」とか「y=f(x)」とかっていう形をとる。命題というのは真(true)か偽(false)か、どっちかに決めることができる文のことだ。「灰色は黒とも言えるし、白とも言えるし、まあ人それぞれですね」という文は命題ではない。「カラスは黒い」は命題だ。「カラスは白い」も命題だ。この命題はまちがってるので偽である。いう意味で使いますよ」という宣言なので、証明の必要なく真だ。「犬または猫をイヌネコとよぶ」と宣言したらそれが定義だ。定義は単なる約束ごとにすぎないので証明の必要がない。定理(theorem)というのは命題の中で正しいこと(真であること)が証明されたもののことだ。「カラスは黒い」「黒いものは怖い」という命題が正しいとして、よって「カラスは怖い」という文が導かれたら、それが定理だ。(でも本当は証明された命題を定理と呼ぶかどうかは文化による。ふつうは正しいことが証明された命題のなかで、特に重要なもののことを定理と呼ぶ。ある定理から簡単に導かれる定理は系(corollary)、ある重要な定理を示したいがために証明しておく足場みたいな補助定理のことを補題(lemma)と呼んだりして区別する。)数学はこのように「こう定義します」→「するとこの定理が導かれます」→「またこう定義します」→「するとこの定理が導かれます」→......という具合に議論をすすめていく。ここで、ある疑問が生じる。最初に出てきた定義に出てくる言葉はどうやって定義するの?はい。数学の世界で一番最初に出てくる言葉には、実は定義がないのだ。公理(axiom)っていうのはパズドラとかポケモンで最初に与えられるモンスターみたいなものだ。数学はまず公理という仮定を置き、それをスタート地点にして次々と定理を証明していく学問なのだ。ユークリッド幾何学という数学のサブジャンルがある。中学校でならう図形の話がユークリッド幾何だ。これはたとえば以下のような命題を仮定している。「相異なる任意の2点に対しそれらを通る直線を引くことができる。その直線は唯一つしかない。」これは定理のように見えて、定理ではない。証明なしにポンと置かれた仮定だ。「点」とか「直線」とか「通る」という言葉には定義がない。野崎昭弘は、「点」という代わりに「ピン」といい、「線」の代わりに「ポン」といい、「通る」という代わりに「パンする」と言い換えることもできる、と述べた。見る中学校で定規とコンパスを使って作図をさせるのは、(目盛りのない)定規とコンパスが「公理」だからだ。定規で線を引く行為は「相異なる任意の2点に対しそれらを通る直線を引くことができる。その直線は唯一つしかない。」という公理に他ならない。ぼくは中学の図形の授業はわかりにくいと思っている。ぼくは中学生のとき図形の問題ぜんぜんできなかった。中学の図形の授業は定規とコンパスという公理から出発して、三角形についての定理をつくり、それを使っていろんな図形を三角形に分割して問題を解く。Wikipedia)と、図形に関する知識をごっちゃに教わるので、(しかも中学校の先生の多くはそのことを自覚してなかったりするので)、混乱を招くし落ちこぼれが出てくるのもむべなるかなと思う。『哲学的な何か、あと科学とか』間違い探し編では冒頭のサイトを見てみよう。公理が自明とは言っても、あくまでも、証明はされていないのだ。証明されていない法則を土台として成り立っているということになる。歴史ある幾何学体系は一瞬にして崩壊してしまう。http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/kouri.html公理に証明が必要であるかのような書き方はミスリーディングでしょう。上述の通り、公理は証明の出発点だ。(ただし公理どうしに矛盾があったら、その公理系は破綻する。「相異なる任意の2点に対しそれらを通る直線を引くことができる。その直線は唯一つしかない。「相異なる任意の2点に対しそれらを通る直線を引くことができる。その直線は無数に存在する。」という公理を置いたら破綻している。理論体系として矛盾が生じるはずだ。必然的に今の公理しかありえないのだ」と考えて、ユークリッド幾何学の公理は絶対的に正しいとされてきた。幾何学として矛盾が発生せず、それどころかまったく新しい幾何学体系が作られることを発見してしまった。http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/kouri.htmlガウスがユークリッド幾何学の「平行線の公理」に挑んだのは、ユークリッド幾何学の公理が絶対的に正しいと思っていたからではありません。ユークリッドの公理系の中で「平行線の公理」が、長ったらしくてきれいじゃなかったからです。それらの2直線をその側に延長するといつかは交わる。まどろっこしいでしょ。ガウスは「この公理とっちゃっても、他の公理からこれ証明できんじゃねえかな」と考えて平行線の公理を置き換えた幾何学を考えてみたのだ。無矛盾な理論体系をいくらでも作り出せる」ということなのだ。「ある一定の公理)をもとに、論理的思考の蓄積で作られた構造物」とみなされるようになっていった。http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/kouri.html確かに好き勝手に公理を決めても理論体系は作れますが、そのことは学問の体系を揺るがしてはいません。さきほど、「点」という代わりに「ピン」といい、「線」の代わりに「ポン」といい、「通る」という代わりに「パンする」と言い換えることもできる、と述べた。現実的なニーズや直感的な理解を無視して、わざわざピンポンパン幾何学を研究する必要はないわけで、公理系が自由に組み立てられるようになったことは、ユークリッド幾何学の知見を脅かすものではありません。選んだ公理が本当に正しいのか証明することは、絶対にできません」と述べることによって、理論体系は完全にトドメをさされる。http://www.h5.dion.ne.jp/~terun/doc/kouri.htmlさされません。「選んだ公理が本当に正しいのか証明することは、絶対にできません」という主張はあまりにあいまいなものです。「公理が本当に正しい」ってどういうことかわからない。含む帰納的公理化可能な理論が、無矛盾であれば、自身の無矛盾性を証明できない。Wikipediaこの定理は例えば、こんなふうに使うことができる。別の体系かどうか考えるのは正攻法で調べるのは難しい。」と考えることができる。これによって新たな形式的体系を作れたかどうか判断できる。ゲーデルの不完全性定理は数学にポジティブな影響を与えるものです。数学全体の理論体系にトドメをさすようなものにはなりません。見る(結城先生の数学ガールは萌えキャラ使ってたとえ話で数学解説するような本ではありません。定義がいっこ出てきたときに登場人物が「そもそもこの定義ってなんでこんな定義になってるの」っていちいち悩むんです。本の読み方自体を教えてくれる本なので次元が一個上。10章はけっこうハード。ぼくもちゃんとは読めてない。)追記こういう認識が広まっていくのは嬉しいことです。公理の話と未定義語の話がごっちゃになっているのは、改善の余地があるけど。ご指摘ありがとうございます。この文章は公理の話と無定義語の話がごっちゃに登場します。話の運びをうまく処理できなくって雰囲気で流してしまいました。現代数学入門みなさまご注意ください。追記2数学ガールのテトラちゃんはゲーデルの証明を「プログラムみたい」(p.343)といっているけど、チャイティンによれば不完全性定理の証明はLISPで書かれているそうです。「ゲーデルの原稿にプログラミング言語をはっきりと見て取ることができます。近いプログラミング言語は、私の知る限りでは、LISP、純粋LISP、副作用のなくて十分面白いLISP、LISPの核心です。」(グレゴリー・J・チャイティン『セクシーな数学』訳:黒川利明)リスパーのみなさまは、ゲーデルの不完全性定理の証明、理解できるかもしれません。チャレンジしてみてはいかがでしょう。15:40「公理系」とはどういう考え方か。ライセンスの下に提供されています。月別アーカイブください。よりデータを収集しています。はてなブログをはじめよう!abrahamcowさんは、はてなブログを使っています。ブログを報告するスターをつけました引用をストックしましたストック一覧を見る閉じる引用するにはまずログインしてくださいログイン閉じる引用をストックできませんでした。再度お試しください閉じる限定公開記事のため引用できません。