチ・スウィンナートン=ダイアー予想を見よ。3.0のもとで利用可能です。プライバシーデスクトップ。