theory)とは、群を研究する学問。群の概念は抽象代数学における中心的な概念。環・体・ベクトル空間などは、演算や公理が付与された群と看做すことができる。群論の方法は代数学の大部分に強い影響を与えている。線形代数群とリー群の理論は群論の一分野。発展を遂げており、独自の適用範囲を持っている。結晶や、水素原子などの構造の多くは、対称性の群(英語版)で表現できる。このように、群論は、物理学や化学の中に多くの実例・応用例がある。1960年代~80年代に発表された総計1万ページを超える論文によって、完全な有限単純群の分類が達成された。これは多くの数学者の共同作業の賜物であり、20世紀の数学の最も重要な業績の一つ。数論の系統は、オイラーに始まり、ガウスの合同式の理論、および二次体に関係した加法群・乗法群の研究によって発展した。置換群に関する初期の研究成果は、ラグランジュ、ルフィニ、アーベルらの、代数方程式の一般解の研究の過程で得られた。エヴァリスト・ガロアは「群」という用語を作った。彼は、初期の群論と現在の体論を結びつけた。幾何学については、群はまず射影幾何学で、のちに非ユークリッド幾何学で重要になった。群論は幾何学の原理を統合するものになることを予言した。1830年代、エヴァリスト・ガロアが初めて、代数方程式の可解性の判定に、群を導入した。置換群の理論を創設した。歴史的な2番目の源泉としては、幾何学方面からの流れがある。フェリックス・クラインのエルランゲン・プログラムに始まる。1884年、ソフス・リーは群(現在リー群として知られている)を解析的問題に適用した。三番目に、群は(最初は暗黙的に、後に明示的に)代数的整数論に用いられた。これら初期の源流では、観点が違っていたので、そのため群に対する観念も違ったものとなっていた。1880年頃から群の理論の統合がなされてくる。多くの派生分野が成立した。有限単純群の分類は、20世紀中頃より膨大な量の研究がなされ、ついに完成に至った。群の範囲は、有限置換群や行列群の特殊な例から、生成系と基本関係で表示される抽象群まで、いくつかのクラスに分かれていると考えることができる。系統的な研究のなされた群のクラスは置換群である。作用する群であるという。対称群のある部分群となっているものをいう。して自分自身に作用する置換群として提示された。多くの場合、置換群の構造は対応する集合への作用の性質を用いて調べられる。真の正規部分群を持たない。次の方法で示すことができる。根の冪根による表示の不可能性において重要な役割を果たす。次に重要な群のクラスは行列群あるいは線型代数群と呼ばれるものである。上の与えられたサイズの正則行列からなる集合で、積と逆をとる操作について閉じているようなものである。線型変換として作用する。ベクトル空間であった)。変換群の概念は対称変換群(あるいは「対称性の群」)の概念に近い関係にある。変換群というとある構造を保つ変換「全体」の成す群を意味することが多い。変換群の理論は群論と微分幾何学とを結びつける橋渡しの役割を果たすものである。多様体上の同相あるいは微分同相としての群作用の考察は、リーおよびクラインに始まり、膨大な研究がなされている。発展の初期段階では、群としては、数、置換、行列などによって実現される「具体的」なものばかりが考察の対象であった。特定の公理系を満たす演算を備えた集合としての「抽象群」の概念が根付き始めるのは、19世紀後半になってからのことである。}を通して与えられる。代数体上のイデアル類群は早くから扱われてきた剰余群の例であり、数論において非常に重要である。作用しないものだが、抽象群を考えることによってこのような問題を心配する必要も無くなる。具体的な群から抽象群へ視点を移すことにより、その群がどのように実現されているかということとは無関係に(現代的な言葉で言えば、同型のもとで不変な)群の性質について考察することが自然なものとなった。いったものが考えられる。個々の群の性質を探ることよりも、群のクラスに対して広く適用できるような結果を確立する方法が求められた。このような新しいパラダイムは、数学の発展に対して傑出した重要性を持つものであり、ダフィット・ヒルベルト、エミール・アルティン、エミー・ネーターおよび彼らに師事した数学者たちによって、抽象代数学が構築されていく前兆となるものであった。群に新たな構造を付け加えることにより、群の概念が発展することになった。それぞれ位相群、リー群、代数群と呼ばれるものになる[1]。群に別種の構造を付け加えることによって、これらの種類の群と、数学の別の分野が関連づけられる。違う手法を研究に適用することが可能になる。記述するのには複数の方法がある。よって構成される乗積表を書き出すことによって記述することができる。一つの主要な方法としては、「生成系(生成元)と関係式」によって群を定義する方法であり、これは群の表示と言われる。全射準同型が存在する。生成され、基本関係のなす部分群と呼ばれる。