新元号も発表され、とうとう平成最後の1ヵ月を切りました(笑)。新しい時代というにはまだ何となく大げさな気もしますが、清々しく「令和」の時代を迎えたいものですね!さて、今回は岡山大の整数問題を解説していきます。岡山大の理系数学では2016年以来、3年振りとなる整数分野からの出題です。岡山大学2017年前期文系第2問の解説記事はコチラから。《問題》$a$、$b$を正の数とする。\cdots)$により定める。$a$、$b$を用いて表せ。すべて自然数になるような$a$、$b$の組をすべて求めよ。掴み所が無さそうですが、(1)が重大なヒントになっています。繰り返す周期$5$の数列である。したがって、これらがいずれも自然数となるような正の数$a$、$b$を求めればよい。$a$、$b$は正の整数であることが必要である。とき$$\dfrac{1+b}{a}=1$$となり自然数である。となり自然数であるから適する。となり自然数であるから適する。とき$$\dfrac{1+a}{b}=1$$となり自然数である。となり自然数であるから適する。以上より、求める$a$、$b$の組は$(a,b)=\color{red}{(1,1)}$,$(1,2)$,$(2,1)$,$(2,3)$,$(3,2)$となる。(コメント)似た構図の題材として、今年の一橋大学の整数問題が挙げられます(詳しくは一橋大学2019年数学第1問の記事を参照してください)。文字で初項や第2項が定義されていても実は周期数列となっていることに気が付くことができれば、あとは簡単です。本問の漸化式は非線形の3項間漸化式であり、普通は一般項を求めることはできません。変わった漸化式が出てきた際は無理に解こうとするのではなく、少し数列の様子を観察してみることがとても大切です。本問では親切に誘導設問が付けられていますが、誘導が無い場合にも落ち着いて対応できるようにしておきたいものです。コメントをキャンセルメールアドレスが公開されることはありません。(2020/02/08記)風邪やウイルスが流行っていますね。手洗いうがいの励行と、良質な食事と睡眠を心掛けて生活しましょう!当サイトについてのご意見・ご要望はトップメニューバーの「その他」→「お問い合わせ」のページからお寄せ下さい。当サイトを閲覧するときはJavaScriptを有効化して下さい。スマートフォンの場合、ブラウザや機種、インターネット環境によってはMathjaxの立ち上がりにやや時間が掛かることがありますので、ご理解下さい。当サイトへのリンク付けは基本的に自由です。任意としますが、その際は管理人まで一声掛けて頂けると更新の励みになります。投稿記事・固定ページを含むすべての内容の著作権は当サイトに帰属します。当サイトの記事等の内容を引用する際は必ず出典とリンク(URL)を記載して下さい。