受験数学わんこらスクール京大理学部で数学をやったわんこらが中学生や高校生、受験生に数学の公式や問題を解説します。センター試験数学2B、2001年度の第2問...微分積分の問題の解説ちょっと味噌汁飲んでくるから、待っててくれ。センター試験数学2B、2001年度の第2問の解説[問題][1]座標平面において放物線y=x^2をCとする。第1象限の点P(a,a^2)におけるCの接線lとy軸との交点Qの座標は(0,[ア]a^[イ])である。lとy軸のなす角が30°となるのはa=(√[ウ])/[エ]のときである。このとき線分PQの長さは√[オ]であり、Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線Cとで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積はπ/[カ]-(√[キ])/[ク]である。[2]関数y=3sinθ-2(sinθ)^2(0°≦θ≦210°)の最大値と最小値を求めたい。そのためsinθ=xとおこうと,yはy=3x-2x^3と表される。xの動く範囲は[ケコ]/[サ]≦x≦[シ]であるから、yはx=1/√[ス]のとき最大値√[セ]をとり、x=[ソタ]/[チ]のとき最小値[ツテ]/[ト]をとる。θ=[ハヒフ]°のとき最小である。[解答と解説][1]点Pにおける接線を求めてy切片を求めろってことやなこれは。微分しておいてy'=2xだからP(a,a^2)における接線の傾きは2aで、点P(a,a^2)を通るから接線はy=2a(x-a)+a^2=2ax-a^2だからy切片のQの座標はx=0を代入してy=-a^2でQ(0,-a^2)やな。lとy軸とのなす角が30°ってことは、直線の傾きはtan30°かってちょっと思いそうやけど、「y軸」とのなす角が30°やねん。ん直線の傾きのtanの角度は「x軸」とのなす角やねん。(a,a^2),Q(0,-a-2)やからPQ=√((a-0)^2+(a^2-(-a^2))^2)=√(a^2+4a^4)=√(((√3)/2)^2+4((√3)/2)^4)=√(3/4+9/4)=√3Qを中心とし線分PQを半径とする円と放物線Cとで囲まれてできる二つの図形のうち小さい方の面積ってなんかようわからんけど、まずはグラフを書いてください。図を描く!これやがな!それで、こういうややこしい形の面積は「パズルをして求める」をやります。この処理の仕方は東大の入試にさえよく使うから、しっかり覚えてくれ。底辺がa=(√3)/2,高さはPとQのy座標の差は2a^2やから2a^2=3/2直角三角形2つ分の面積は2×1/2×(√3)/2×3/2=(3√3)/4長方形から放物線を取り除いたやつは下側の長方形が底辺√3,高さがa^2の3/4で面積(3√3)/4、上半分の長方形から放物線をとりのぞいた部分は∫(-a,a)x^2dx=2∫(0,a)x^2dx=2∫(0,(√3)/2)x^2dx=2[x^3/3](0,(√3)/2)=(√3)/4よって(長方形から放物線を取り除いたやつ)=(√3)/4+(3√3)/4(へっこんだ三角形)=(長方形から放物線を取り除いたやつ)-2×直角三角形=(√3)/4+(3√3)/4-(3√3)/4=(√3)/4扇形の半径はPQ=√3やから(中心角60の扇形)=(60/360)π√3^2=π/2よって求める面積はπ/2-(√3)/4なんか、わけわからん説明になってきてるような気がするな。[2]sinθ=xとおいてて、0°≦θ≦210°やから単位を書いておいて-1/2≦sinθ≦1とわかります。-1/2≦x≦1それで三次関数y=3x-2x^3の最大値と最小値を求めろってことやから微分してy'=3-6x^2=-6(x-1/√2)(x+1/√2)最大値と最小値は極値か端点でしかとらないから解答蘭の形からx=1/√2のとき最大値√2x=-1/2のとき最小値-5/4ってわかってしまいます。ほんまはグラフを描くところやけどな。それも情緒深い話ってことや。今日はこの辺までにしときましょか。|この記事に対するトラックバックトラックバックURL→http://kazuschool.blog94.fc2.com/tb.php/425-3552cf15この記事にトラックバックする(FC2ブログユーザー)▲ページトップへプロフィールAuthor:わんこら京都大学理学部で数学と物理を勉強し、数学を専攻しました。→メール迷惑メールにされる危険性があるので出来るだけkazuyuki_ht○guitar.ocn.ne.jp(○を@にしてください)に送ってください勉強とかでどんな悩み持ってるかなど色々と教えてくれると嬉しいです。わんこら式のやり方についてのメールはわんこら式診断プログラムを参考にしてください詳しいプロフィール人気blogランキングへ相互リンクも募集してます。何かあればkazuschool_ht★yahoo.co.jpかメールフォームからメールください。