或る作用素の固有空間の直交直和に分解され、またその作用素はその固有空間への射影の直和として明示的に表される。ヒルベルト空間の直和は、(素粒子を変数にもつ系のフォック空間など)量子力学においても用いられ、そこでは直和の各成分たるヒルベルト空間と量子力学系の余剰自由度とが対応する。表現論におけるピーター・ワイルの定理(英語版)によれば、ヒルベルト空間上で定義されるコンパクト群のユニタリ表現は必ず有限次元表現の直和に分解されることが保証される。対し、それらの(代数的な)テンソル積の上に、次のように内積を定めることができる。全体で定義される内積に拡張する。完備化して得られるものをいう[57]。等距かつ線型に同型である。f_{1}(s)\,f_{2}(t)}なる正方形上の関数に写される。この例は以下のような意味で典型的である[58]。有限階作用素全体の成す空間とを同一視する線型同型が得られる。等距線型同型になることがわかる。線型代数学で言うような正規直交基底の概念を、ヒルベルト空間に対するものへ一般化することができる[59]。