算法を1つ持つ代数系の分類について説明します。このような代数系の分類として、群・半群などがあります。群とはある代数系(G,・)に対して、以下の条件を考えます。「結合法則」が成り立つ。「単位元」が存在する。満たすとき、モノイド(monoid)と呼びます。全てを満たすとき、Gを群(group)と呼びます。「交換法則」を満たすものを可換群(可換半群、可換モノイド)と呼びます。用いて表される算法は暗黙的に可換算法であると考えることが多い。5次方程式の一般解法の存在の有無を調べるために考えたものです。この当時、アーベルは可換群しか想定していませんでした。アーベルの考えた群は可換群として区別するようになりました。可換群をアーベル群と呼ぶのはこの名残です。半群・群の例をいくつか紹介します。関して可換モノイドになります。群にはなっていません。存在するのでモノイドになります。関して可換モノイドになります。関して可換半群になります。(偶数同士の掛け算結果はやはり偶数になるので、代数系になる。この集合はモノイドではありません。ないので単位元がない。関して可換群になります。乗法に関しては、可換モノイドになります。(整数同士の割り算は整数になるとは限らない。有限集合になるような群も存在します。個の元からなる集合になります。この集合は、複素数の乗算に関して可換群になります。