number)は、様々な量の連続的な変化を表す数の体系である。実数全体の空間は、途切れのなさにあたる完備性とよばれる位相的な性質を持ち、代数的には加減乗除ができるという体の構造を持っている。幾何学や解析学ではこれらのよい性質を利用して様々な対象が定義され、研究されている。一方でその構成方法に自明でない手続きが含まれるため、実数の空間は数学基礎論の観点からも興味深い性質を持っている。自然科学における連続的なものの計測値を表すのに十分な数の体系だとも考えられている。実数の概念は、その形式的な定義が19世紀に達成される前から数の体系として使われていた。「実数」という名前は複素数の概念が導入された後に「普通の数」を表現する言葉として導入されたものである。射影(しゃえい、projection)とは、物体に光を当ててその影を映すこと、またその影のことである。root)とは、数に対して、平方すると元の値に等しくなる数のことである。与えられた数を面積とする正方形を考えるとき、その数の平方根の絶対値がその一辺の長さであり、一つの幾何学的意味付けができる。平方根を定規とコンパスを用いて作図することができる。二乗根(にじょうこん)、自乗根(じじょうこん)とも言う。(物理学)物理学における仕事(しごと、work)とは、物体に加わる力と、物体の変位の内積によって定義される物理量である。エネルギーを定義する物理量であり、物理学における種々の原理・法則に関わっている。物体に複数の力がかかる場合には、それぞれの力についての仕事を考えることができる。仕事をした」のように表現する。仕事をしない」のように表現をする。力が移動方向とは逆側に向いている場合は仕事は負になる。これらの事柄は変位と力のベクトルの内積として仕事が定義されることで数学的に表現される。仕事は正負の符号をとるスカラー量である。仕事が行われるときはエネルギーの増減が生じる。仕事は正負の符号をとるスカラー量であり、正負の符号は混乱を招きやすいが、物体が正の仕事をした場合は物体のエネルギーが減り、負の仕事をした場合には物体のエネルギーが増える。仕事の他のエネルギーの移動の形態として熱があり、熱力学においては仕事を通じて内部エネルギーなどの熱力学関数が定義され、エネルギー保存則が成り立つように熱が定義される。作用・反作用の法則により力は相互的であるが、仕事は相互的ではない。逆向きで同じ大きさの力を及ぼされている。逆符号の仕事をされているとは限らない。物体が床などの固定された剛な面の上を移動するとき、床と物体との間の摩擦抗力により、床は物体に仕事をするが、床は移動しないため、物体は床に仕事をしない。formula)とは、平面上の三角法において三角形の辺の長さと内角の余弦の間に成り立つ関係を与える定理である。余弦定理を証明するために用いられる補題はときに第一余弦定理と呼ばれ、このとき証明される定理は第二余弦定理と呼ばれ区別されることがある。余弦定理と言った場合、第二定理を指す。概念の一般化であり、ベクトル空間に対して「距離」を与えるための数学の道具である。ノルムの定義されたベクトル空間を線型ノルム空間または単にノルム空間という。space)は、エウクレイデス(ユークリッド)が研究したような幾何学(ユークリッド幾何学)の場となる平面や空間、およびその高次元への一般化である。エウクレイデスが研究した平面や空間はそれぞれ、2次元ユークリッド空間、3次元ユークリッド空間に当たり、これらは通常、ユークリッド平面、ユークリッド空間などとも呼ばれる。「ユークリッド的」という修飾辞は、これらの空間が非ユークリッド幾何やアインシュタインの相対性理論に出てくるような曲がった空間ではないことを示唆している。古典的なギリシャ数学では、ユークリッド平面や(三次元)ユークリッド空間は所定の公準によって定義され、そこからほかの性質が定理として演繹されるものであった。現代数学では、デカルト座標と解析幾何学の考え方にしたがってユークリッド空間を定義するほうが普通である。すれば、幾何学の問題に代数学や解析学の道具を持ち込んで調べることができるようになるし、三次元以上のユークリッド空間への一般化も容易になるといった利点が生まれる。現代的な観点では、ユークリッド空間は各次元に本質的に一つだけ存在すると考えられる。一次元なら実数直線、二次元ならデカルト平面、より高次の場合は実数の組を座標にもつ実座標空間である。ユークリッド空間の「点」は実数からなる組であり、二点間の距離は二点間の距離の公式に従うものとして定まる。ふつう、ユークリッド空間といえば有限次元であるものをいう。物理学などの自然科学の領域ではベクトル、プログラミングなどコンピュータ関係ではベクターと表記される、という傾向が見られることもある。技術文書などではしばしばJIS規格に準拠する形で、長音を除いたベクタという表記が用いられる。由来し、18世紀の天文学者によってはじめて使われた。\boldsymbol)が、分野によっては矢印も太字もせずに普通に書くこともある(主に解析学)。ベクトル、あるいはベクターに関する記事と用法を以下に挙げる。平面や空間上では、ふたつのベクトルのなす角は図形的に求めることができる。ベクトルはさらに、図形とは無関係なベクトルに一般化されるが、この一般的なベクトルでも二つのベクトルのなす角を定義することができ、それにはベクトルの長さと内積を用いる。calculus)は空間上のベクトル場やテンソル場に関する微積分に関する数学の分野である。多くの物理現象はベクトル場やテンソル場として記述されるため、ベクトル解析は物理学の様々な分野に応用を持つ。物理学では3次元ユークリッド空間上のベクトル解析を特によく用いられるが、ベクトル解析は一般のn次元多様体上で展開できる。»クロス積ベクトル積()とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。演算の記号からクロス積()と呼ばれることもある。2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積(がいせき)とも呼ばれるが、英語では直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。product)は、(実または複素)ベクトル空間上で定義される非退化かつ正定値のエルミート半双線型形式(実係数の場合には対称双線型形式)のことである。product)ともいう。内積を備えるベクトル空間は内積空間と呼ばれ、内積の定める計量を持つ幾何学的な空間と見做される。エルミート半双線型形式の意味での内積はしばしば、エルミート内積またはユニタリ内積と呼ばれる。)は、自然科学の一分野である。ほかの自然科学に比べ数学との親和性が非常に強い。いう言葉も、元々は自然についての一般的な知識の追求を意味しており、天体現象から生物現象までを含む幅広い概念だった。して自然哲学から独立した意味を持つようになったのは19世紀からである。諸現象(物理現象)である。)とは、互いに直交している座標軸を指定することによって定まる座標系のことである。平面上の直交座標系ではそれぞれの点に対して一意に定まる二つの実数の組によって点の位置が指定される。同様にして空間上の直交座標系では三つの実数の組によって座標が与えられる。直線(ちょくせん、line)とは、太さを持たない幾何学的な対象である曲線の一種で、どこまでもまっすぐ無限に伸びて端点を持たない。segment、segment)と、一つの端点を始点として無限にまっすぐ伸びた半直線(はんちょくせん、ray、half-line)がある。angle)とは、角(かく、angle)の大きさを表す量・測度のことである。一般の角の大きさは、単位の角の大きさの実数倍で表しうる。symbol)と呼ばれる。angle)を指し、さらに狭義にはある点から伸びる2つの半直線(はんちょくせん、ray)によりできる図形を指す。平面角の角度は、同じ端点を持つ2つの半直線の間の隔たりを表す量といえる。angle)と呼ばれる。直線以外の曲線や面などの図形がなす角の角度も、何らかの2つの直線のなす角の角度として定義される。広義には、角は線や面が2つ交わって、その交点や交線の周りにできる図形を指す。線や面が2つ交わって角を作ることを角をなすという。ここでいう面は通常の2次元の面に限らず、一般には超平面である。角が現れる基本的な図形としては、たとえば三角形や四角形のような多角形(たかくけい、polygon)がある。三角形は平面図形における最も基本的な図形であり、すべての多角形は三角形の組み合わせによって表現することができる。他にも単純な性質を多く持っているため、様々な場面で応用される。function)などがある。余弦定理と三角関数は、三角形の角と辺の間に成り立つ関係を示したもので、これらの関係を利用して、三角形の辺の長さからある角の大きさを求めたり、大きさが既知の角から辺の長さや長さの比を求めることができる。triangles)としても言及される。物理学など自然科学においては、量の次元が重要な役割を果たす。辺の長さや弧の長さは物理量として「長さ」の次元を持っているが、国際量体系において、角度は辺の長さの比などを通じて定義される無次元量であるとしている。角度が無次元であることは、直ちに角度が単位を持たないことを意味しない。角度を表す単位としてはラジアン(らじあん、radian)や度(ど、degree)が有名である。ラジアンと度の換算は以下の式によって示される。ラジアンで表された数値は単位なしの数として扱うことができる。角度に関連する物理学の概念として、位相(いそう、phase)がある。位相は波のような周期的な運動を記述するパラメーターであり、その幾何学的な表現が角度に対応している。位相も角度と同様にラジアンが単位に用いられる。angle)も定義されているが、これは上記の定義には当てはまらない。その大きさは単に立体角と呼ばれることが多く、角度と呼ばれることはほとんどない。以下、本項目においては平面角を扱う。ついて研究する学問である。数学の範囲と定義については、数学者や哲学者の間で様々な見解がある。ユニオンペディアは百科事典や辞書のように組織化概念地図や意味ネットワークです。これは、それぞれの概念との関係の簡単な定義を与えます。これは、概念図の基礎となる巨大なオンライン精神的な地図です。これを使うのは無料で、各記事やドキュメントをダウンロードすることができます。教育のための基準、です。学問の世界のための:学校、プライマリ、セカンダリ、高校、ミドル、大学、技術的な学位、学部、修士または博士号のために。論文、報告書、プロジェクト、アイデア、ドキュメント、調査、要約、または論文のために。ここで定義、説明、またはあなたが情報を必要とする各重要なの意味、および用語集などのそれに関連する概念のリストです。スロベニア語で利用できます。表示-継承ライセンスで利用することができます。