三角関数の公式について説明しますわ。数学2の三角関数の公式は多くて、どこまで覚えたらいいのか?どう扱ったらいいのかわからんことになってこのように人道を外れた扱い受ける子供たちが出てきます。私たちはこのような子供をこれ以上増やさないようにしなければなりません。今回は公式をどう扱えばいいのか、その辺に重点を置いて説明したいと思います。○加法定理sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβcos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβこれだけは覚えていて欲しいねんな。覚えかたは、sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβSの人は、縛って拘束して、くすぐって失神させる。擦って、擦って、擦りまくったら、死ぬほどイッた。擦って(cos)擦って(cos)擦りまくったら(cos)、死ぬほど(sin)イッた(sin)どこに行くねんとか日本語的におかしい意味の分からない言葉やけど、語呂合わせはそういうもんやねん。それでsinは死ぬほどくすぐられて、もう我慢できなくなっても、ガ!ってしばられてて動けないから符号はそのままやねんけど、cosは若い時から擦りすぎて残念なことになってるから反対になるねん。今こんな覚えにくい語呂合わせ考えるな!ってしばかれそうになった。やって覚えて欲しいねんけど、もし忘れたとして導くとしたらcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβを導くことを考えるねん。簡単のは(cosα,sinα)のx軸正方向から角度αをなす単位ベクトルと(cosβ,sinβ)のx軸方向から角度βをなす単位ベクトルを考えて、二つのベクトルのなす角度は|β-α|やから内積から(cosα,sinα)・(cosβ,sinβ)=1・1・cos|β-α|⇔cosαcosβ+sinαsinβ=cos(β-α)ってやる方法やな。座標平面でやる正攻法でもそんなに難しくなくて、図形問題で使える手法かもしれんから、このやり方を覚えていてもいいと思います。P(cosα,sinα),Q(cosβ,sinβ)の二点をxy座標にとってPQ^2を距離の公式と余弦定理の二通りであらわすねん。距離の公式PQ^2=(cosα-cosβ)^2-(sinα-sinβ)^2=2-2(cosαcosβ+sinαsinβ)△OPQに余弦定理を適用して∠POQ=|β-α|よりPQ^2=1^2+1^2-2・1・1・cos(β-α)=2-2cos(β-α)よってcos(β-α)=cosαcosβ+sinαsinβってわかりました。後はsin(α-β)はこの式でβ→-βとおきかえてsin(α-β)=sinαcos(-β)+cosαsin(-β)=sinαcosβ-cosαsinβこのやり方を覚えいてたら、加法定理を忘れても大丈夫です。ほんまに大丈夫なんかこれ。○tanの加法定理tan(α+Β)=(tanα+tanΒ)/(1-tanαtanΒ)tan(α-Β)=(tanα-tanΒ)/(1+tanαtanΒ)これも出来れば覚えていた方が計算も早くていいですが、覚えなくてもsinとcosの加法定理から結構すぐに導かれます。tan(α+β)=sin(α+β)/cos(α+β)=(sinαcosβ+cosαsinβ)/(cosαcosβ-sinαsinβ)分母分子をcosαcosβで割って=(tanα+tanβ)/(1-tanαtanβ)tan(α-β)=sin(α-β)/cos(α-β)=(sinαcosβ-cosαsinβ)/(cosαcosβ+sinαsinβ)分母分子をcosαcosβで割って=(tanα-tanβ)/(1+tanαtanβ)分子はsinの加法定理使うから符号はそのままで、分母はcosの加法定理だから符号は反対って感じです。○二倍角の公式sin2α=2sinαcosαcos2α=(cosα)^2-(sinα)^2=2(cosα)^2-1=1-2(sinα)^2[tan2α=2tanα/(1+(tanα)^2)これは覚えてた方が便利で、よく使うからきっと勝手に覚えると思いますが覚えていないうちや忘れた時は加法定理から簡単に導けます。sin2α=sin(α+α)=sinαcosα+cosαsinα=2sinαcosαcos2α=cos(α+α)=cosαcosα-sinαsinα=(cosα)^2-(sinα)^2この式で(cosα)^2=1-(sinα)^2を使ってsinであらわそうとするとcos2α=1-2(sinα)^2また(sinα)^2=1-(cosα)^2を使ってcosであらわそうとするとcos2α=2(cosα)^2-1tan2α=tan(α+α)=(tanα+tanα)/(1+tanαtanα)=2tanα/(1+(tanα)^2)○半角の公式(sin(α/2))^2=(1-cosα)/2(cos(α/2))^2=(1+cosα)/2これもよく使うし確かに覚えるのにこしたことはないけど、二倍角の公式からすぐにわかります。○3倍角の公式sin3α=-4(sinα)^3+3sinαcos3α=4(cosα)^3-3cosαこれは導くのは時間かかるから、覚えておいた方がええかな。覚えかたはsin3α=-4(sinα)^3+3sinαしかばねは、富士山頂を指してから死んだ。しかばね(sin3α)は、富(-)士(sinα)山頂(3乗)を指(3)してから死んた(sin)。水色の制服(夏服)のコスプレを陽子さんに着せるとか言うてる以上は、とりあえずマザコンではない。水色の制服(夏服)のコスプレ(cos3α)を陽(4)子(cos)さん(3)に着せるとか言うてる以上(乗)は、とりあえずマ(-)ザ(3)コン(cosα)ではない。言っても、そんなに使う機会ないしこんなわけわからん語呂は忘れてまうねんな。導きかたを覚えてください。加法定理からsin3α=sin(2α+α)=sin2αcosα+cos2αsinαsinαであらわそうとして=2sinα(cosα)^2+(1-2(sinα)^2)sinα=2sinα(1-(sinα)^2)+sinα-2(sinα)^3=-4(sinα)^3+3sinαだからsin3α=-4(sinα)^3+3sinαcos3αはこの式でα→π/2-αとおきかえたらすぐに出来てsin(3π/2-3α)=-4(sin(π/2-α))^3+3sin(π/2-α)⇔-cos3α=-4(cosα)^3+3cos(α)⇔cos3α=4(cosα)^3-3cos(α)○積→和の公式sinαcosβ=1/2・{sin(α+β)+sin(α-β)}cosαsinβ=1/2・{sin(α+β)-sin(α-β)}cosαcosβ=1/2・{cos(α+β)+cos(α-β)}sinαsinβ=-1/2・{cos(α+β)-cos(α-β)}こんなん覚えるんか?って扱いに困る公式ですが、確かに覚えるのは理想かもしれんけど実際には使う機会も少なくて忘れてまいます。これは加法定理でsin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ...[1]sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ...[2]cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ...[3]cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ...[4]sinαcosβは([1]+[2])/2cosαsinβは([1]-[2])/2cosαcosβは([3]+[4])/2sinαsinβは-([3]-[4])/2ですぐに出ます。積から和に直せるなってことと、この計算方法を覚えてたらええねん。○和→積の公式sinA+sinB=2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)sinA-sinB=2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)cosA+cosB=2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)cosA-cosB=-2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)これも、こんなん覚えるんか?ってどういう扱いをしてええかわからん子やけど、確かに覚えるのは理想かもしれんけど実際使う機会はあまりなくて忘れると思うねんな。これもさっきの積→和の公式を作ってからsinαcosβ=1/2・{sin(α+β)+sin(α-β)}cosαsinβ=1/2・{sin(α+β)-sin(α-β)}cosαcosβ=1/2・{cos(α+β)+cos(α-β)}sinαsinβ=-1/2・{cos(α+β)-cos(α-β)}A=α+β,B=α-βと置いたらα=(A+B)/2,β=(A-B)/2とあらわされて、これで書き換えたらすぐに出ます。積→和の公式でA=α+β,B=α-βと置いたらα=(A+B)/2,β=(A-B)/2と置き換えるって方法を覚えたらええねん。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/354-c5eb252bこの記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。