睡眠が大好きだけど大嫌いな駆け出しさんすうマンです。解析概論』をぼちぼち読み進めていって、分からないところについて議論したりしてます。とある日、p.78,79に載っている「Hadamard(アダマール)の定理」の証明がよく分からなかったので先生に質問してきました。今回は本に載ってる証明文を引用しながら証明をまとめていきます。アバウトな部分が多々あると思いますが、そこは目をつぶってください...※数式が正しく表示されるまで時間かかるかもしれないけど許してね(はぁとまずは証明したい命題を示します。与えられた正数)、次の関係式が成り立つでは証明を見ていきましょう。独立変数ではなくなります。考察すれば、...ここで「n次元の球面」という表現が出てきていますが、先生曰く、正しくは「n-1次元の球面」だそうですね。言われてみれば確かにそうですわ。ぶっちゃけ幾何学の勉強なんか全然してないから、なんで「n-1次元の球面」って表現するかはよく分かんないね。変動の区域は閉区域で、かつその点はすべて内点である。極値の中から求められる。ここは適当に読み流してしまいそうだけど、ちゃんと理解しようと思うとちょいとムズいとこ。D(P)の連続性だけど、これは閉区域内でPを動かしたときにDが飛び飛びの値を取らないということで、素直に認めてしまいましょう(投げやりDを実際に展開してみたら簡単な連続関数の和・差・積・商で表されるからとか、そんな感じなんですかね...Pの変動区域が閉区域になることや、点Pがすべて内点であることについては深く突っ込まないことにします。集合・位相の勉強してないから仕方ないね。勉強してから追記加えるかもね。そんで、D(P)は閉区域内で連続だから、その区域内で最大値、最小値を持つわけですね。先ほど述べたとおり点Pは必ず内点となるため、最大値、最小値を取る点では必ず極値を取ります。内点で最大値、最小値を取るとき、その点では必ず極値を取りますが、内点でないところで最大値、最小値を取るときは、その点で極値を取るかどうかは分かりません。極値の中に最大値、最小値があるから、とりあえず極値はどんな値を取るか調べてやろうぜって話。余因子で、...(略)。極値の必要条件としてを得る。関しても同様だからDが極値を取る点では少なくともを満たさないといけませんよね?これらが同時に満たされるときにどういう関係式が導かれるかを調べます。ついてのみ考察します。式(a)を見てみるととなることが分かります。微分してやるとといった感じで導かれます。仮定するとが成り立ちます。ついても同様の式が成り立ちます。ここでは都合上、式(b)にまで変形しません。すれば故に式(c)が成り立つことを確かめるために、i行目とj行目が等しい次のn次行列式Aを考えます。)Aをj行目に関して余因子展開するととなります。成り立つというわけです。僕は最初、どんな行列式に対しても本当に式(c)が成り立つのか疑ってました。i行目とj行目が等しい特殊な行列式から導いた式なんですもん。どんな行列式についても式(c)の左辺のような式を考えるということは、それすなわちj行目の要素をすべてi行目の要素にすり替えてからj行目に関して余因子展開するということだから、やはりどんな行列式に対しても式(c)が成り立つんだなと勝手に解釈しました。しても納得できない人は、簡単な行列式を例として式(c)が成り立つか確認してみてはどうでしょう。さっき導いた式を式(c)に代入するととなります。割るととなり、式(8)が導かれました。